LES CONIQUES ET LES DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES. I

prendra pour côté AB lîïie droite quelconque passant par c, le triangle ABC se fermera toujours.

83. On peut donner une autre solution élégante du problème proposé. Elle repose sur la remarque suivante :

Si l'on joint le pointM à a, puis le pointM, à «25 '1 J ^ (/^^- ' 0

Fig. II.

entre M et Mo une correspondance homographique; mais cette correspondance est si simple que nous [pouvons la définir immédiatement. Ses points doubles, par exemple, sont, évidemment, à l'intersection de la conique avec la droite a, «2-

D'après cela, joignons le point M à un point quelconque M', de la conique. Les droites MM',, M', M 2 coupent la droite «102 en deux points a',, a', dont l'un au moins, le premier ou le second, pourra être choisi arbitrairement. Il est aisé de voir que l'on pourra substituer a\, à^ à «(, a^. En effet, la correspondance définie par le premier couple a évidemment mêmes points doubles que celle qui est définie par le second. J3e plus, elle fait correspondre M à M2. Or, une correspondance homographique est évidemment déterminée lorsqu'on donne ses points doubles et un couple de points correspondants. Notre proposition est donc établie.

Servons-nous en pour déplacer a,, a-^ de telle manière que le point «2 vienne se placer au point de concours a^ de rt,, «2 6t de «3, a, ; puis déplaçons de même les points a,.,, a-, de telle

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manière que a^ vienne coïncider avec 7.3. Alors le sominel JVJ3 viendra en M,. On pourra supprimer 7.3 et tout se passera comme si le polvgone avait deux côtés de moins.

Si le polygone primiiif est d'un nombre pair de côtés, la méthode précédente permettra de réduire les points à deux a,, a-,- Alors la solution est évidente ; la: droite cisa^ coupe la conique en deux points A, B et le polygone final est la droite double AB ou BA. Il y a donc deux solutions seulement, à moins que «2 ne coïncide avec «i, auquel cas il y en a une infinité.

Si l'on a un polygone d'un nombre impair de côtés, on pourra le réduire à un triangle dont les côtés AB, BC, GA devront passer par les. points fixes c, «, b.

On pourra supposer qu'on ait fait glisser les points a et c sur la ligne qui les joint de manière que le point a soit sur la |)olaire de b {Jig. 12). Alors, si l'on joint B6, Art, ces deux droites se couperont

Fig. 12.

en un point D de la coni<|ue, et le point c' d'intersection de AB et de CD sera le pôle de ab. Ce poini est donc connu, et le côté AB est déterminé, en général, par les deux points c, c' .

L;i méthode que nous venons de suivre conduit à des corollaires évidents. Pai- exemple, prenons un polygone inscrit d'un nombre pair 2/i de côtés et conpons-le par une droite. On peut établir que, sans cesser d'êlie ins( rit, il peut se déformer de manière que ses côtés pivotent autour de leurs points d'intersection primitifs avec la droite considérée. En efl'et, dans ce cas, nous pouvons considérer que nous avons trois polygones satisfaisant aux conditions posées :