Toutes ces notions tombent en défaut si l'on a
(4) d'^ = {x — xy-^{y—y'y- = o.
Alors le second membre se décomposant en facteurs, il vient
(5) zziz;=±£.
La droite AB a pour coefficient angulaire + / ou — /. On désigne de telles droites sous le nom de droites isotropes, et l'on
LES RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE PLAN. I Sq
voit que la dislance de deux quelconques de leurs points situés à dislance finie est nulle; c'est ce f|ui fait qu'on les appelle quelquefois droites de longueur nulle.
Si l'on met l'équalion d'une telle droite sous forme liomogène
y ^^zh ix -\- hz^
ou voit qu'elle passe, soit par le point de l'infini dont les coordonnées sont
soit par le point de l'infini dont les coordonnées homogènes sont
Nous appellerons ces deux points les points circulaires à l'infini., les points focaux ou plus simplement les points I et J. La première appellation se rattache à leur propriété fondamentale ; ils appartiennent à tous les cercles du plan; car soit
x^-^ y'^ -+- axz -\- byi-\- cz''-=^ o
l'équation homogène d'un cercle quelconque; il est clair qu'elle est vérifiée par les coordonnées des points 1 et J. Réciproquement, si une conique passe par ces deux points, elle est un cercle. Cela est aisé à vérifier.
Poncelet, qui a introduit dans la science ces notions relatives au cercle, leur attachait avec raison beaucoup de prix.
Pour les droites isotropes, la notion d'angle disparaît entièrement. Si l'on fait en ellel <;/=: o dans les formules (1) il vient
cosa = oc, sina = îc
et, par conséquent, si l'on remplace ces lignes par leurs expressions en exponenlielles, on trouvera
Ainsi, V angle devient infini imaginaire.
D'après les formides (i), les valeurs de a sont les mêmes pour deux droites parallèles. Nous dirons que a est l'angle qu'elles forment avec l'axe des x. Si m est le coefficient angulaire de ces
l4o LIVRE II. — CHAPITRE 1.
droites, on aura
(8) langa = m, cos
Assignei- un signe déterminé au radical^ c'est fixer un sens sur les droites.
L'angle (D, D') de deux droites est égal à la différence a' — a. Il est déterminé à un multiple près de t:, qui devient un multiple pair si l'on a fixé un sens sur les droites. L'angle d'une droite quelconque avec une droite isotrope est infini imaginaire.
92. Les notions fondamentales une fois définies, tout ce qui en découle s'applique aussi bien aux éléments imaginaires qu'aux éléments réels. Par exemple, la dislance d'un point à une droite sera exprimée par la formule
, , ^ V — inx — n
Sans insister sur lout cela, nous allons discuter les formules qui se présentent le plus souvent et d'abord la dislance de deux points. Mise sous forme homogène, elle s'écrit comme il suit :
{xz — zx'y-^ (yz — zy y-
Examinons tout d'abord daris quels cas elle deviendra indéterminée. Pour qu'il en soit ainsi, il faudra que l'on ait, en premier
lieu,
zz' = o.
Supposons
(il) z' = o.
En annulant le numérateur de c?, on trouvera
11 y a donc deux solutions : ou bien
OU bien
("iS) a?'* -H y- = o.
LES RELATION^ MÉTRIQUES DANS LE PLAN. l4l
La première nous montre que la distance cle deux points à l'infini est indéterminée. La seconde, jointe à l'équation (i i), nous montre que le point (x', y', z') sera l'un des points I ou J.
Ainsi, la distance de tout point à Pun des points i ou S est indéterminée. Cette conclusion ne saurait nous étonner puisque nous savons que tous les cercles, quels que soient leur centre et leur rayon, passent par ces points 1 et J.
Au premier abord, on comprend moins bien que la distance de deux points à l'infini doive être regardée comme indéterminée. Il semble que cette distance devrait être infinie. Mais imaginons deux droites quelconques d, d' coupées par une droite isotrope en deux points M, M'. Quand le point M s'éloigne à l'infini sur la première droite, le point M' s'éloigne à l'infini aussi sur la seconde, et cependant leur distance est toujours nulle. Imaginons encore deux points sui- la parabole; ils peuvent s'en aller à l'infini, leur distance devenant infinie ou gardant telle valeur cju'on le voudra.
Examinons maintenant dans quel cas la dislance sera infinie. 11 faudra que l'on ait, par exemple,
c'est-à-dire qu'un seul des deux points soit à l'infini et ne soit pas un des points 1 ou J.
Nous avons déjà étudié les cas dans lesquels la distance devient nidle. Il faut que les deux points ne soient pas à l'infini et soient sur une droite isotrope.
On discuterait de la même manière la distance d'un point à une droite; elle devient indéterminée quand le point est à l'infini sur la droite. Si la droite est isotrope, elle devient indéterminée ou infinie suivant que le point est ou n'est pas sur la droite.
93. C'est ici le lieu de rappeler rrne remarque d'intérêt capital, faite par Lagueire ('), alors qu'il était candidat à l'Ecole Polytechnique.
Niius avons vu que tous les cercles du plan peuvent être définis comme des c<)ni(]ues passant |)ar les deux points imaginaires à l'infini 1 et J. D'après cela, considérons un cercle passant par
(') Laguekue, Œuvres, t. II, i853, p. 6 : Sur la théorie des foyers.
l42 LIVRE II. — CHAPITRE I.
deux points fixes A el B. Pour tout point M de ce cercle, l'angle AMB sera constant, mais il en sera de même aussi, d'après la propriété générale des coniques, du rapport anharmonique des droites qui joignent le point M aux quatre points A, B, I, J. Ce rapport anharmonique et l'angle AMB sont donc ff)nctions l'un de l'autre. Cette remarque nous conduira naturellement à la proposition de Laguerre.
Considérons les deux droites D, D' définies en coordonnées rectangulaires par les équations
y — mx -^ hz, y =^ m' x -^ h' z.
Les angles qu'elles font avec Ox seront définis par les formules tanga = /)2, tanga'=/n',
et, d'après la définition donnée plus haut, leur angle (D, D') aura sa valeur déterminée en grandeur et en signe, à un multiple près de Tc, par l'équation
(i4) lang(D, D'j = tang(a'— g)= m — m ^
Quant au rapport anharmonique des quatre droites D, D', 01, OJ, il sera donné par la formule générale
Si nous remplaçons /«, m' j)ar leurs expressions en a, a', il vient
(i5) i'^ii)', D, 01, OJ) = e'-'UMn
ou encore
(i6) (D, D')= -5^log^îl(D', D, 01, OJ).
Telle est la formule donnée par Laguerre. Elle lui a permis de résoudre immédiatement une question relative à la transformation homographique.
94. On savait depuis longtemps reconnaître ce que deviennent, après une transformation homogra|)hique, les relations qui ne contiennent que des longueurs. 11 ny avait qu'à les mettre sous
LES RELAT10NS\MÉTRIQUES DANS LE PLAN. l43
une forme où ne fîguraieni plus que des rapports anliarinoniques de points. Prenons, par exemple, la relation
