LIVRE I

Considérant les quatre points comme fixes et Jes points 2 et 4 comme variables, nous sommes conduits au théorème fondamental suivant :

Étant donnés quatre points .4, B, C, D sur une conique, le rapport anharmonique des droites MA, MB, MC, MD qui joignent un point M quelconque de la conique à ces quatre points est un nombre constant.

La réciproque est aisée à démontrer.

Soient X[, yi, ^i, ..., ^r^, ^4, Zi, les coordonnées des quatre points A, B, C, D ; ^, jKi ^ celles du point M. L'équation de l'une quelconque des droites MA, MB, MC, MD sera

Pour avoir le rapport anharmonique de ces quatre droites, supposons que l'on ait

a?! Xi x^x^^ o

et prenons le rapport anharmonique des quatre points où elles

coupent la droite

Introduisant cette hypothèse dans l'équation (4), on aura Y xyi— y Xi

ce Z [ — zoo !

Le rapport anharmonique des quatre droites sera celui de ces

Y quatre valeurs de ^j rapport qui, après quelques réductions,

prend la forme

X X<, Xl

Zî

y yi yi

y yi ys

z Zi Z3

En l'égalant à une constante, on a bien l'équation d'une conique.

LES CONIQUES ET LES DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES. tH

L'expression que nous tenons de donner pour le rapport anharmonique nous permet d'indiquer quelle est sa valeur quand on introduit les paramètres t figurant dans les formules (2) où l'on aura fait ii^=\. Un des déterminants qui entrent dans l'expression précédente, le premier par exemple, devient égal à

{t — ty){t--t-,){t,-ti),

/, ^,, ^3 étant les valeurs du paramètre pour les points M, A, C. En appliquant la même expression aux trois déterminants, on "^ trouve que le rapport anliarmonique des quatre droites MA, MB, MC, MD est égal à celui des paramètres relatifs aux quatre points.

73. En coordonnées tangentielles, les mêmes calculs nous donneront les théorèmes suivants. ^

Une tangente variable à une courbe de seconde classe intercepte sur quatre tangentes fixes quatre points dont le rapport anliarmonique est constant.

Si une droite se meut de manière à couper quatre droites fixes en quatre points dont le rapoort anliarmonique soit constant^ elle enveloppe une courbe de seconde classe tangente aux quatre droites.

Et il ne reste plus qu'à montrer qu'une courbe de seconde classe est aussi du second degré, ce qui appartient aux éléments, mais la démonstration suivante ajoutera quelque chose à ce que nous savons.

Comme une courbe du second degré el, pour les mêmes raisons, une courbe de seconde classe peut être représentée par les équations

! u = a "k^-h 'ib \ -h c,

où A désigne un paramètre variable et qui sont analogues aux équations (2). Le point de contact de la droite qui correspond à une valeur de A avec son enveloppe sera défini par les relations

iix + v y -H iv s = <), X dit -\- y dv -\- z dw = o

Itl LIVRE I. — CHAPITRE VllI.

qui nous conduisent aux expressions suivantes de x^y^ z :

l X = (h'I -h c')(a"l -f- b") - (b"l -\- c") (al -^ b'),

(6) I ^ = (6"X + c")(a X-t- 6 ) — (6 À + c )(a"X-f- b"), ( z = (bl-^c){a'\-^b') — {b'l-i-c')ia'k~b).

Ces valeurs, quisonldii second degré en À, définissent bien une courbe du second degré. La démonstration prouve en outre qu'on peut employer le même paramètre X dans les deux systèmes de formules relatives aux coordonnées ponctuelles et aux coordonnées langentielles.

Il résulte de ce qui précède qu'on peut définir nettement le rapport anharmonique de quatre points sur une conique. C'est : ou bien le rapport anharmonique des quatre droites qui joignent ces points à un point variable de la conique, ou bien le rapport anharmonique des quatre points où' une tangente variable de la conique coupe les tangentes en ces quatre points à la conique, ou enfin le rapport anharmonique des quatre valeurs du paramètre ). qui figure dans les formules (5) ou (6).

74. Les démonstrations précédentes nous conduisent naturellement à introduire une notion dont on fait grand usage en Géométrie, celle des faisceaux et des divisions homographiques.

D'une manière générale, nous dirons que les deux faisceaux (ponctuels ou tangentiels) définis par les équations

sont homographiques quand X et )/ sont liés par la relation

(8) AXX'+ BX-i-GX'-f-D = 0,

où A, B, C, D désignent des constantes quelconques. Nous avons déjà rencontré le cas où la relation précédente se réduit à ). = )/. Si l'on élimine X, )/ entre les trois équations ('j), (8), on est conduit à une relation du second degré. Donc

Le point d'interseciio/i des La droite de jonction des points

rayons correspondants de deux correspondants de deux divisions

faisceaux homographiques de homographiques sur deux droites

droites décrit une conique passant décrit une conique tangente à

parles sommets des deux faisceaux. ces deux droites.

LES CONIQUES ET LES DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES. Il3

Celte conique se décompose dans les deux cas suivants :

i" Se, 0, O' étant les centres des deux faisceaux, 00' correspond à O'O. Alors le point d'intersection de deux rayons correspondants décrit une droite.

■2" Si V homographie est telle que la relation (8) se décompose en deux facteurs

i" ^S'f A, point d'intersection des deux droites, se correspond à luimême dans les deux divisions.

Alors la droite de jonction de deux points correspondants va passer par un point fixe.

i" Si V homographie est telle que la relation (8) se décompose en deux facteurs

{k\ + G)(AX'+ B) = o.

Alors la conique se réduit à deux Alors la conique se réduit à deux droites passant respectivement points situés respectivement sur les par 0 et 0' . deux droites.

7o. Les propositions précédentes sont fondamentales dans la

théorie des coniques. On en déduit d'abord le théorème de Pascal.

Soient I, 2, 3, 4i ■>■) 6 (fig'. 7) six points d'une conique. Met-

tons à part les points i et 5. Les deux faisceaux qui ont ces j)oints

pour sommets

donnent quatre droites ayant le même rapport anharmonique.

Les droites du premier faisceau coupent la droite 34 aux points

a, 3, 4) 1^1 celles du second faisceau coupent la droite 9.3 aux

points 'i, 3. "1 0. Puisque les divisions liomographiques sur deux

droites dillérentes a34,3 el ■2?)'ro ont en commnn le point d'inler-

Il4 LIVRE I. — CHAPITBE Mil.

seclion 3 de ces deux droites, les droites 2 a, 4 Y el 1^^ sont concourantes, ce qui est le théorème de Pascal.

Dans la figure précédente considérons le triangle [^60. Quand le point 6 décrira la conique, ce triangle aura ses côtés qui passeront par trois points fixes i, £, 5. Deux de ses sommets j3, 0 décriront deux droites fixes, 34 et 23 respectivement. Ces conditions suffisent à définir le mouvement du triangle. On a donc le théorème suivant de Newton et de Mac Laurin :

Quand les côtés dun triangle passent par trois points Jixes^ tandis que deux de ses sommets décrivent des droites fixes, le sommet libre décrit une conique.

Mais la théorie des faisceaux homographiques nous conduit à un théorème bien plus général, qui a été aussi donné par Mac Lauri^n :

Considérons un polygone A|A2...A/j dont tous les côtés passent par des points fixes, A, A^. par a, , Aj A3 par ao, et ainsi de suite, A„A., par a,i. Si les /i — i sommets A,, A^, ..., A,,, décrivent des droites fixes, le sommet libre décrira une conique.

Gela résulte immédiatement de ce que les faisceaux formés par les dillerents côtés sont homographiques les uns aux autres.

76. Nous avons donné plus haut une démonstration du théorème de Pascal. En voici une très simple, qui est peut-être nouvelle : Considérons {fig. 8) l'hexagone inscrit et soient

Mo,

Fig. 8.

les équations des côtés 12, 23, 34, 45, 56, 61 respectivement. Soit en outre

LES CONIQUES ET LES DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES. Il5

l'équation de la diagonale 36. La conique étant circonscrite au quadrilatère 1286, son équation pourra s'écrire

(9j ao + PY'=o.

Elle est circonscrite de même au quadrilatère 3645. Son équation pourra donc aussi s'écrire

Les deux équations (9) et (10) re[)résentant la même courbe, on peut admettre qu'elles ont été écrites de manière que leurs premi( rs membres soient identiques. On aura donc

aS -t- 8-;' = a'o -t- yP' OU encore

S(a — a') = Y[i'-pY'.

Les deux équations

8(a — a') = o, yP'— Py'^^o

représenteront donc la mêuie courbe. Comme la première se réduit à un couple de droites, il faut qu'il en soit de même de la seconde. Or celle-ci contient les quatre points définis par les équations

Les deux premiers sont évidemment sur la droite

11 faut donc que les deux autres soient sur la droite

oc — a' = o.

qui se trouve ainsi contenir les points de concours des côtés opposés de l'hexagone. C'est le théorème de Pascal.

77. Une autre proposition fort importante, le théorème de Desargues, généralisé et complété par Sturm, permet d'établir une relation entre six points d'une conique. Mais, avant de l'exposer, il faut que nous donnions quelques notions sur l'involulion.

La relation homographiquela plus générale, celle qui relie deux éléments tels qu'à une valeur de l'un d'eux corresponde une seule valeur de l'autre est nécessairement de la forme

(11) .\XX'+BX + Ca'+ I) == o.

Il6 LIVRE I. — CHAPITRE VIII.

Généralement, cette relation change quand on permute A et X'. Mais, si Ton a B= (], elle est symétrique relativement aux deux variables X, V ; nous dirons qu'alors elles sont en involution.

Dans toute relation homographique, il y a lieu de considérer les éléments doubles. Ils sont donnés par l'équation

obtenue en faisant A = X' dans la relation (i i). Ces éléments sont généralement distincts. Désignons-les par a, |3. Si A, X'; Xo, X|, désignent deux couples d'éléments correspondants, on aura évidemment

<fR(X,Xo, a, ^) = S^{\', X'o. a, ^)

et, par conséquent, la relation homographique pourra prendre la forme canonique

Ainsi le rapport anharmoniqne

c"^(X, X', «, p) est un nombre constant.

Si l'homographie devient une involution, ce nombre constant, ne devant pas changer quand on échangera X et )/, sera nécessairement égal à — I. Ainsi, deux éléments en involution sont ceux qui divisent harmoniq uement un couple donné d'éléments a, [3.

Dans le cas où a = [S, la relation involutive prend la forme

Elle se décompose en (acteurs. C'est bien là un cas limite de la division harmonique.

Quant à la relation homographique, on s'assurera aisément qu'elle prend la forme

78. Une relation homographique est délerminée quand on connaît trois couples d'élérjients correspondants a, «' ; 6, b' ; c, c' ; et cela se comprend puisque alors la relation entre deux éléments

LES CONIQUES iq; Li:S DIVISIONS HOMOGRAI'HIQUES. I I7

correspondants quelconques m, ni! est déterminée par la relation

c'R(m, «, 6, c) =t^îl(/«', rt', 6', c').

Mais il suffit de deux couples d'éléments correspondants pour déterminer une involution. La condition pour que trois couples

a, a'; jS, [ii' ; v, y' soient, comme on dit, en involution, c'est que

l'on ait

Cette relation se transforme d'un grand nombre de manières. En multipliant le déterminant précédent par le suivant :

qui n'est pas nul tant que x^y^ z sont différents, on trouve

i<x — x){%'—x) (7. — y)(cc'—y) (a — z)(a'— ^)

Donnons d'abord k x, y, z des valeurs choisies parmi les trois couples, par exemple a', [i', y'. Il viendra, a[)rès la suppression

de ^{yJ, §', y')('), la relation

(16) (a-!3')fp-Y')(ï-a')-(p-.a')(Y-P')(a-Y').

équation que l'on obtiendrait aussi en écrivant l'égalité des deux rapports

Jl(a, 'i, a', y'), Si{oL', 3', a, y;-

En échangeant dans la (ormule (i6) quelques-uns des éléments a et a', [i et [3', y ety', on obtiendra quatre relations de même forme. La remarque suivante a plus d'intérêt. Dans la relation (i5) faisons x =^ y., y = a'; elle prendra la forme

{,-, (a-fj)(a-^') ^ (a'-rj)(a'-J')

(') La fonction %( u, v, iv) a déjà été employée plus haut (Cliapilre III).

Il8 LIVRE \. — CHAPITRE VIII.

que l'on obtiendrait aussi en écrivant l'égalité des deux rapports anharinoniques

\insi, lorsqu'on a deux coup/es de V involution. ([i, ^') et (y, y'), tout autre couple est déterminé par V équation

OÙ k est un paramètre variable.

On peut prendre cette dernière propriété comme une définition de l'involution et dire que l'équation

(19) ax^ -\- ib X -\- c -\- \{t' x^ -{- ib' X -\- c' ) = o,

où \ est une variable, définit tous les couples appartenant à une involution qui est déterminée, par exemple, par les deux couples

fixes

aar^-t- 2 037 + c = o, a'ar^-i- 26'^; -I- c' = o.

Nous dirons que des points sont en involution sur une droite, que des droites passant par un point sont en involution, quand les éléments qui les déterminent forment une involution.

Desargues, qui, le premier, a défini et étudié l'involution, a fait connaître le théorème suivant :

Une transversale quelconque coupe les côtés opposés d\in quadrilatère et ses diagonales suivant trois couples de points qui forment une involution.

Les couples de côtés opposés d'un quadrilatère el les deux diagonales peuvent être considérés comme des coniques passant par les quatre mêmes points, les sommets du quadrilatère. Par conséquent, le théorème de Desargues peut être considéré comme un cas particulier du suivant, qui a été donné par Sturm :

Les coniques passant par quatre points ou, plus généralement, appartenant à un faisceau ponctuel, sont coupées par une droite quelconque suivant des segments qui forment une involution.

Les remarques précédentes nous permettent de donner une démonstration presque immédiate de cette importante proposition.