LES CONIQUES ET LES DIVISIONS HOMOGRAPIIIQUES. I UQ

d'abord le polygone proposé, puis le polygone aplati dont les sommets de rang pair sont confondus avec im des points où la droite coupe la conique et les sommets de rang impair avec le second de ces points. Puisque nous avons trois solutions du problème, il y en aura une infinité.

84. La méthode que nous avons suivie s'appliquerait aussi au problème suivant : Inscrire clans une conique (C) un polygone dont tous les côtés soient tangents à des coniques qui soient elles-mêmes doublement tangentes à ((^). Car, si l'on considère un côté PQ de ce polygone, la condition à laquelle ce côté doit satisfaire d'être tangent à une conique doublement tangente à (C), c'est-à-dire de couper cette conique en deux points P, O qui soient en relation homograpliique^ peut se remplacer par la suivante : on peut adjoindre aux deux points P et Q un point P' de la conique tel que les droites PP', P'Q aillent passer par deux points fixes situés sur la ligne droite qui joint les points doubles de la division homographique. Et alors le problème à résoudre est ramené à celui que nous avons étudié dans le cas où le nombre des côtés du polygone à inscrire est pair.

Comme conséquence de ces méthodes, le lecteur démontrera aisément le théorème suivant :

Quand un polygone inscrit dans une conique (C) se meut de telle manière que tous ses côtés moins un soient tangents à des coniques doublement tangentes à (C), ou passent par des points fixes, le côté laissé libre enveloppera une ou plusieurs coniques inscrites de même dans (C). ou passera par un point fixe.

85. Nous allons indiquer maintenant quelques conséquences intéi'essantes du théorème de Paul Serre t.

Nous avons vu que, si ^/, yi, zi désignent les coordonnées homogènes de six points sur une conique, on peut écrire l'identité

'^(ar,y, s) étant une fonction homogène arbitraire du second degré et les X/ étant des coefficients, analogues à des masses,

l3o LIVRE I. — CHAPITRE VIII.

affectés aux différenls points de la conique. Prenons pour la fonction (D{a^,y, z) \e carré d'une fonction linéaire

(f(x, y, z) = {iix -^ vy -\- w zf.

L'identité précédente pourra s'écrire

(-27) VX/(Ma^/-+- <'jr/-+- (vz,)2 = — 2^w("a7,--t- PJ/+ n'ZiY.

Il suit de là que les deux équations

( 29 ) V ^'' ' " ''^i ■+■ ^'yi -^ WZif—O

représentent, en coordonnées tangentielles, une seule et même conique; et, comme cette conique est conjuguée à la fois par rapport aux triangles formés respectivement par les points 1, 2, 3 et par les points 4> 5, 6, on peut énoncer le théorème suivant :

Si Von partage cVane manière quelconque six points d\ine conique en deux groupes de trois points^ on obtient deux triangles qui sont conjugués par rapport à une même conique.

Cela constitue bien un tliéorème, caria condition pour que deux groupes de trois points donnent deux triangles conjugués se traduit par six équations.

Réciproquement, si deux triangles sont conjugués par rapport à une conique^ leurs six sommets appartiennent à une autre conique.

Pour le montrer, il suflit de reprendre en sens inverse les raisonnements précédents. La conique par rapport à laquelle les deux triangles sont conjugués pouvant être représentée par l'une ou l'autre des équations (28), (29), dont on peut toujours supposer les premiers membres égaux et de signes contraires, on sera conduit à l'identité (26) et, celle-ci devant être vérifiée pour toutes les valeurs de //, f, ce, on verra aisément qu'elle conduit à l'iden-

LES CONIQUES ET LES DIVISIONS HOMOGRAPIIIQIES. l3l

tilé qui, d'après le théorème de Paul Serret, caractérise six points d'une conique.

Si l'on applique la méthode des polaires réciproques, ou si l'on reprend les raisonnements précédents en remplaçant les points par des droites et les coordonnées langentielles par des coordonnées ponctuelles, on sera conduit au théorème suivant :

Si l'on partage d\ine manière quelconque six tangentes d'une conique en deux groupes de trois tangentes^ on obtient deux triangles qui sont conjugués par rapport à une même conique.

Réciproquement, si deux triangles sont conjugués par rapport à une conique^ leurs six côtés sont des tangentes dUine autre conique.

En rapprochant ces théorèmes des précédents, on en obtient de nouveaux qui n'ont pas moins d'intérêt. Il suffit de remarquer que la relation d'une conique à l'un de ses triangles conjugués est dualislique.

Si deux triangles sont inscrits Si deux triangles sont circons-

dans une même conigue, ils sont crits à une même conique., ils sont circonscrits à une autre conique. inscrits dans une autre conique.

Pour démontrer la proposition de gauche, par exemple, il suffit de remarquer que, d'après deux des propositions précédentes, les deux triangles sont conjugués par rapport à une même conique et que, par conséquent, leurs côtés sont tangents à une autre conique.

86. Les conséquences des propositions précédentes, qui présentent sous une forme nouvelle les relations entre six points ou six tangentes d'une conique, sont nombreuses. Nous signalerons, plus particulièrement, les deux suivantes :

D'abord, si deux coniques sont telles quil existe uti triangle inscrit à V une (C) et circonscrit à l'autre (C), il existe une simple infinité de triangles jouissant de la même propriété.

En eftet, soit a|'îiy un triangle inscrit à (G) et circonscrit à (C). Si, d'un autre point a' de (G), on mène les deux tangentes à (G'), elles coupent (G) en deux nouveaux points j3', y'. Les deux

l32 LIVRE I. — CHAPlTRIi VIII.

triangles a^v et a'^S'y', étant inscrits clans une même conique (C), seront circonscrits à une même conique. Cette conique ne peut être que (C), qui est déjà tangente à cinq des six côtés des deux triangles. Donc ^'y' sera tangente à (C).

Le point a' ayant été choisi arbitrairement, on voit que l'on aura une suite continue de triangles inscrits dans (G) et circonscrits

Il suit de là qu'étant données deux coniques (G), (G'), il n'existe pas, en général, de triangle inscrit à l'une et circonscrit à l'autre. Car, s'il existait un tel triiingle, on pourrait choisir un de ses sommets arbitrairement^ etil faudrait une condition pour exprimer que le côté ^y est tangent à (C).

On reconnaît, dans les résultats précédents, le cas le plus simple des célèbres théorèmes de Poncelet.

87. Cherchons, par exemple, la relation qui doit exister entre fleux cercles pour qu'un triangle inscrit au premier soit circonscrit au second.

On peut prendre les équations des deux cercles sous la forme

^ I (37— rf)2+ j2= 7-2.

Un sommet du triangle pouvant êlre choisi arbitrairement sur le premier cercle, nous supposerons qu'il ait été placé au point de coordonnées y = o, a? = R. Les deux tangentes menées de ce point au second crcle ont pour équation

[{x — dy'-hy^ — r'-][i\\ — dy-—r''] — [(a; — cl)(K — d) - ,-'-]■' = o.

Elles coupent le premier cercle en deux points^ et il faudra exprimer que la droite qui les joint est tangente au second cercle. Un calcul facile donne l'équation de cette droite, qui est

En exprimant (|ue la valeur de x donnée par cette équalion a pour valeur d zh /•, on est conduit à la relation cheichée qui se présente sous la forme

(R -h d zt r) {R — dy - iRr- z= o

LES CONIQUES ET LES DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES. l33

et se décompose en deux~^acteurs

(R — c/rp7)(rf2— R2zp2Rr) = G.

Le premier facteur est évidemment à rejeter, et il reste la condition clierchée ^ sous la forme

dt^ R2±.iR7-.

Telle est la relation entre le cercle circonscrit à un triangle et lundes cercles inscrit ou exinscrits. C'est celle qui a été donnée l)ar Euler.

88. Voici maintenant la seconde conséquence que nous signalerons :

Si un triangle variable est ins- Si un triangle variable est cirer it dans une conique (G), il existe conscrit aune conique (*^^), il existe une conique qui touche ses trois une conique qui lui est circoncîtes aux points où ces côtés scrite et qui est tangente, en ses touchent eux-mêmes leurs enve- trois sommets, aux courbes décrites loppes. par ces sommets.

Par conséquent, les droites qui Par conséquent, les points d'in-

j oignent chaque sommet au point tersection des tangentes aux de contact du côté opposé con- courbes décrites par les trois somcourent en un même point. mets avec les côtés opposés sont

trois points en ligne droite.

Ces propositions, qu'on obtient immédialement en considéiant deux positions infiniment voisines du triangle mobile, permettent, soit de construire le point de contact d'un côté quand on connaît ceux des deux autres côtés, soit de construire la tangente en un sommet quand on connaît les tangentes aux deux auli-es sommets.

Considérons, pai- exemple^ sur une conique (C) une homograj)liie, déterminée {fig- i3) par les deux points «( , a^, que l'on conviendra de joindre à un point variable M de la conique. Les droites rtjiNJ, ^2 M couperont la conique suivant deux nouveaux points M,, Ma qui seront en relation liomographique et la droite M,M\. enveloppera une conique (C) doublement tangente à (C) aux points où celle-ci est coupée par la droite «,«2- Pour avoir les

l34 LIVRE I. — CHAPITRE VIII.

points où la droite M, Ma touche (G'j, il suffira de remarquer que les côtés a, AJ, a, M ont respectivement pour enveloppes rt, et «a- Il faudra donc joindre M, ao^ Mort). La droite qui passera par leur point d'intersection viendra couper M, Ma au point de contact

cherché a.

Fi g. .3.

Ce point jj. est évidemment le conjugué harjnonique par rapport au segment M, Mo du point ui' où la droite M, Ma vient couper 15 corde de contact. Ainsi: Quand on a une conique (C) bitangente à une conique (C), chaque point de (C) est conjugué par rapport à (G) du point oii la tangente à (C) en ce point vient rencontrer ta corde de contact.

Cette proposition pourrait d'ailleurs se déduire du théorème de Desargues-Sturni. Car toutes les coni(|ues tangentes en b, b' à (C) déterminent sur la droite M, Ma une involution dont les points doubles sont évidemment jx, jj.'.

89. Nous terminerons ce Chapitre en rappelant une proposition dont on fait souvent usage : Étant données deux coniques indécomposables, on peut toujours les considérer comme polaires réciproques l'une de l'autre par rapport à une troisième conique.

Pour le démontrer, bornons-nous au cas général , où les deux coniques ont un triangle conjugué commun, et soient alors

ax"--^ by'^-i- cz"- — o, a' x^ -h b'y^ -^ c' z- = o.

les équations des deux coniques. On verra aisément qu'elles sont polaires réciproques l'une de Tauli^e par rapport à l'une quelconque

LES CONIQUES ET LES DIVISIONS HOJIOGRAPHIQLES. l35

des quatre coniques doiikréquation esl

± v/«rt'.r2± sJTb' y'^-±. /ce' z^= o.

Comme, dans la correspondance ainsi établie entre deux coniques (G), (C), chacune des tangentes communes aux deux coniques est Ja polaire d'un de leurs points d'intersection, on peut dire, par exemple, que le rapport anharmonique sur l'une des coniques, (G) par exemple, des quatre points où elle est touchéepar les tangentes communes à (G) et à (G') est égal au rapport anharmonique des quatre points communs, évalué par rapport à la conique (G').