LES CONIQUES E?^ LES DIVISIONS HOMOGRAPHIQL'ES. I I

Soit, en effet,

(■20) ■S-+-XT = o

Téquation du faisceau de coniques considéré. On les coupe par une droite (|uelconque. On peut évidemment supposer que l'on a choisi le triangle de référence de telle manière que l'équation de cette droite soit

Si l'on introduit cette hj|)0thèse dans l'équation (20), on voit que les points d'interseclion des coniques du faisceau avec la transversale considérée sont déterminés par une équation de la forme

ax^-i- ibxy 4- c» *-t- \{ a' x^-^ ib' xy -4- c' y^) = o

([ui, d'après les remarques faites plus haut, met en évidence le théorème à démontrer.

Il est clair que, si une conique du faisceau devient tangente à la transversale, le point de contact devient un point double de l'involiition. Ainsi

Il y «, dans tout faisceau ponctuel^ deux coniques qui sont tangentes à une droite quelconque. Les points de contact de ces coniques sont les points doubles de l'involution déterminée sur la droite par les coniques du faisceau.

En interprétant autrement les équations, ou en transformant par polaires réciproques, on obtient le théorème suivant :

Si Ion mène d^un point des tangentes à toutes les coniques d' un faisceau tangentiel, les couples de tan génies ainsi obtenus engendrent une involution dont les rayons doubles sont les tangentes aux deux coniques du faisceau qui passent par le point cons idèi 'é .

Un faisceau tangentiel est formé généralement des coniques inscrites dans un quadrilatère.

Si, par exemple, deux sommets opposés du quadrilalère circonscrit sont les deux points I et .1, les autres couples de sommets opposés sont les foyers des coniques du faisceau. Ces coniques sonl homofocales; celles d'entre elles qui passent par un point M

120 LIVRE I. — CHAPITBE VIII.

j ont pour tangentes deux droites'qui divisent liarmoniquement l'angle IMJ et sont, par conséquent, rectangulaires. De plus, les tangentes menées de M à l'une quelconque des coniques homofocales déterminent une involiition dont les rayons doubles sont les tangentes en M; elles sont donc placées symétriquement par rapport à ces tangentes. Nous retrouvons ainsi un théorème bien connu.

79. Dosargues a fait usage de son théorème pour construire avec la règle le sixième point d'une involulion quand on connaît les cinq autres.

Soient, en elFet, sur une droite deux couples AA.', BB' déterminant une involution et proposons-nous de trouver le point C qui correspond à un point C dans cette involulion (yt». g). Par A, A.', C

Fig. 9-

on mènera arbitrairement trois droites formant un triangle at^y- On joindra Ba, B'^ et l'on formera ainsi un quadrilatère [îioae dont les côtés opposés couperont la transversale suivant les couples A A'. BB' et dont une diagonale passera par C. Pour avoir l'homologue C de C, il suffira donc de mener la seconde diagonale Ss.

Cette construction permet évidemment de suppléer au théorème de Pascal et de construire avec la règle la conique déterminée par les cinq points i, 2, 3, /\, 5.

Considérons en effet la conique définie par les cin([ points i, 2, 3, 4î 5 (Jig. lo). Appliquons la construction précédente. Une droite 5x menée arbitrairement par le point 5 coupe les côtés opposés du quadrilatère i, 2, 3, 4 suivant deux segments AA', BB' qui déterminent une involution dans laquelle le point cherché x de