CLASSE PARTICULIÈRK DE COURBES ANALOGUES AUX CONIQUES

traire, en remplaçant re^pectivrnicnl 0(«), '^{ii) par aO(M), a ^ ^

106. J.a définition (jiio nous venons de donner des courbes de /i"'™« classe pour lesquelles la droite de l'infini est tangente multiple de Tordre n — i peut se transformer de la manière suivante:

Soient («)), (/>,),.... (/)) n tangentes fixes de la couibe, et (T,), ..., (T„^i)/i-hi tangentes variables qui couperont, par exemple, la tangente («i ) on ii-\- i points A,, A.j, .... A„^(. • . ., la tangente (^i ) eu // -j- i points G,, Go, ..., G^^.), et ainsi de suite. La définition primitive, appliquée successivement à foutes les tangentes (T,). nous conduira aux équations

a,OiA, -f-^aOolii — . . . 4- 0!„O„Lt = /.,

(lo) . - - -

a,()i A„+i-- a^OsH/j+iH-. . .-i- a„0„L„Hi = /.-.

L'élimination des constantes a^ nous conduit à un& lelation qui s'obtient (n égalant à zéro le détci minant ( ')

I OjA, OoB, . . . U„L/ il u' = ], '.,

Écrivons qui) j a une relation entre les lignes de ce déterminant. xNous serons conduits aux équations

'■ii+\

;7.i O] Al -t- y-îOi A.> + . . .-T- iJi„+i Oi A„^i = o,

('6) ' [^1 O2B1 -r- I-la Oolii -T-. . .-H î.l«+l OîBw + l = o,

Or, les rapports de ces nombres 'ji|, ..., fj.,i+i sont dc'linis par les n premières équations précédentes qui ne mettent en œuvre que les tangentes («,), {0,}. .... (Â-,), (T,), (To), . . . , (ï„+,). Si donc on considère ces tangentes comme fixes, les rapporlsdes nombres [jl<

(') J'emploie ici. pour abréger l'écriture, une notation par laquelle Kroncclier désigne le délcrniinym <|u'<ni form<' avec les lignes obtenues en donnant à i SCS n ■+■ 1 valeurs.

l68 LIVRE II. — CHAPITRE II.

seront pleinement déterminés ; et la dernière des. équations précédentes devra s'appliquer à une tangente quelconque de la courbe. On a donc le théorème suivant":

Si Von considère une tangente variable de la courbe et n-\-\ tangentes fixes ^ les n-\-\ points A, B, C, , .., L oii cette tangente variable coupe les tangentes fixes donnent lieu à la relation

(17) (J.lÔÂ-h(a2■ÔB-|-...-+-jJ.„^-lÔL = o,

{Ji.<, . . ., jJL„^( désignant des constantes liées par la relation

("8) [J.1 -(- [^2 4- • • . + IJi«+i = o

et O étant un point quelconque de la tangente, qui ne joue aucun rôle en vertu de la relation précédente.

On peut, par exemple, faire coïncider le point O avec A, ce qui donne la relation

[JI2 A B -+- . . . -H \j.fi + 1 AL =. o .

La réciproque de la proposition précédente est aisée à démontrer. Il suffît de se servir de la relation qui nous a permis de calculer OA, et l'on est conduit à l'équation

v^ lapi — iv (a- -T-c^ ) 7 [^ — :; — -7-. = '^> ;

en tenant compte de la condition

V^ ap — J(i

on trouvera l'équation

qui nous ramène à la forme déjà obtenue

C'est la généralisation de la propriété anbarmonique de la parabole, qui peut s'écrire