S^"-- SE

il reste il reste

^xdu = o. N " dx = o.

Ce qui prouve que le point (57,jK,^, 0 Ce qui prouve que le plan tangent

se trouve sur la droite d'intersection contient la droite qui joint deux

de deux plans tangents infiniment points infiniment voisins, voisins.

Ainsi se trouve établi le lien entre les deux propriélés de la tangente.

Diipin a inlroduit dans la tliéorie des surfaces une notion d'intérêt capital : celle des tangentes conjuguées. Si l'on se déplace sur une surface, la droite d'intersection des deux plans tangents en deux points infiniment voisins M, M' est dite la tangente conjuguée de la tangente MM'. Il est facile de voir que la relation entre ces deux tangentes est réciproque ou involutive. Chacune est la conjuguée de l'autre.

Reprenons en effet les relations

^«37=0. ^udx = o, S^xdu^o,

entre un point d'une surface et le plan tangent en ce point. La caractéristique d se rapporte à un certain déplacement du point sur la surface. Désignons par o la caracléristique relative à un

LE RRINCIPE DE DIAI.ITÉ. -S^

autre dépiacement. On aura

V « car = o, V

xoii = o.

Si l'on \e\\\ que ce déplacement soit celui qui se rapporte à la direction conjuguée, il faudra que la première des deux équations précédentes soit vérifiée quand on y remplacera m, c, «r, p par u + du, v + «if, (v + dw^ p + dp, ce qui donnera la condition

ax

qui exprime la propriété considérée. Or, si l'on remplace w, P,

1 ' • ' • ^^ df df df df ., ,

a', p par les quanlites proportionnelles —■, -pj -7^> j-. 1 équation

précédente devient

■r-^.dx oa: -H. . .H- - — ^(dx ûy -4- rfv oa?) -H-. . . = o.

Comme elle est parfaitement symétrique par rapport aux caractéristiques c/, 0, on voit que la relation entre deux tangentes conjuguées est bien involutive comme nous l'avons annoncé. Elle pourra s'exprimer, par exemple, par la relation

^ ttu dx = o,

(jui montre que l'on peut échanger les coordonnées ponctuelles et les coordonnées tangentielles. En d'autres termes, la propriété des tangentes conjuguées est daalislique (').

62. On peut se proposer pour les coordonnées tangentielles, comme nous l'avons fait pour les coordonnées homogènes, de donner une définition géométrique de ces nouvelles coordonnées.

D'abord si, dans léqualion

(') Un pf)urra lire une autre (lémonslratiou dans l'Ouvrage de l'Auleur : Leçons sur la théorie des sur/aces et sur les applications géométriques du Calcul iiijinitésimal, a» édition, Première Partie, n° 106.

88 LIVRE I. — CHAPITRE Vr.

X, y, 2, t sont des coordonnées cartésiennes homogènes, il est clair que

désignent les inverses des longueurs interceptées sur les axes coordonnés par le plan précédent.

S'il s'agit de coordonnées tétraédriqnes générales, nous avons vu que ces coordonnées ont leurs rapports parfaitement définis dès que l'on donne le tétraèdre de référence A^BCD et le point P dont les coordonnées sont égales. Par ce point P et l'une des arêtes, AB par exemple, faisons passer un plan qui coupera l'arête opposée CD en un certain point P'. Ce point P' étant défini par des relations telles que les suivantes :

il est clair que son conjugué harmonique sera dans le plan (cr) défini par l'é(|uation

Ainsi nous avons ce théorème : Si^ par un point quelconque et les six arêtes du tétraèdre, on fait passer six plans, qui coupent les arêtes opposées en six points, les conjugués harmoniques de ces six points par rapport aux sommets du tétraèdre situés sur r arête qui les contient sont dans un même plan.

Ce théorème peut donner de deux manières une définition tout à fait générale des coordonnées tangenlielles. Voici la première :

Le point où le plan défini par l'équation

ux -^ vy -\- wz -\- pt = o

coupe l'arête du tétraèdre intersection des deux faces

est déterminé par la relation

Or, sur l'arête considérée, on connaît quatre points : d'abord les

LE PRINCIPE DE DUALITÉ. 89

deux sommets du tétraèdre cléHnis respectivement par les équations

nous les désignerons par B et \; on connaît aussi le point/» défini par l'équation précédente et le point p' où le plan (ro) coupe la même arête et qui est défini par l'équation

Le rapport anharmonique des quatre points A, 13, />, p est donc égal, d'après les règles données, à — • On a

Ainsi, le quotient de deux quelconques des coordonnées tangentielles s'exprime par un rapport anharmonique.

Dans le cas d'un véritable tétraèdre et de points réels, on a évidemment

BjD ~ 8b ' B/>' ~ S'b '

0^, ô(5 désignant les distances afi'ectées de signes des points A, B au plan considéré et o^, Og les dislances an plan fixe (nr) qu'il faut adjoindre au tétraèdre de référence pour définir entièrement les coordonnées; et alors on peut écrire la proportion

En d'autres termes, les coordonnées tangentielles sont proportionnelles aux distances du plan aux quatre sommets du tétraèdre multipliées par quatre nombres fixes.

On verra facilement que ces]Jnombres sont tous égaux quand les coordonnées ponctuelles sont barycenlriques; car alors le plan défini par l'équation (i) est rejeté à l'infini.

63. En résumé, tout, dans les considérations préliminaires que nous venons de dévelop|)er, repose sur la considération des substitutions linéaires et du rapport anharmonique. On peut même rattachera celte considération des théorèmes qui ont une apparence

go LIVRE I. — CHAPITRE VI.

absolument métrique. Nous choisirons comme exemple le célèbre théorème de Garnot sur les transversales.

Soit

l'équation homogène d'une surface, que nous su[)poserons du degré n. Si .r, r, ^, i', x', y'-, 2', // désignent les coordonnées de deux points A et B, on pourra, pour obtenir l'intersection de la droite AB avec la surface, exprimer (pie les coordonnées

x-h'kx', JK + '-j', s-+-Às', l-{-lt'

d'un point quelconque de la droite AB vérifient l'équation de la surface, et l'on sera ainsi conduit à l'équation

f{x-{-\x'. y -h\y', z -^\z\ t -{-ht') = o

qui définit « valeurs de X. Soient A,, X2, ..., A,* ces valeurs. On aura évidemment

(3) JL + L+...+ J

, " V,dnx,y.z.t) ^ ôf , ^,<)f ^ ^,ùf\

Ces relations donnent lieu aux conséquences suivantes.

Prenons sur AB le point H qui se trouve, par exemple, dans le plan (P) représenté par l'équation

(f(x, y, z, t ) ~ ax -{- by -\- cz -i- dt ~ o.

La valeur )/ de \ qui correspond au point H sera déterminée par l'équation

Désignons par M/ le point de AB qui se trouve sur le lieu et correspond à la valeur À/ de À; d'après noire écpiation fondamentale, on aura donc

(4) jr ->•'!( V B, M/. H) et l'équation (2) ])rendra la forme

LE PRINCIPE DE DUALITÉ. 9I

Désignons le premier nieinbre par (AB). Il résulte de la formule |)récédente que, si l'on considère un poljgone plan ou gauche ABC . . . LA, on aura

(AB)(BC)...(KL)(LA)=i.'

f C'esL le lliéorème de Carnol mis sous ("oriue projeclive. L'interprétation de tous nos raisonnements pourrait d'ailleurs se faire en coordonnées ta ngenti elles.

Pour retrouver la forme ordinaire du théorème de Garnot, il suffît de supposer que le plan (P) soit le plan de l'infiui. Alors on a

et, par suite, et si l'on pose

.:fl(A, B. M„H) = 4^ BM/