ÉTUDE D'UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE COURBES ANALOGUES AUX CONIQUES

On cherche d'abord la courbe dont la langenie intercepte sur n droites fixes des segments lies par la relation linéaire la plus générale. — Cette courbe est, en général, de «ièmo classe et elle admet la di-oite de l'infini pour tangente multiple d'ordre n — i. — Extension à cette courbe de la propriété fondamentale de la parabole, qui correspond à l'hypothèse n =2. — En l'étudiant on est conduit à un problème d'analyse intéressant : Étant donnée une forme algébrique, trouver deux formes dont elle soit le jacobien. — Autres propriétés géométriques de la courbe. — Extension de ses propriétés à toute courbe de p'ème classe, ayant une langenie multiple d'ordre p — i. — Cas particulier des coniques. — Courbes de /j'^mc classe pour lesquelles la droite de l'infini n'est phis qu'une tani,'cnle multiple d'ordre n — 2. — Courbe enveloppe de la droite mobile qui forme avec n couples de droites fixes n triangles dont les périmètres sont liés par une relation linéaire quelconque. — Elle conserve cette définition avec une infinité d'autres couples de droites fixes. — Problèmes nouveaux d'analyse auxquels on est ainsi conduit.

103. Aux n"** 98 et 99, nous avons monlié comment on petit établir un lien entre dlfTérentes propriétés du cercle et les étendre à des courbes de tous les degrés. Il est d'autres propriétés du cercle, relatives aux périmètres des triangles circonscrits, auxquelles on peut a[)pli(^uer des méthodes analogues. Nous allons voir aussi qu'on peut généraliser certaines propriétés de la parabole et des coniques à centre.

Commençons par traiter la question suivante :

Chercher la courbe dont la tangente intercepte sur dés droites fixes des segments qui^ comptés à partir de points fixes quelconques pris respectivement sur ces droites^ soient liés par la relation linéaire la plus générale.

Si A est le point où la taiigenle mobile coupe une des droites fixes et O un point fixe piis sur cette droite, la définition de la D. II

i6i LivnK ir. — ciiAi'iTUK ii.

courbe sera donnée par l équation

G et les m désignant des conslantes quelconques. '

Cotte définition géomélrique permeltfa de construire sans difficulté la tangente parallèle à une direction donnée (^). Soit

(2) a" costo -f-j' ?in(o — tr = o

l'équation de la tangente à la courbe cbercbée et soit

X cosa -T- j>' sina — p = o

celle d'une des droites fixes. Si l'on désigne par a le segment qui définit un point de la droite, com|)té, par exeni|)le, à partir du pied de la perpendiculaire abaissée de l'origine, on aura, pour les coordonnées de ce point, les expressions

X ^^ p cosa — ). si II a, y = p si n a -I- X cosa.

Portant ces valeurs dans l'équation de la tangente, on obtiendra la valeur de X qui correspond au point A. pris sur la droite fixe considérée et la valeur de ()A sera

( 4 ) O A = À -f- /. = "'-/>co^(^-^'^) ^ ,,

siii((o — a)

/. étHnt une constante r|ui variera avec la position du point fixe O sur la droite, mais qui n'a, omme il est évident a priori^ aucune influence sur le résultat.

(')Garsoit A une droite quelconiue, parallèle à la direction donnée, qui coupe les droites fi-ces en des points A.', t) terminons la constante C par la relation

Xm. ÏÏÂ'-C.

Si l'on retranche celte relation de l'équation (i), il vient

S m. ÂÂ'= C— C.

Or toutes les quantités AV sont dans des rapports constants. Donc il sera très aisé de les déterminer.