I. HOMOLOGIE BIAXIALE
position suivante : les quatre sommets du Irlraèdre conjugué commun à (Q) et à (Qi) sont sur deux droites lenconlrant les deux axes de l'homologie clierchée. En d'autres termes, les deux axes de Vliomologie clierchée doivent rencontrer deux arêtes opposées du tétraèdre conjugué commun à (Q) ef à (Q) ).
Ce n'est pas tout. On peut aisément éliminer, dans les équations (20), X, y, 5, t et former l'éqiialion en À, qui se présente immédiatement sous la ("orme
4 BC B'C'()v — aby* — [B" (;"(>. — a'-) (À - f/i) — (À — al^Y- (BC + B' G')]^ = 0.
Cette équation se décompose en deux équations du second degré, qui sont
B"G"(X — a^- ) Çk — b^') -- (1 — ab )"- (v/BG ± yJV>' C^Y = o.
Pour chacune d'enire elles, le produit des racines est égal à d-b'-. Cette remarque nous donne la solution : Les deux (juadriques (Q), (Q,) ne pourront se déduire l'une de l'autre par une homologie Ijiaxinle que si l'équalion en A doni dépend la détermination du tétraèdre conjjigué commun est telle que le produit de deux de ses racines soit égal au produit des deux autres, ce qui n'a pas lien en général.
Comme ces racines sont des invariants, il faudra donc que les équations des deux quadriques puissent être ramenées à la fornie
( 372 -h yî -I- j2 u ^2 o, ( iS ) {
' I A.2a^2 + B2jK-M-G2:;2^D2/2 =0,
OÙ l'on aura, par exemple,
{'xi) AB-^CD.
Cette condition, qui est néce-^saire, est aussi suffisante et même, quand elle est remplie, les deux quadri(jues peuvent se déduire l'une de l'autre par une infinité d'homologies biaxiales.
Pour le montrer, nous remarquerons qu'on peut déduire la seconde quadrique de la première à l'aide de la substitution définie
par les formules
1 37 = A^i cosa — Bvisina,
/ y = Aa^i sina ■\- B^, cosa,
[ t — G^i sin p -t- D/i cosp,
7$ I.IVRF I. — CHAPITKK V.
OÙ a et [3 désignent deux arljitraires. La première de ces substitutions peut être mise sous la forme canonique
( // r -+- /. )- = p ( h .7-1 -- /f 7i ), i h'.r -i- /.> :-- o'ih'xi -+- k' y^).
11 suffit pour cela de prendre
/< = — Asina. Ii' — Asina,
A = A COS7. — p. /i' = A cosa — p',
p et p' étant les racines de l'équation
(2-) c"2 — ( A -'- B) cosa.p -4- AB = 0.
]Je même, les formules (âij) peuvent être ramenées à la forme
( Iz A~ mt ■=o{lZi -i- mtx), (•18) ^
/. /«, /', /7i' ayant les valeurs suivantes :
( l = — C sin [i, r = — C sin ^,
■^^'^ (m= Gcosp — p. //i'= Ccosp — p',
et 0, 0' étant les racines de l'équation
C^o) p2 — (C + D)cosp + CD = o.
En vertu de la relation ("îS), il suffit que les arbitraires a, [j satisfassent à la condition
(A+ B)cosa = (C-i-D)cos[3
poJir que les deux équations (•2'j) et (3o) en p aient les mêmes racines. Et alors les deux systèmes (26) et (28) définiront une boniologie biaxiale dont les axes seront déterminés par les équations
hx -\- h y — o,
Iz -H nit =■ o
Ces axes engendreront une surface du quatrième ordre, qui aura pour équation
l'homologie biaxiale. 79
€l passera par l'interseclion des deux quadriques (Q)v(Q')' L'ho-
mologie sera involiilive si l'on a
(A-f- B)cosa =(C-^ D)cos|i
oc = axi -+- b^i
-+- CZi H- hti,
y = a' Xi -4- b'yx
+ c'zi -t- h'tij
z = a" Xi -H 6"j,
-+-c"zi + /t"ti,
59. Les discussions précédentes ont laissé entièrement de côté les homographies <|ui conservent le plan de l'infini. Il ne sera pas inuiile d'en donnei- aussi la forme réduite et quelques propriétés.
Nous commencerons par chercher celles qui conservent non seulement le plan de l'infini, mais le cercle commun à toutes les sphères et défini par les équations
Soient
les formules qui définissent l'homographie cherchée. Puisqu'elle conserve le plan et le cercle de I infini, elle doit faire correspondre une sphère à une sphère. A deux pians tangents parallèles de la première sphère doivent correspondre deux plans tangents paivtllèles de la seconde; et, par conséquent, à lout diamètre de la première sphère correspondra un diamètre de la seconde. Prenons, dans la première sphère, Irois diamètres rectangulaires. Comme ils sont caractérisés par cetle propriété que le plan tangent au point où l'un quelconque d'entre eux coupe la sphère est parallèle au plan des drux autres, et comme cetle propriété est conservée par notre homographie, il correspondra à ces trois diamètres trois diamètres rcctangidaires de la seconde sphère. D'ailleurs, il est évident que, tous les diamètres se correspondant, les centres seront des points hornologires dans les deux sphères.
D'a[)rès cela, je prends dans la première sphère de centre O trois rayons rectangulaires OA, OB, OC. Il leur correspondra trois rayons rectangulaires 0)A,, 0,B,, O, C, dans la seconde sphère. Les coordonnées des trois points A, B, C par rapport au Irièdre OABC seront
8o LIVRE I. — CHAPITRE V.
De même, les coordonnées des trois points A,, B,, C, par rapport au trièdre OA, B, C, seront
(36) Ri, o, o; o, Ri, o; o, o, Ri.
Si les deux trièdres OABC, 0,A,B,G, ont la même disposition, on peut les amener à coïncider par un simple déplacement. Si celle condition n'est pas remplie, on substituera au trièdie OjAiBiC, le trièdre symétrique OjA', B', C, et les points A,, B,, Ci auront toujours leurs coordonnées exprimées par les formules, pourvu qu'on donne à R, un signe négatif.
Dans l'un et dans l'autre cas, amenons à coïncider les deux trièdres qui ont la même disposition. L'homographie que nous étudions aura maintenu sa propriété caractéristique de conserver le cercle de l'infini ; car tout déplacement conserve ce cercle. Mais maintenant, elle devra faire correspondre aux trois points A, B, C situés respectivement sur les axes rectangulaires Ox, Oy, Os, à une distance égale à R de l'origine, trois points situés respectivement sur les mêmes axes à la distance R|. En exprimant que les formules satisfont à cette condition et que l'origine des coordonnées n'est pas déplacée par l'homographie, on trouve qu'elles se réduisent à la forme simple
Elles définissent une homoihétie dont le centre est l'origine des coordonnées et [)our laquelle le rapport de similitude, positif ou
négatif, eslô-* Ainsi^
Toute homographie qui conserve le cercle de V infini^ et par conséquent le plan de Vinfini, peut être remplacée par un déplacement^ précédé ou suivi d'' une homoihétie dont le centre peut être choisi arbitrairement.
Si TT- est égal à l'unité, l'homothélie disparait ; s'il est égal à — i , Ri
elle est remplacée par une symétrie.
60. Examinons maintenant les homographies qui, sans conserver le cercle de l'infini, conservent néanmoins le plan de l'infini.
l'homologie BIAXIALE. 8l
Soient (F) et (F,) deux figures correspondantes dans une telle homographie: au cercle de l'infini de (F)) correspond, dans (F), une certaine conique (G). L'homographie qui transforme (F) en (F, ) pourra donc se composer de deux homographies, l'une qui pourra être choisie arbitrairement parmi celles qui amènent la conique (G) à coïncider avec le cercle de l'infini; l'autre qui devra conserver le cercle de l'infini.
Pour déterminer une des homographies qui amènent la conique (G) sur le cercle de l'infini, nous prendrons le cône ayant pour sommet un point quelconque de l'espace O et pour base la conique (G). Ge cône, rapporté à son sommet et à ses axes, aur^ pour équation
Lue des homographies qui amèneront la conique (G) à coïncider avec le cercle de l'infini sera donc définie par les formules
(37) x = kxi, jK = Bj'i, z = (:zi, t = ti,
et il ne restera plus qu'à lui adjoindre une transformation conservant le cercle de l'infini. Or nous savons que cette transformation résulte de la combinaison d'une homolhélie, ayant pour centre le point O, par exemple, avec un déplacement quelconque. L'homothétie ne pourra que changer les valeurs des constantes A, B, G. Nous obtenons donc le résultat suivant :
Si deux figures (F), (F,) sont correspondantes dans une homographie qui conserve le plan de V infini, on peut, par un déplacement de V une d^elles, ramener V homographie à être représentée par les formules {^'j) où les coordonnées sont rapportées à des accès rectangulaires.
