AB4-BC = AG

entre les abscisses de trois points en ligne droite. En introduisant le point à Tinfini sur la droite, on peut lui donner la forme

Une transformation homographique fait correspondre aux quatre points A., B, G, 00 quatre points en ligne droite A', B', C, D'^ généralement à distance finie, et la relation précédente nous donne

c'RCA', D', B', C') + ca(G', D', B', xV) =1

ou, en développanl.

Une méthode analogue pourrait être appliquée à toutes les relations ne contenant que des longueurs, mais on ne savait transformer les relations où figurent des angles que dans des cas particuliers. Avec la formule de Laguerre, toute difficulté disparaît; il suffit de chercher Ce que deviennent les points I et J dans l'homographie considérée. Supposons qu'ils se transforment dans les points A etB. Si D et A sont deux droites concourantes en O, on aura, d'après la propriété fondamentale de la conservation du rapport anharmonique,

(D, A) = -L.log^-a(A', D', O'A, O'B),

D', A' étant les homologues de D, A, et O' désignant leur |)oint d'intersection.

Voici une application indiquée par J^aguerre. Considérons cette relation : la somme des angles d'un polygone plan ABC ... L est égale à un multiple de 2tc. La transformation conduit à la relation suivante.

Prenons, dans le plan du polygone, deux j)oinls quelconques f,y ; le produit des rapports anharmoniques

^i\(AB, AL, M, Aj)A{ BG, BA, Bi, By; . . . .t\( LK, LA, Li, Lj)

l/, I LIVRE II. — CHAPITRE I.

est égal à i . Transformé par polaires réciproques, ce théorème prend la forme suivante :

Si Von considère un polygone plan quelconque ABC ... \j et deux droites quelconques D, D', qui coupent les côtés i\B, BG en des points que nous désignerons par a, a', 6, 6', . . ., le produit des rapports anhaimoniques

^a(A, B, «,a')c'R.(B, C,^>,6')...(Jl(L, A, l, l')

est égal à i .

11 suffît de supposer que la droite D' est rejetée à l'infini, pour obtenir le ihéorème de Carnot relatif à la section d'un polygone plan par une transversale.

9o. Considérons encore ce théorème, dans lequel interviennent à la fois des angles et des longueurs : Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à une conique est un cercle ayant même centre que la conique. La formule de Laguerre nous montre immédiatement que, lorsque deu:x droites sont perpendiculaires, leurs points à l'infini divisent harn)onit|uement le segment TJ. Cette remarque avait été déjà faile par Salmon^ qui y attachait une grande importance et l'a donnée dans la première édition, parue en 1848, de son Traité des Sections coniques. Appliquée à la proposition précédente, elle donne le théorème suivant :

Etant donnée une conique (C) quelconque et deux points A, B, le lieu des points M tels que les tangentes menées de ce point à la conique divisent harmoniquement Van g le AMB est une conique (C) passant par les points A et B et telle que le pâle de AB soit le même dans les deux conicjues.

96. Voici une dernière a[)plication qui nous sera utile : Considérons une conique et deux de ses tangenies. Elle pourra être représentée par l'é(juation

(17) xy = z^

où les deux tangentes données ont pour équations :c = o, y = o.

LES RELATION^ MÉTRIQUES DANS LE PLAN. l-fj

Les points de la conique pourront être définis par les équations

en sorle qtie le rapport anharmonique de quatre points de la conique sera celui des valeurs correspondantes de \. Or, considérons {fig. i4) deux points quelconques M, M' de la conique

Fig. i4.

correspondants aux valeurs )., X' de \ et les deux points A et B qui correspondent aux valeurs o, oo du paramètre. On aura donc

Mais considérons^ de même, le faisceau des droiles CA, CB, CM, CM' qui passent par le point de concours des tangentes en A et B. D'après la première des formules (18), on aura

.'il(CM,CM', GA,CB) =

et, par conséquent, on pourra écrire la relation

(19) .!R(CM, CM', CA, CB) = ^î(M, M', A, B) = ^«(PM, PM', PA, PB)^,

P élant un point quelconque de la conii^ue.

Celte r< lalion dont nous aurons à faire usage, appliquée au cas où la conique est un cercle de centre C, nous rappelle que Cangle au centre est double de l' angle inscrit.

La foi mule de Laguerre (16) ne détermine l'angle qu'à un D. 10

l46 LIVRE II. — CUAI>1TUE I.

multiple près de tt. Il est facile maintenaat d'expliquer pourquoi la fixation d'un sens sur les droites (D), (D') permet de déterminer leur angle à un midtiple près de 27r.

En effet, fixer un sens sur une droite, c'est choisir entre les deux points suivant lesquels le cercle de rayon de i