ES RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE PLAN

Déliniliun de l'angle et de l'abscisse. — Droites isotropes. — Discussion de hi formule donnant la distance de deux points. — Relation établie par Laguerrc entre l'angle et le rapport anharinonique. — Transformation qne subissent les iclalions contenant des angles lorsqu'on fait une lioriiographie dans le plan. — Applications diverses. — Tliéorèine de Carnol. — E.xtension des relations trigonoméLriqucs au.v triangles imaginaires. — Sj'stème particuliei- de coordonnées rectilignes formé avec des axes isotropes. — Propriétés du quadrilatère dont les quatre côtés sont des droites isotropes. — Points associés. — Les propriétés de ces points permettent d'établir une relation entre deux définitions fondamentales du cercle. — Définition d'une classe de courbes planes de tous les degrés auxquelles on peut étendre les propositions établies pour le cercle. — Quand une courbe peut être définie par l'une ou l'autre de ces propriétés : elle est le lieu des points tels que le rapport des produits de leurs distances à deux groupes de points soit constant ou le lieu des points tels que l'on voie de ces points certains segments fixes sous des angles dont la somme soit constante, elle possède ces deux propriétés avec une double infinité de systèmes de pôles ou de segments. — Systèmes orthogonaux formés avec les courbes de cette nature. — Comment les propriétés des points associés permettent de déduire la définition focale des coniques des propositions relatives au rapport anharinonique.

90. Aptes ces études préliminaires, dans lesquelles nous n'avons guère uliliséque la notion du rapportanharinonique, nous aborderons l'examen des relations métriques, et nous commencerons par la (jéométrie pL'ine.

On peut définir en même lemps la distance, l'abscisse et luni^Io de la manière suivante :

^JC^y, x' ^ y' étant les coordonnées rectangulaires de deux |)oiiits réels ou imaginaires A et 13, on peut, en général, définir deu.v élé-

l38 LIVRE II. — CHAPITRE I.

menls t/ et a par les formules

(i) x' — a? = <^cosa, y' — y ■= cl?>\na.

On aura alors

(l) tan<?5( = ^^ -, d= -^^ — —•

X — X cosa sin a

L'angle a sera défini à un multiple près de tc.

Si l'on a choisi la valeur de a parmi celles qui sont déterminées par la première des formules (2), <^ sera déterminé en grandeur et en signe. Pour tenir compte de l'ordre dans lequel on prend les points A, B, nous appellerons d l'abscisse AB. On aura évidemment