LES RELATIONS^METRIQUES DANS LE PLAN
entièrement géométrique
= const.,
Rj désignant la distance au point A/ de coordonnées «,-, a!^ et 7'/ désignant la distance au j)oint B, de coordonnées 6/, b\. Quanta la seconde famille, elle sera définie par l'équalion
ai
^p = const.,
a/ étant l'angle que fait avec l'axe des x la droite A/M qui joint le point A/ à un point quelconque M de la courbe, et p/ désignant l'angle que fait avec le même axe le rajon B/M.
Ces systèmes orthogonaux, dont le plus simple est composé de deux familles de cercles, sont bien connus, et souvent employés en Physique mathématique.
102. Nous reviendrons sur la théorie des points associés quand nous traiterons de la Géométrie sphéiique. Nous teiininerons en montrant comment les propositions établies plus haut (n° 98) peuvent conduire aux propriétés métriques focales des coniques.
Etant données quatre tangentes fixes à une conique, on a vu que le rapport anharmonique des quatre points a^ 6, c, d {flg. 17), où
Fig. 17.
elles sont coupées par une tangente variable^ est un nombre constant.
L'application de cette proposition générale va nous donner le résultat cherché. Supposons que deux des tangentes fixes, celles qui passent en c et en d^ soient celles qui onX été menées d'un foyer F d<î la coni(|ue. D'après la définition générale des foytrs que nous (levons à Plucker, ces deux t;ing(!ntes auront pour coefficients angulaires -\- i et — i. Donc les deux points associés à c et à d seront le foyer F et son symétrique /par rapport à la tangente variable.
l6o LIVRE II. — chapitre; I. — LES REL\TI0N8 MÉTRIQUES DANS LE PLAN.
Le rapport anharmoniqiie des points a, 6, c, d
ac , bc
ad ' bd
peut être transformé comme il suit. D'après les relations entre les points associés, on a
«c ./^ bc ./N
ad ' bd
Donc, d'après la propriété relative au rapport anharmonique, la
différence Fa/ — F 6/ est constante. Or cette différence est évidemment le double de l'angle aFb sous lequel on voit, du foyer F, le segment ab. Nous retrouvons donc cette propriété bien connue : Sangle sous lequel on voit d'un foyer la portion de tangente mobile comprise entre deux tangentes fixes est constant.
Supposons maintenant que les deux tangentes fixes qui contiennent a et b soient celles qui sont menées par le second fojer F'; les points a et 6 seront associés à F' et à son symétrique f par rapport à la tangente. On aura donc
