AB==-GD

Cette condition n'est pas remplie en général. Donc l'homologie biaxiale ne saurait condtiirc, même par un déplacement lelatif des deux figures qui se correspondent, à l'homographie la plus générale. Mais, comme la relation précédente peut toujours être vérifiée quand on multiplie les constantes A, B, C par un même nombre, on voit que l'homologie biaxiale, si elle ne fournit pas toutes les figures homographiques à une figure donnée (F<), pourrait fournir, du moins, une figure semblable à (F,).

l'hohologie biaxialk. 73

Dans le cas où l'homographie considérée vérifie la condition que nous avons reconnue nécessaire (11), les calculs précédents conduisent à celle conclusion qu'il v a une infinité d'homologies biaziales donnant la solution du problème proposé. On choisira a arbitrairement, p et p' seront les deux racines de l'équation (9), puis les autres inconnues seront déterminées par les formules

/t = p£sina, /i'=p'£sina,

A- = A — pcosa, k' = A — p'cosa, Do= — (p-^?'),

de sorte que les deux axes de l'homologie biaxialc seront définis par les équations

{ eoa; sina-i- (A — pcosa)y = (», l so'a' sina-f- (A — p'cosa)r = o,

( Dz-Jr-pet — o, f Dz-\-ptt = o,

p et p' étant les racines de l'équation (9).

La surface engendrée par ces axes est le conoïde ayant pour équation

(l4) (Aîjî-f- B^X^)r-= D2;;2(.r2-i-j)/2).

Les relations entre deux axes conjugués sont données par les formules

(i)) sz' = — ^k'^'j Ayy' — Bzûrx'= a,

auxquelles on peut joindre la relation

z(x- + y^) z'(x'^-^y'-) t xy t! x' y'

indépendante de A et de B.

57. Une propriété très simple de l'homologie biaxiale aurait pu nous permettre de prévoir quelques-uns des résultais précédents. Soient D, A les deux axes d'une telle homologie et E une droite quelconque ^^de l'espace. La quadrique déterminée par ces trois droites jouit évidemment de la piopriété que toutes celles de ses génératrices rectilignes qui s'appuient sur D, A et E se correspondent à elles-mêmes. Réciproquement, s'il existe une quadrique

"4 LIVRK I. — CHAPITRE V.

telle qu'une homographie ne déplace |)as les génératrices rectilignes d'un système déterminé de cette surface, l'homographie se réduit à une homologie hiaxiale dont, à la vérité, les deux axes peuvent être imaginaires ou confondus. En effet, puisque cette homographie ne déplace pas les génératrices de l'un des sjsièmes^ que nous appellerons le premier, elle doit échanger entre elles les génératrices du second syslrme et, pour définir les lois ,de cet échange, il suffit de considérer le point m où ces génératrices vont couper une génératrice déterminée d du premier système ; car ce point m est soumis à une homographie qui le déplace Sur la droite d. Il y aura donc deux génératrices D, A du second système dont aucun point ne sera déplacé par la transformation^ et l'homographie sera une homologie hiaxiale d'axes D, A.

D'après cela, considérons une homologie hiaxiale d'axes D, A et construisons l'un quelconque des paraboloïdes hyperboliques qui contiennent D, A et leur |)erpendiculaire commune P. Par le sommet de ce paraboloïde situé sur P passe une seconde génératrice P' qui est, comme P, un axe de symétrie de la surface, et les génératrices qui rencontrent D, A rencontrent aussi P' et lui sont perpendiculaires. Par suite, ces génératrices, qui sont à ellesmêmes leurs propres homologues dans l'homologie considérée, ne cessent pas de coïncider avec elles-mêmes si l'on imprime au paraboloïde une rotation de 180° autour de P'. Si l'on combine l'homologie hiaxiale primitive avec cette rotation, on aura comme résultat une nouvelle transformation homographique dans laquelle les génératrices d'un système du paraboloïde ne cesseront pas de coïncider avec elles-mêmes et qui sera, par conséquent, une nouvelle homologie hiaxiale.

Les droites P' dépendent d'un paramètre variable et engendrent un conoïde droit du troisième degré contenant D, A et ayant pour axe P. Puisqu'on peut imprimer à la figure (F) un déplacement qui dépend d'un paramètre variable sans qu'elle cesse d'être en relation homologique avec (F,), il est clair que rhomoloi;ie hiaxiale combinée avec des déplacements peut donner naissance à une transformation contenant au plus qu;itorze constantes, soit une de moins que n'en comporte l'homographie la plus générale.

Nous avons ainsi une explication des résultais précédents^ mais nous avons aussi une construction géométrique très simj)le des

L UOMOLOGIE BIAXIALE. 7^

deux séries d'homologies l)iaxiales, qui peuvent remplacer une hômologie biaxiale donnée. Soient D, A les axes de celte homologie et P leur perpendiculaire commune. Les paraboloïdes qui passent par ces trois droites nous donneront les moyens d'oblenir toute une série d'homologies donnant des ligures égales à celles que donne la première. En appliquant à une de ces. horaologies la même construction qu'à la picmière. on aura une seconde série d'homologies dont rhomologie initiale fera partie. Les deux séries d'homologies ainsi obtenues sont celles (|ue nous avons déterminées par nos calculs.

58. Pour terminer ce sujet nous montrerons, de même, que deux quadriques ne peuvent être mises en correspondance et déduites l'une (h; Taulre par une liomologie biaxiale si elles ne satisfont pas à une certaine relation.

Soient (Q) et (())) les deux quadriques que nous envisageons. Les deux axes de Ihomologie ijiaxiale qui les transformeia l'une dans l'autre, si cela est pos>ible, doivent ('-videmment rencontrer les quadriques aux quatre mêmes points. Rapportons les surfaces au tétraèdre dont ces quatre points sont les sommets. Les deux axes de l'homologie seront représentés, par exemple, par les équations

,r = o, y = o et

Quant aux quadriques, elles seront dédinies par des équations telles que les suivantes :

( Byz -hB'iPZ -hB"xy -f- C,r/ +-<;>/ --Czf = o, \ Biyz -hB[xz -h B'\ xy -r- Ci .r t — C , y t <:;;;/= o.

Les formules qui définissent rhomologie biaxiale sont évidemment de la forme suivante :

(17) X = axi, y = ayi, z-hzi, t — O/i.

Par cot)sé([uenl. la (juadrique ((), ) sera d<''rivée de (Q) par Téquation

(j8) {Byz -i- B' xz ,- (.xt -4- ^ yt) <il) - \X' (C^xy -^ Ch^zt = o,

^6 LIVBE I. — CHAPITRE V.

qui devra être identique à la seconde des équations (i6). Si l'on

multiplie par ab l'équation de la quadrique (Q)et qu'on retranche

de la précédente, on obtiendra, en supprimant le facteur a — 6,

l'équation

(ig) W axy ~ G'bzt = o

d'une quadrique (Q') qui passera par l'intersection de (Q) et de (Q«). Cette quadrique, contenant les côtés du quadrilatère gauche défini par les équations

xj'- = o, zt = o,

donne lieu au théorème suivant : Les deux axes de V homologie biaxiale cherchée doivent être les diagonales d'un quadrilatère gauche inscrit dans la courbe d' intersection de {Q) et de (Q,) et situé tout entier sur une quadrique contenant cette courbe d'intersection.

Nous ne suivrons pas l'indication donnée par ce théorème ; mais nous allons montrer que les deux axes de l'homologie cherchée rencontrent deux arêtes opposées du léiraèdre conjugué commun.

A cet effet, et pour obtenir ce tétraèdre conjugué commun, nous ajouterons à l'équation de la quadrique (QO» P'»se sous la forme (i8), celle de la quadrique (Q) multipliée par —X, ce qui donnera (Byz-^B'xz 4- Cxt + C'j'/)(). — ab) -+- B"(A — a*-)xy^C"(l—bi)zt = o,

et il ne restera plus qu'à exprimer que l'équation précédente représente un cône. En égalant à zéro les quatre dérivées par rapport à x, j", z-, t nous obtiendrons le système

!(B'^ -+- Gt)0. — ab)-i-E"{\-ai)j = o, {Bz -+- C'^)(X — a6)-4- B'CX — a2)a; = o, {B'x-i- By){l-ab)-hG"{l — b^)t = o, (Gx -+- Gy){\ — ab)-^ G" {l — bi)z=^o.

1^'élimination de A nous conduirait aux deux équations

(•2i) i (B'z -+- Gt)x — (Bz -^ G't)y = o,

l {B'.T-hBy)z —{Gx^Gy)t =o,

d'où l'on déduit immédiatement deux équations du second degré eu -et en-. Eu interprétant ce résultat, nous obtenons la pro-