e''« = Il e'P
ou encore
Telle est la relation dont nous allons faire usage. Mais auparavant, nous allons définir avec précision les éléments d'un triangle imaginaire.
Soient A, B, C les sommets de ce triangle; fixons un sens arbitraire sur chacun de ses trois côtés. Les abscisses BG, CA, AB seront parfaitement définies en grandeur et en signe. Nous
poserons
BC = a, CA = 6, AB = e.
L^angle de deux côtés quelconques sera aussi défini à un multiple près de 2 7t, puisqu'on a fixé des sens sur ces côtés. Et, pour nous conformer à l'usage, nous poserons
( a, b ) = T. — G, (6,c) = 7r — A, (c, a) = tz — B.
Les angles A, B, G seront déterminés à un muliiple près de 27t. Gela posé, coupons le triangle ABG {Jig'' lo) par une droite
isotrope MNP telle que celle qui est déterminée par l'é(jualion (21). En appliquant trois fois la formule (22), on aura
AP
AN e''A-7i)^ B.Vl = BFe'(B-T^), GN = GM C'C-iî'.
D'autre part les abscisses AP, AN, ... sont liées [)ar les trois relations
BM = a + GM', CN = ÂN + è, ÂT' = c-f-ÏÏP
l48 LIVBE II. — CHAPITRE I.
qui permettent d'éliminer le point N et conduisent aux deux relations
CM -+- ÂP e'B -+- a — c e'B = o, CM e'C — XF e-'A -+- 6 = o.
Comme le point M peut être choisi arbitrairement, ces deux équations doivent donner la même valeur pour AP, ce qui entraîne les deux relations
Si l'on avait choisi une droite isotrope de coefficient angulaire— /, on aurait eu de même
On obtient donc les trois équations
a =^ b cosC -f- c cosB, Â-+-B + C = (2A- + i)u,
b __ c siriB sinC
qui contiennent, à elles seules^ toutes les relations possibles entre les six éléments.
Si l'on change successivement, ou simultanément, les sens des côtés ou le sens du triangle, on voit que ces relations subsistent loisqu'on fait, sans modifier les autres éléments, les substitutions suivantes :
aBC| —a B — ttC — 7t
A6C|A — ir —b C — ir
A B c I A — 7t B — Tt — c
98. En 1869, nous avons employé, pour l'étude de certaines courbes, un système de coordonnées que nous allons définir. Posons
(26) X -h iy = u, X — iy^=v\
« et p pourront être substituées k x, y ç.\. servir à la détermination
LES RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE PLAN. l/jQ
des points. Elles seront iiiiaginaires conjuguées pour tout point réel^ et seulement pour un point réel.
Soient w, p; m,, Pj lescooidonnéesdedeux points A, B. En faisant usage des formules déjà données, on aura
(27) î<i — a = ÂÏÏ c'a, Cl— (' — ÂB e-'a,
AB étant la distance des deux points A, B, prise avec un signe déterminé par le sens de AB et a étant l'angle, déterminé à un multiple près de a-n:, que fait AB avec l'axe des x. Les deux relations (27) nous donnent la formule
(28) ÂB^ = (ii,— j/)(ci— p)
qui "nous présente le carré de la distance de deux points décomposé en deux facteurs. Mais, pour faire d'autres applications, nous allons adjoindre à deux points A, B deux autres points A', B' que nous appellerons associés aux premiers.
Considérons {Jig. 16) le quadrilatère formé par les quatre
Fig. 16.
droites isotropes qui passent par l'un des points A, B. Il a pour sommets opposés A et B en même temps que les deux points [ et J. Si nous introduisons le troisième couple de sommets opposés formé par les points A', B', on peut admettre que les coordonnées des sommets seront
pour A a et v^ pour B », et Cj,
pour A' ;/ et ci, pour B' ui et c.
l5o LIVRE II. — CHAI'ITRE I.
Cela posé, soit M un point quelconque du plan el soient U, V ses coordonnées. Si w, 9, w', 6' désignent les angles que font avec l'axe des x les rajons AM, BM, A'M, B'M, on aura, diaprés les formules (27),
AM e'w = U — «, BM e'9 = U — «1, ÂM e-'w =. V — P, BM e-'9 = V — v^
A' M e^'W = U — i^ B' M e'6' = U - Wj , A'M e-'w' = V — Pi , B'M e-'6' =: V — p.
En égalant les valeurs des différences U — «, ..., on a les relations géométriques
( AM e'w= A'M e''"', A'Me-'w'= BM e-'^,
( BM e'9 = B'M e^\ AM e-'w = B'M e-'9'.
L'élimination des abscisses nous donne d'abord la relation
g2j(to+9— w'-6') = \ qui entraîne la suivante :
(31) W + 6 — W'— 0'= /CTT,
k étant un entier. On trouve ensuite
(32) AM.BM =(— i)^A'M.B'M,
puis
BM B' M
w — 9, (o' — 6' ont une signification géométrique simple. Ce sont les angles sous lesquels, du point M, on voit les segments associés AB, A'B'. Si l'on pose
(34) w — e=BMA, w'— 0'=B'MA', on aura ces deux formules
,„.. ÂM /X A'M /\
(35) -=• =(— l)A-e'B'MA' - (t)/rgi;BMA
BM ^ ^ B'M ^ '
qui se ramènent l'une à l'autre.
LES RELATIONS METRIQUES DANS LE PLAN, l5l
Quanta la formule (3i), elle exprime que les bissectrices des angles AMB, A' MB' sont les mêmes. On peut donc énoncer les théorèmes suivants :
Quand deux segments AB, A! \^' sont associés^ si Von joint leurs extrémités à un point quelconque M :
1° Les bissectrices des angles AMB, A'MB' sont les mêmes;
1^ Le produit des distances du point Maux extrémités de Vun des segments est égal, au signe près, au produit des distances du même point aux extrémités de Vautre segment;
3° Le rapport des dislances du point M aux extrémités de Vun des segments est é gai , au signe près, à e'^, V étant V angle sous lequel on voit, du point M, Vautre segment.
Signalons encore la relation (36) MÂ^ + MB" — MV^ — MB'" = XÏÏ^ =— A'B'^
qui, jointe à l'équation (3a), nous donne
(37) (MA + eMB)^— (MA' + £A-MB')'= AB ,
e désignant l'unité positive ou négative. Cela permet de vérifier que, si A et B sont deux fo yers d'une conique. A' et B' sont les deux autres fojeis.
La plupart des applications de ces théorèmes concernent le cas où deux des points A et B par exemple sont réels. Alors A' et B' sont deux points imaginaires conjugués. Si donc M est réel et qu'on prenne AM et BM de même signe, on pourra faire /f = o.
La relation déjà donnée
nous permet de reconnaître un lien entre deux propiiélés du cercle qui paraissent, au premier abord, tout à fait indépendantes l'une de l'autre.
On sait que, si l'on prend arbitrairement sur un cercle deux points A', B', l'angle A'MB' sous lequel on voit d'un point quelconque du cercle le segment A'B' est constant. Adjoignons à ces deux points A', B' les points associés A, B. En vertu de la formule précédente, nous pourrons dire que le rapport des distances d'un point du cercle aux deux points fixes A et B est constant.
l52 LIVRE II. — CHAPITRE I.
Ainsi se trouve établie la relation entre les deux propriétés fondamentales du cercle. Quand la droite Â.'B', sans cesser d'être réelle, ne coupe plus le cercle, les deux points A', B' sont iroaginaires conjugués, mais les deux points A, B deviennent réels. Ainsi, on reconnaît que le cercle peut, d^ une double infinité de manières, être défini par la propriété du segment capable ou par la constance du rapport des distances de ses points à deux points fixes, et que ces deux définitions se rattachent directement Vune à Vautre.
99. Cette connexion établie entre deux définitions difFérenles du cercle s'étend d'elle-même à toute uneclasse de courbes, dont plusieurs ont été l'objet des études des géomètres.
Définissons une courbe par la condition que le produit des distances de chacun de ses points à /i pôles fixes soit constant, ou, plus généralement, proportionnel à la distance du même point à p autres pôles fixes. On aura le cercle si n = i, p = o.
Appelons R, , R2, . . .; R« les distances du point de la courbe aux pôles de la première série, ;•,, r-i,..., /-p les distances du même point aux pôles de la seconde série. On devra avoir
Si, comme on peut le supposer, on a p'^n, la courbe sera généralement de degré 2/i; mais ce degré s'abaissera si A" =: i etsi n = p- Par exemple, si n=p=^2, la courbe pourra être soit une cubique, soit une hyperbole équilatère.
Soient ai, a'^ les valeurs de u et de ç relatives au pôle de rang i de la première série, soient de même 6/, b'^ les valeurs de a et de v pour le pôle de rang i de la seconde série; ai, a'^ et bi, b\ seront imaginaires conjuguées toutes les fois que le pôle correspondant sera réel. On aura
(40) R? = («-«,:)(p-ai), /■?--= (M -«.,)( ('-6',).
Et par conséquent, si l'on pose
LES RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE PLAN. l53
on aura, pour l'équation de la courbe,
Remarquons que les polynômes cp, cp, sont imaginaires conjugués ainsi que les polynômes ^j;, '^,.
On obtient une équation analogue à la précédente en cherchant le lieu des points tels que, si on les joint à a points fixes A,, ..., A^ et à p autres points fixes B,, ..., B^, la différence entre la somme des angles que font, avec un axe fixe, les n di^oites A, M, ..., A/2 M et la somme des angles que font, avec le même axe, les p droites B, M, By,M soit constante. L'axe fixe peut, évidemment, être choisi d'une manière arbitraire. Kemarquons même qu'il n'intervient pas si p = n; car alors le lieu est défini par la propriété que la somme des angles A/MB/sous lesquels on voit du point M les n segments A/B/ soit constante.
Désignons par Oi, a[ les valeurs de u et de v pour le point A/, par bi, b\ les valeurs des mêmes variables pour le point B,; «/, a, sont imaginaires conjuguées si A, est réel et, de même, 6/, b\ si B/ est réel. Si l'on appelle mi l'angle que fait A/M avec l'axe des x et 0/ l'angle que fait B/M avec le même axe, l'équalion du lieu sera
(43) (Oi -4- C02-f-. . .-t- io„ — 0,-02 — • • • — 0,, = /(.
Et comme on a, d'après les équations (29), pour un point M de coordonnées w, p,
il est clair que Técpiation du lieu pourra s'écrire
Si donc on pose
Cf. (m) = (« — «1) ...(// — «„), cp,((') = {v — a\).. .((• "-«'„),
^i(v) — e-i''{u — b\)... ( Il - f>'j,K
l'é([ualion de la courbe prendra la forme
l54 LIVRE II. — CHAPITRE I.
qui ressemble beaucoup à celle (42) que nous avons obtenue pour le premier lieu.
Au point de vue de la réalité, il J a cependant une différence essentielle enlre les deux équations. Dans la première, chaque polynôme est multiplié par le polynôme conjugué. Dans la seconde, les deux polynômes du premier membre sont quelconques; leurs conjugués figurent seulement dans le second membre.
Nous' allons montrer que cette différence peut disparaître, et établir le théorème suivant :
Quand Véqualion d'un lieu se présente sous V une ou. Vautre des deux formes (42) et (46), elle peut être mise^ d'une infinité de manières^ sous chacune de ces deux formes.
C'est la propriété que nous avons remarquée déjà, pour le cas le plus simple, dans le cercle.
Pour établir le théorème précédent, nous prendrons pourpoint de départ l'équation (42).
On peut évidemment la mettre sous la Ibrmc
et, par suite, la transformer comme il suit
OU encore
(48) [»(«) + X 4'(«)] ['î'i W + /^'ïi (^')] = [?(«) -+- >^' 4'(")] [4'i (^) + ^^ ?i i^')]-
C'est la forme primitive (4 2); mais obtenue avec d'autres fonctions. Pour que les deux polynômes qui figurent dans chaque membre puissent être ramenés à être conjugués, il faut évidemment que \
et Y' soient imaginaires conjugués. Posons donc, în et a étant des
constantes réelles,
l'équation (48) prendra la forme
(50) <l>{u)^i{v) = W{u)Wi{v),
