LES CONIQUES ET LES DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES

la conique est l'homologue du point 5. Les trois droites i4, 2,3 et une droite arbitraire fixe .l'/j' menée par le point 5 jouent le rôle des côtés du triangle a^y de la construction précédente. On joindra 4'!^, 3'B'^ ce qui déterminei'a les poinis i', 2'. Le quadrilatère i'2'3'4' sera tel que deux de ses côtés opposés i'4', '>/3' détermineront sur la transversale le segment AA', que ses diago-

Fis. 'o.

nales r'3' et 2' 4 détermineront sur la même transversale le segment BB' et, enfin, que l'un de ses côtés 3'4' iia passer par le point 5. Donc l'autre côté l'i' ira couper la transversale au point cherclié.

Cette construction nous donne le point x comme le sommet de deux triangles variables Vti' x ou ,ri'B'. Prenons le second, par exemple. Deux de ses côtés passent par des |)oints fixes: l'B', qui passe par 3', et ,r B', qui passe par le point 5 ; deux de ses sommets décrivent des droites : i' décrit la droite i4 et B' décrit la droite 34 ; mais le (:(')l('' i'2'ne passe pas g(Mi( ralement par un point fixe; car, 1' et 2/ étant en relation homographique, la droite \' 1! enveloppe une conique tangente aux droites i4 et aS. Cette construction est donc toute dllïerente de celle de Newton et de Mac Laiirin. Mais elle la comprend comme cas particulier et elle la donne immédiatement si l'on suppose que la transversale

fixe 3' 4', assujeltie à passer par le point 5, va passer aussi par le poinl 3.

80. Dans ce qui précède, nous avons envisagé les relations homographiques entre les points d'une droite ou entre les droites d'un faisceau. On peut aussi considérer les divisions honiographiques sur une conique.

\ étant le paramètre dont dépend la position de chaque point de la conique conformément aux formules données plus haut, la relation

(20) AXX'h- BX + (;)/+ D = o

définira la relation homographique la plus générale entre deux points d'une conique. Voici les propriétés essentielles relatives à cette relation :

D'abord, la corde qui réunira les deux points correspondants enveloppera une conique doublement tangente à la proposée si la relation n'est pas invotutive. Si C homographie se réduit à une involution^ la corde passera par un point fixe.

Pour le démontrer, supposons que l'on ait choisi le triangle de référence de telle manière que les équations qui définissent un point de la conique proposée soient de la forme simple

Alors l'équation de la conique sera

Les valeurs de À qui déterminent les points de la conique situés sur la droite

( 22 ) ux -\- V y -\- w z r=L o seront déterminées par l'équation

en sorte que l'équation tangentielle de la conique proposée sera

(24) v^ — !\uw = o.