LES RELATIONS METRIQUES DA^S LE PLAN
OU 1 on aura
l ^ (u) = ^ (u) -h nie^' '\i (u), W(«) = 4' («0 + "' ^~'^ ?(")>
Les fonctions 4>, <l>, sont imaginaires conjuguées, ainsi que les poljnomes W, W,. C'est l'équation qui nous a servi de point de point de départ, mais «rec cVautres systèmes de pôles.
Remarquons- qu'il y aura généralement le même nombre de pôles dans les deux nouvelles séries.
Les pôles de la j)remière série seront donnés par les équations
( <|> (i<) = tp ( u) -4- m e""' ^ (u) = o, (52) ]
Ceux de la seconde seront donnés, de même, par les équations
i W (u) = 4* (") -i- Ht e-*'!* (m) = o,
( <ï>i ( (; ) = '^1 ( {,■ } -r- m e*' cp, ( t' ) =^ o
Un des pôles réels pourra êlrc choisi arbitrairement, ce qui déterminera les constantes réelles m et a; il pourra aussi être rejeté à l'infini.
Revenons maintenant à l'équation (48), et supposons-v que les constantes X, X' soient des imaginaires pures, que l'on ait
En posant cette fois
e (m) = e-a'<f («)■+-«*' '\' ("Jj ^ («) = <? (u)e-^'-i-e^' -^ (u),
l'équation fondamentale deviendra
(55) e(u)Qi{v) = ei(i>)Q{u).
Nous retrouvons ainsi la forme {/\i)), puisqu'ici ce sont les fonctions placées dans deux membres différents qui sont imaginaires conjuguées.
Les fondions 6 et li sont généralement du même degré ; on voit donc que la courbe peut, d'une infinité de manières, être définie comme le lieu des points d'où l'on voit n segments A/B^ sous des angles dont la somme est constante. Les extrémités de ces
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segments sont nécessairement sur la courbe, et définies par l'un des systèmes
(57) Û(«) = o, Oi(«0 = o.
On pourra choisir arbitrairement l'un des segments, ce qiîi déterminera les constantes réelles a, ^.
100. Ces conclusions, que l'on aurait pu étabb'r en partant^ non de l'équation (42), mais de l'équation (46), démontrent complètement le théoième que nous avons énoncé. Nous allons indiquer deux applications.
Soit d'abord
l'équation de la courbe de Gassini. D'après la théorie générale, on pourra ramener son équation d'une infinité de manières à la forme
On verra aisément que les deux pôles de chaque série sont placés symétriquement par rapport au centre. On pourra aussi, et d'une infinité de manières^ trouver deux segments inscrits dans la courbe et tels que la somme des angles sous lesquels on voit ces deux segments d'un point de la courbe soit constante. On reconnaîtra aisément que ces deux segments, dont l'un est entièrement arbitraire, sont placés symétriquement par rapport au centre. Nous laissons ces points à l'examen du lecteur.
La courbe lieu des foyers des coniques inscrites dans un quadrilatère a été aussi l'objet d'un grand nombre de recherches. Voici comment on établit d'ordinaire son équation :
Soient pi,p2, p^, Pa les distances d'un point quelconque du plan aux quatre côtés du quadrilatère. 11 y a, entre ces quatre dislances, une relation homogène de la forme
(58) ai/»i-+-«2/?2H- a3/>3-+- «4/'4 = 0,
a,, «25 «31 «4 étant des constantes que l'on déterminera aisément. Or, d'après une propriété bien connue des coniques, le produit des distances des deux foyers à une tangente quelconque de la conique
LES RELATIONS^ÉTRIQUÉS DANS LE PLAN, I Sj
est constant* en grandeur et en signe. Si donc/»,, /?2, /O3, /?/, ; P'\^ P'ïi Pz-) P * désignent les distances respectives des deux foyers aux quatre côtés du quadrilatère, on aura
P\P\=PlP'i =P3P3 =PiPi'
En remplaçant, dans la relation identique (58), p\iP2, Pz-, Pi pai"
les quantités proportionnelles — * -7, —j-, —p, il vient, pour l'équa-
Pi P2 P3 Px tion du lieu,
P\ Pi Pi P<.
On voit qu'il est du troisième degré, et il ne serait pas difficile de
montrer qu'il passe par les points à l'infini sur le cercle.
Une autre propriété des coniques permet d'obtenir l'équahondu
lieu et plusieurs de ses propriétés. Soit A| A2 A3 A4 le quadrilatère
qui doit êlre circonscrit à toutes les coniques. De chaque foyer F
de l'une des coniques, on doit voir sous le même angle les deux
portions de tangentes AaA, et A3 A4. Si donc a/, «^désignent
les valeurs de u et de v pour le sommet A/, on devra avoir pour le
foyer
u — aj u — ai u — «5 u — «4
ce qui donne l'équation cherchée sous la forme
(60) (m — a2)(u — ctit)iv — ^'i) (v — a'j )
En appliquant notre théorème [général, nous voyons que le lieu peut, d'une double infinité de manières, conserver sa définition si l'on substitue au quadrilatère donné tous ceux qui sont déterminés par les équations
et
e«^ ( M — a2 ) ( M — «4 ) -t- «-«' (u ~ ai) (u — Us) = o, e«-i{ v~a'^){v — a\) -t- «-«' ( p — a', ) ( p — a'3 ) = o
eP' (m — a^){u — «4) + e-P'(« — ax){u — as) = o, eP'(v —a'^){v —a\) -He-P'(^ — a\) {v — a'^) = o,
chacun de ces couples d'équations déterminant deux sommets opposés du quadrilatère.
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101. Dans le système de coordonnées que nous avons adopté, la direction de la tangente à une courbe se détermine d'une manière élégante. Appliquons les formules fondamentales (2^) à deux points infiniment voisins sur une courbe; nous aurons
(63) da=:dsei^', di> = dse-i'^,
ds étant la dilFérenlielle de l'arc et V l'angle de la tangente avec l'axe des x. On déduit de là
Et par suite, pour deux directions se coupant à angle droit, on aura
du hi
(65) =— - — . dv ùv
Telle est la condition d'orlhogonalité de deux combes.
Il suit de là que, quelles que soient les fonctions $(m), 4>,(t')^ les deux familles
*(«)-+-*,((>) = const.,
( *(") — 'ï'ift') = const
sont composées de courbes se coupant mutuellement à angle droit. Les systèmes ainsi obtenus sont dits orthogonaux et isothermes. Ils peuvent être évidemment composés de courbes réelles; il suffit de prendre pour $ et <!>< des fonctions imaginaires conjuguées.
Si, changeant les nolalions, on remplace <ï> el$, par log^, log4>, les équations prennent la forme
i 4»( i<) <!>] (f) = const., (67) *(m)
const..
sous laquelle elles sont souvent employées.
Supposons, par exemple, que l'on prenne pour ^ {n) et <&,((') les fractions rationnelles
l'équation de la première famille de courbes prendra la forme
