CHAPITRE VI
Coordonnées ponctuelles.
Si X, y, z, t; x', y', z', t'; x" , /', z"^ t"\ x"\ y'", -'", t'" sont les coordonnées de quatre points A, B, C, D non situés dans un même plan,
•Kx'^Vx'-hyx"-^y'x'\ ly + ry-^ry + ry,
Iz-^l'z' -^rz" -hV'z'", It -hl' t' -hX" t" -h Vf"
sont les coordonnées de tout point de l'espace.
Coordonnées tangentielles.
Si u, r. (P, p; u\ p', <v', />'; u", v", w", p"; u'", t^'", w'", p'" sont les coordonnées de quatre plans a, p, Y; ^ ne se coupant pas en un point,
X a + À' u' -+- X" u" -h X'" u'", X tv -+- X' w' -i- X" w" -h X'" w",
ip ^ x>' + XV -4- X">"'
peuvent être prises pour les coordonnées de tout plan de l'espace.
Le parallélisme, comme on voit, est parfait, et nous pouvons même remarquer, ce que Poncelet et Gergonne ne savaient pas, qu'il s'étend aux rapports anharmoniqnes. Pour montrer qu'il se conserve dans les équations de degré supérieur, nous allons traiter simultanément deux questions fondamentales.
L'équation homogène de degré supérieur
défînit une double infinité de points.
Nous dirons qu'ils forment un lieu.
Si X, y, z, t; Xi, yi, Zi, ti sont les coordonnées de deux points A, Ai de l'espace, l'équation
/(x-^lxi, y -^-'kyi,
z -+■ X^i, t -+-\ti) = n
fera connaître les points du lieu situés sur la droite AA]. Le degré dey sera dit le degré du lieu; c'est le nombre de points qu'il a sur une droite quelconque.
L'équation homogène de degré supérieur
définit une double infinité de plans.
Nous dirons qu'ils ont une enveloppe.
Si u, V, tv, p; Ui, Pi, Wi, pi sont les coordonnées de deux plans a. a, de l'espace, l'équation
cp( W + Xmi, p -4- Xc»!,
(V -H X MP 1 , yO -f- \px ) = O
fera connaître les plans de l'enveloppe passant par l'intersection des plans a, aj, ... Le degré de (f est appelé la classe de l'enveloppe; c'est le nombre des plans de l'enveloppe passant par une droite quelconque.
LE PRINCIPE DE DUALITE
Supposons que le point A se Supposons que le plan a soit un
trouve sur le lieu. L'équation pré- des plans de l'enveloppe. L'équation
cédente développée prendra la précédente développée prendra la
forme forme
dx
Par conséquent, l'équalion
¥ àf df df
ax ^ oy dz ôt
où X, y, z, t sont considérés comme des données et x^, y\, Si, ^i comme des coordonnées variables, représentera un plan qui passera évidemment par le point A et sera le lieu des points Ai tels que la droite AAi coupe le lieu en deux points confondus en A, c'est-à-dire soit tangente en A.
Mu
du
do do
Par conséquent, l'équation
do do do do
du dv d(v ^ dp
où u, p, w, p sont considérés comme des données et U\, v^, Wi, py comme des coordonnées variables, représentera un point qui se trouvera évidemment dans le plan aet par lequel passeront tous les plans ai tels que deux des plans tangents menés à l'enveloppe par la droite d'intersection des deux plans a, aj se confondent avec le plan a.
Gomme il n'est pas doiileux pour nous que l'enveloppe ne soit en général une surface, on voit que les deux méthodes fondées sur l'emploi des deux systèmes de coordonnées fournissent deux propriétés distinctes de la tangenle. C'est la droite de jonction de deux points infiniment voisins. C'esl aussi la droite d'intersection de deux plans tangents infiniment voisins. Pour opérer la liaison entre ces deux résultats il faut ajouter le raisonnement suivant :
Considérons le plan dont les coor- Considérons le point défini par les
données sont définies par les rela- relations tions
u i' iv f) X y z t
àf ~ df ~ df ~ df dcp ~ dcp ~ d'f ~ ()cp
dx dy dz dt du dv dw dp
qui donnent lieu à la relation ux -\- vy -¥ wz ^ pt — o,
qui donnent lieu à la relation ux -+- vy -\- ivz -h- pt = o,
OU, en employant le signe C de ou, en employant le signe j^ de
Lamé qui désigne une somme éten- Lamé qui désigne une somme étendue à toutes les coordonnées, due à toutes les coordonnées,
C MX = o. § "X = o.
Si l'on différentie cette relation, il Si l'on différentie cette relation, il vient vient
Cif^x+ Ca7rf« = o ^ « c?a:- -^ ^ a? rfa = o
et, comme la première partie de et, comme la seconde partie de cette cette somme est nulle en vertu de somme est nulle en vertu de la relal'équation l'on
