LES CONIQUES ET LES DIVISIONS HOMOGRAPHIQLES

Si l'on veut que la droite définie par l'équalion (2 i) rencontre la conique en deux points qui se correspondent dans la relation liomograpliique considérée, il faudra exprimer que les deux racines (le l'équation (28) satisfont à la relation (20). On est ainsi conduit par un calcul facile à l'équation

(2:ï) [iXw — iB-h C)v + iD uY = (B — C)Hv- — 4«"^),

qui représente, en coordonnées tangentielles, une conique doublement tungenle à la proposée. Les points de contact sont évidemment les points doubles de la division homographique.

Si l'on a B =: C, l'homogTriphie devient une involution et la relation (23) se réduit au premier degré. La droite qui joint les points homologues va passer par un point fixe. Les tangentes menées de ce point à la conique la louchent aux points doubles de l'involution.

Revenons au cas où B est di lièrent de C. Si l'on considère une

conique doublement tangente à la proposée, son équation est de

la forme

(A'tv -f- B'i' -+- C u)'^— V-— 4««'.

En identifiant cette équation avec la précédente (25), on voit que toutes les tangentes à cette conique couperont la conique proposée en deux points liés par la relation homographique

A'XX'— B'(X-f-X')-+-C'±(X -À') = 0.

Le double signe lient à ce que l'on peut intervertir les deux points d'intersection.

Voici une autre pro[)riété fondamentale. Considérons deux divisions homographiques sur une conique. Si, prenant deux points fixes quelconques O, O' sur la conique, el deux points m, m' qui se correspondent dans les deux divisions, on mène les droites Om, 0'/?î', d'après la propriété fondamentale des coniques, les deux rayons Om, O' m' engendreront deux faisceaux homographiques. Car le rapport anharmonique de quatre rayons du premier faisceau sera égal à celui des points m correspondants, (pii est égal lui-même à celui des points homologues m' dans la division homographique et, par suite, égal à celui des quatre rayons O' m' . Or, prenons arbitrairement deux points //, n' qui se

correspondent dans les deux divisions, et plaçons le point O en n' et le point O' en n. Alors, dans les deux faisceaux de droites ayant pour sonim<'ts O et O', le rayon O'O et le rayon OO' seront correspondants; par suite, deux rayons homologues quelconques des deux faisceaux se couperont suivant une droite d. Cette droite est pleinement déterminée, car elle va couper la conique aux deux points doubles de la division homographique. Ainsi on a cet élégant théorème :

Etant données deux divisions houiograpliiques suf une conique, et deux couples m, m' \ /z, n' de points homologues dans cette division, les deux droites mn' et nm' se coupent sur une droite fixe qui va rencontrer la conique aux deux points doubles de Vhomographie considérée.

Ce tliéorème peut se déduire de celui de Pascal. Il peut aussi servir à le démontrer. Considérons, en efïet, six points d'une conique i, 2, 3, 4, 5, ti. On peut imaginer une homographie dans laquelle les points 1, .3, 5 ont respectivement pour homologues les points 4, 6, 2. Alors les droites 16 et 34, 12 et 45, 23 et 56 se coupent en trois points qui sont en ligne droite. C'est le théorème de Pascal. Et cette démonstration est moins artificielle que celle qui re|)osc (n" 75) sur la considération de deux divisions homogi'aphiques.

Si l'on joint deux points fixes O, O' d'une conique à un point variable jj. d'une droite fixe, les droites Ojjl, O'jjt. coupent la conique en (\eu\ points variables /?i, m' qui sont en correspondance homographique sur la coni(jue, le point O faisant partie de la seconde division ei le point G' de la première. On obtient ainsi évidemment la relation homographique la plus générale ealre deu\ points d'unt' même conique. Cela lésulte du théorème précédent.

Pour obtenir les involutions les plus générales, il suffira de couper la conique par une droite tournant autour d'un point fixe.

81. Les propositions précédentes nous fournissent des constructions élégantes pour les principaux problèmes relatifs aux divisions honiographiques.

Considérons d'abord les divisions homographiques sur une droite. Une telle division est déterminée quand on connaît trois

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couples de points correspondants /«, ni'; n, n'; p, p'. Comment la construire? On tracera une conique quelconque, un cercle par exemple, et l'on prendra un point O sur ce cercle. Les droites Om, Om', On, On', Op, Op' couperont ce cercle en de nouveaux points M, M', N, N', P, P'. Et M, N, P correspondront à M', N', F dans une division liomographique tracée maintenant sur la coni(|ue. Les points d'intersection des droites MIN' et i^M', MP' et PM', NP' et PN' détermineront une droite (|ui permettra de résoudre tous les problèmes relatifs à l'homographie considérée. Par exemple, elle coupera la conique en deux points qui, projetés de O sur la droite, donneront les points doubles de Ihojnographie. Pour avoir l'homologue Q' d'un point Q de la conique, il faudra faire en sorte que MQ' et M'Q se coupent .siii- la droite précédente, puis projeter les deux points (), O' sur la droite lieu des points m, m', etc.

De même, si l'on \ eut construire deux faisceaux homograpliiques composés de droites passant par un point O, on fera passer une conique quelconque, un cercle par exemple, par le point O, et l'on sera ramené aux mêmes problèmes que précédemment.

Remai'qnons que, si l'on triinsforme par polaires réciproques le théorème sur lequel nous nous sommes appujé, on sera conduit au suivant qui pourrait servir de base à de nouvelles constructions :

Etant donnés trois couples de points correspondants m, m' ; //, n' ', />, p' dans une division honiogi apliique tracée sur une conique, les droites qui joignent te point de concours des tangentes en m, n' et des tangentes en n, m' ; des tangentes en n, p' et des tangentes en p, n' \ des tangentes en p, m' et des tangentes en /n, p' concourent en un même point oii viennent concourir aussi les tangentes à la conique aux deux points doubles de la division homo graphique .

82. La théorie des correspondances homographiqurs sur une conique permet de résoudre avec élégance des problèmes qui, depuis longtemps, ont fait l'objet des éludes des géomètres.

Etant donnés une conique (C) et n points fixes n',, «o, . . ., a,ii proposons-nous de trouver un polygone de n côtés inscrit dans la conique et dont les côtés passent respectivement par a,, <Ï2, . .., a„.

Considérons un point quelconque M de la conique, la droite M«, ira couper la conique en un point variable M, qui sera en correspondance involutive, c'est-à-dire Iiomographique, avec M. Joignons M, à «21 'a droite Mfa-, coupera la conique en un point Mj qui sera évidemment en relation hoinographique avec M. En continuant de cette manière, c'est-à-dire en construisant la droite M2a3, qui coupera la conique en M3, puis enjoignant M3 à a, et ainsi de suite, on finira par obtenir un point M„ qui sera en relation honiographique avec M. Il n'} a aucune difficulté à définir cette correspondance Iiomographique. A trois positions du point M correspondront trois positions du point M„ et les trois couples de points ainsi obtenus définiront la correspondance Iiomographique entre M et M«. Soient, par exemple, M', M", M'''' trois positions de M auxquelles correspondent trois positions M^^, M^,, M™ de M„. Nous avons vu que les points doubles de la correspondance homographique seront à l'intersection de la conique avec la ligne droite sur laquelle se trouvent les intersections des trois couples de droites M'M; et M"i\i;,, IVFM; et M;M'", M"'M;, et M;;M'. Toutes ces constructions pourront se ("aire sans même que la conique soit tracée. Si , par exemple, elle estdéterminée parcinq points, l'emploi de la règle seule et du théorème de Pascal permettra de déterminer les trois couples de points correspondants M'M^^, M"M^,, M'"M)^'. Seule, la détermination des points doubles exigera une construction quadratique, qui pourra se faire par l'emploi du théorème de Desargues.

Ces points établis, le problème (pie nous nous étions proposé se trouve résolu. Il suffira, pour que le polygone MM| ... se ferme, que le point M coïncide avec un des deux points doubles que nous venons de déterminer. Il y aura donc en général deux solutions, réelles ou imaginaires, du problème. Mais nous devons remarquer que la relation Iiomographique entre M et M„ peut se réduire à la coïncidence. S'il en est ainsi, le poljgone se fermera toujours et il j aura une infinité de solutions.

Ainsi, le problème posé a deux solutions, réelles ou imaginaires, ou bien, s'il en a plus de deux, il en a une infinité.

(considérons par exemple un triangle conjugué abc. Si les côtés d'un triangle vai iable ABC doivent passer par ces trois points, la théorie des polaires nous montre immédiatement que, lorsqu'on