LES CONIQUES ET ^KS J)IVIS10NS HOMOGRAPHIQUES. I
genre dans lesquelles le déterminant
n'est pas nul représentent une conique.
Une conique peut être représentée d'une infinilé de manières par des formules telles que les précédentes (2). 11 est aisé d'établir la relation entre tous les systèmes que l'on peut obtenir. Considérons, en effet, deux droites représentées par les équations
et se coupant en un même point P de la conique. Si l'on substitue, dans les polynômes a et ^, les valeurs (2) de x, y^ z, on obtiendra évidemment des résultats de la forme
a =(/»,— «/i)(\/H- Bm), P = (««1— uti){Ct -+- D«), — étant la valeur de — qui correspond au point P. On aura donc
Ci ~ D u
Avec tout autre système de formules de la forme (2), on trouverait de même
On aura donc
nécessairement
ce qui donne
C^-4-Dm C't'-hD'u' kt -i-Bu~ A't'-+- B'ii
t A,/'-j-B,i<' u ~ Cl <'-f- Di u! '
Ainsi on passera d'un système de formules à tout autre par une simple substitution linéaire faite sur t et u.
71. La propriété précédente des coniques permet de démontrer, sans employer le théorème de Bézout, que loute conique coupe en 2/> points au plus une courbe de degré/?. Car si l'on substitue
dans l'équation de celle courbe les expressions (2) de x, y, 5, on
obtienl bien une équalion de degré 2/) en -•
Nous pouvons aussi démonlrer de la même manière une proposilion éléganle el peu connue de Paul Serret. Cet habile géomètre a établi dans sa Géométrie de Direction que, si l'on prend sur une conique six points de coordonnées xi^ jk/, ^i-, on peut attribuer à chaque point [xt^ jk/, Zi) un coefficient X,- tel que cp(a:, y, z) désignant un polynôme homogène quelconque du second degré, on ait
(3) ^\i<:j{xi,yi, Zi) = o.
Faisons, en effet, u ^i dans les formules et soit tt la valeur de t qui correspond au point (xi, yi, Zi). Si l'on pose
f{t) = (t — ti){t-t,)...{f-t,), on sait que la somme
où o{t) est un polynôme du quatrième degré au plus, est égale à zéro. Or, si l'on substitue dans o(x, y, z) les valeurs dexi, yi, Zi, on obtient un polynôme du quatrième degré au plus. On a donc
ce qui donne le théorème de Paul Serret et fournit une expression élégante de ses coefficients Xi.
72. Nous allons voir comment le théorème conduit, sans autre postulat, à l'équation générale des coniques passant par quatre points. Soient S et T deux polynômes tels que çp(a7, j', z), s'annulant pour les quatre premiers points d'indices i, 2, 3, 4- En leur appliquant la relation (3) on aura
À5S5-I- XfiSo^ o, X5T5-)- XeTe^ o,
d'où
S5 ^ T. Te*
LES CONlQtES Et LES DîVtSÎONS HOMOGRAfHIQUËS. lOQ
Cette équation, qui s'applique à tout point (6) quand le point (5) est donné, nous montre bien que l'équation générale des coniques passant par les quatre points est
S — AT = o.
Ce résultat a été établi pour la première fois par Lamé dans un Opuscule célèbre publié en 1818 (' ).
D'après cela, si l'on prend deux systèmes de droites passant par les quatre points 1 , 2, 3, 4 {fig- 6), on voit que l'équation de toute
Fig. 6.
conique passant par ces quatre points pourra s écrire
De là se déduit la propriété fondamentale des coniques, relative au rapport anharmonique.
Les équations
a = X^, 8 = Xy
représentent évidemment deux droites qui se coupent en un même point M de la conique. Quand X varie, la première équation représente un faisceau de droites ayant pour sommet le point 2; la seconde, un faisceau de droites ayant pour sommet le point 4- Comme les rapports anharmoniques des quatre droites de chaque faisceau ne dépendent que des valeurs de X, nous obtenons le résultat suivant : le rapport anharmonique des quatre droites qui joignent le point 2 à quatre points de la conique est égal au rapport anliarmonique des quatre droites qui joignent le point 4 à ces mêmes points.
(') Lami-; ((i.)> l'Xamen des dijj'érentes méthodes employées /*our résoudre les problèmes de Géométrie. Paris, 1818.
tio
