CLASSE PARTICULIÈRE D^ COURBES ANALOGUES AUX CONIQUES

Posons

Nous aurons

ef, par suite, la relation (i) qui définit la cour!)e nous donnera

Cette équation, ramenée à la forme entière, peut s'écrire

le degré en ç- du polynôme F(^-) étant, au plus, égal au nombre des segments et celui (le/( ç-) étant, au plus, inférieur d'une unité à ce nombre.

104. [^'équation de la tangente à notre courbe, si l'on y introduit les notations précédentes, prend la forme très simple

et elle met en évidence le résultat essentiel : La courbe obtenue est dUine classe^ au plus, égale au nombre des segments, et elle admet une seule tangente parallèle à une droite donnée. Par conséquent, si p est sa classe, la droite de l'infini est, pour elle, une tangente multiple d'ordre p — i .

Réciproquement, soit

l'é.juation tangentielie d'une courbe écrite avec les variables ^ et (V qui donnent à l'écjuation de la tangenic la forme

(lo) {x — i'y)^^- -^ X -^ iy — 2ç(*' = o.

Supposons que /"(^^), F(ç-) soifintdes polynômes arbitrairement clioisis, de degrés p et q respeciivem Mit, et soit n un nombre égal ou supérieur au plus gr.ml des deux nombres p-\- i, q. Prenons

l64 LIVnE H. — CHAPITRE II.

un polynôme quelconque

^œ) = œ- a^i) a'- ^i) ■ ■ -a'- Ci?,),

et décomposons en fractions simples la fraction rationnelle nous aurons un rt'sullat de la forme

et il n'y aura aucune difficulté à identifier cette équation avec celle (6) que nous avons obtenue plus haut. On pourra faire, par exemple,

(i i) a^m/, = Ak, — •>./?/ «I w/. = A^ C'= B

et l'on retrouvera les n droites qui interviennent dans la définition primitive. Celte définition montre, d'ailleurs, que ces droites sont toutes tangentes à la courbe, car lorsqu'une droite mobile se confond avec l'une des droites fixes, un segment tel que OA devient indéterminé et peut être choisi de telle manière que la relation fondamentale soit vérifiée. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Etant donnée une courbe de n"'""' classe admeltcuil la droite de V infini pour tangente multiple d'ordre ii — i, il y a une relation linéaire entre les segments interceptés par une tangente variable sur n tangentes fixes quelconques^ ces segments étant comptés à partir de points fiixes pris sur ces dernières tangentes.

lOo. Cette propriété est bien connue dans le cas de la parabole, qui est la plus simple des courbes que nous venons de définir.

On peut ici se poser un problème qui conduit à une question inléres>anie d'algèbre. Esl-il possible de trouver n langenles fixes de la couriie telles que ce soit la somme des segments OA qui demeuie constante? D'après les résultais précédenls^ cela revient

CLASSE PARTICULIÈRE DE COURBES ANALOGUES AUX COXIQUES. l65

a déterminer an pol^'nome ^i^) tel c[ue l'on ait

li^=n.'

l*osons

(la) /i(0-I2(?-^).

On aura

et l'équalion à résoudre prendra la forme

Telle est l'équation qui devra déterminer y, (^). Pour la résoudre posons

(/i(«) =8(«)-)-cr(M), /i(-«)=0(")-^("),

de telle manière que 9(w) contienne tous les termes de degré pair et 3"(m) tous les termes de degré impair de/, (w). Alors, l'équation à résoudre prendra la forme

(•4) ^/(e^) = 0(Ocr'(O-0'(r)^(O-

Le second membre est ce que l'on appelle le jacobien des deux polynômes 0(i), <J"(i), et nous nous trouvons, dans un cas particulier, en présence du problème d'algèbre suivant :

Pétant donné un polynôme entier quelconque^ déterminer deux autres polynômes dont il soit le jacobien.

Ce problème se présente dans un grand nombre de questions de géométrie, par exemple dans la recherche des courbes unicursales de l'espace dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire. Il est tout nouveau dans la théorie des formes algébriques. Un des auditeurs de mon cours de i88o, dans lequel j'avais indiqué l'intérêt qu'il faut attacher à sa solution, M. Cyparissos Stephanos^ aujourd'hui professeur à l'Université d'Athènes, en a

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fait l'objet d'études approfondies, exposées dans un Mémoire présenté à l'Académie 'des Sciences en 1881 (').

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de la courbe de troisième classe. On aura alors

Il faudra prendre

Q{u) = bu^-h d, G {u) — au^ + cii,

et l'équation à résoudre prendra la forme

ce qui donnera, en faisant 2/71 z= i ,

A = ab, B = 3ad—bc, C — cd.

Si l'on prend comme inconnue auxiliaire

B'= 3 ad -+- bc,

B' sera déterminé par l'écjuation

B'2 B2= loAC;

uis on aura

a oa 2A

de sorte que a demeureia arbitraire.

•^^^^ ^ a ^ 2 A ba

donnera tous les groupes de tangentes cherchés.

Nous ferons remarquer que, dans tous les cas, dès qu'on aura obtenu une solution quelconque de l'équation fonctionnelle (14)7 on en aura une plus générale, contenant une constante arbi-

(') Voir le Mémoire Sur les faisceaux de formes binaires ayant une même jacobienne, présenté le 12 décembre 1881 à l'Académie des Sciences par M.Stephanos ( Comptes rendus, t. 93, p. 994). A la suite d'un rapport de M Jordan, inséré au Tome 94 des Comptes rendus, page laSo^ le Mémoire de M. Stephanos a été inséré dans le Recueil des Mémoires des Savants étrangers.