CHAPITRE VI

LE PRINCIPE DE DUALITÉ

La création par Poncelet de la théorie des polaires réciproques a conduit Gergonne à dégager un principe général auquel il donna le nom de P-nc.p^ de dualité des propriétés de l'étendue. Ce principe une fo.s adm.s devait conduire à la notion des coordonnées tangentielles qui ont été introduites en preoi.er lieu par Plucker et par Chasles. - Quelques tl.éorènnes corrélatifs des plus simples relatifs aux coordonnées ponctuelles et auv coordonnées tangentielles dans l'espace. - Degré et classe d'une surface. - Propriétés de la tangente; tangentes conjuguées. - Définitions diverses que l'on peut donner des coordonnées tangentielles. - Théorème de Carnot sur les transversales. - Centre des moyennes harmoniques.

61. Dans un Chapitre anlérieur, nous avons expliqué comment l'homologie de Poncelet avait conduit Chasles à l'homographie la plus générale dans le plan et dans l'espace. Une autre découverte capitale de Poncelet, celle de la théorie des polaires réciproques, conduisit Gergonne à dégager un principe général, auquel il donna le nom de principe de dualité, et qui permettait de deduu^e, de toute proposition de Géométrie plane où figurent des relations entre des points et des droites, une proposition nouvelle où les droites de la première figure sont remplacées par des points et vice versa. Il était tout naturel qu'une telle méthode de transformation assimilant une droite de l'une des figures à un point de l'autre conduisît à introduire, à côté des systèmes de coordonnées définissant des points, d'autres systèmes de coordonnées propres à définir les lignes droites. Ce pas a été franchi simultanément par Chasles et Plucker. Mais c'est Plucker qui a, le premier, publie ses résultais. Pour gagner du temps, nous nous bornerons à l'espace.

Étant donné un plan défini par Téquation

ux ->rvy -{' WZ -H />< = o, nous dirons que a, c, ^v, p sont les coordonnées homogènes du

LE PRINCIPE DE DUALITE

plan eL le parallélisme entre ces coordonnées dites tangentielles, et les coordonnées />o/2c/Me//e5 pour tout ce qui concerne le premier de-i^ré s'établira de la manière suivante par le système à deux

colonnes, cher à Gergonne.

Coordonnées ponctuelles.

Toute équation du premier degré définit les points d'un plan, c'està-dire est l'équation d'un plan.

Deux équations du pi'en)ier degré définissent les points communs à deux plans, c'est-à-dire l'intersection de deux plans.

Trois équations du premier degré définissent le point d'intersection de trois plans.

Si X, y, z, t; x', y\ s', t' désignent les coordonnées de deux points A, B,

l les coordonnées de tout point M situé sur AB, et le rapport anharmonique des quatre points M qui correspondent à quatre valeurs différentes de X est égal à celui de ces quatre valeurs.

Si X, y, z, t; x\ y\ z, t'; x", y", z", t" sont les coordonnées de trois points A, B, G non en ligne droite,

Iz -hW z' -+■ \" z'\ \t -t- V t' -4- \" t"

sonl les coordonnées de tout point dans le plan ABC.

Coordonnées tangentielles.

Toute équation du premier degré définit les plans passant par un point, c'est-à-dire est l'équation tangentielle de ce point.

Deux équations du premier degré définissent les plans passant par deux points, c'est-à-dire la droite de jonction de ces deux points.

Trois équations du premier degré définissent le plan passant par trois points.

Si u^ p', (V, /) ; u' , v' , w\ p' désignent les coordonnées de deux plans a, ^,

u -\- X«', V -\-\ {>', w 4- \w\ p -+- Xp'

sont les coordonnées de tout plan passant par l'intersection de a et de [3, et le rapport anliarmonique de quatre plans correspondants à quatre valeurs différentes de X est égal à celui de ces quatre valeurs.

Si u, V, (V, p ; u', p', w', p'; u", ç" , w", p" sont les coordonnées de trois plans a, p, y ne passant pas par une même ligne droite,

X M H- X' a' H- X" u", Xç -4- X'p' -t- h"l>", X w -+- 1' w' -\- X"(v",

Ap -+- X'/)' -I- X"//'

sont les coordonnées de tout plan passant par leur intersection.