LIVRE II. — CHAPITRE II. — COURBES ANALOGIJES AUX CONIQUES

une solution, on en aura une infinité d'autres en prenant

car on aura

OjO'i — OvO'3 = (kh'- AA-') (O-^ei - Oi G'^ )

et il suffira de choisir quatre constantes A, /. , //, k' satisfaisant à l'unique relation

(34) /7t'— /jA'=i.

Ainsi, quand une courbe peut être obtenue comme V enveloppe d^une droite qui détache dans n angles différents n triangles pour lesquels la somme des périmètres est constante y elle peut être obtenue d'une infinité de manières par ce mode de génération.

Ici encore, nous oblenons la i^énéralisation d'une des propriétés les plus importantes du cercle.

Il est à remarquer que les courbes étudiées plus haut (n"^ 103 à 109) sont comprises comme cas particulier dans celles que nous étudions ici. Considérons, en effet, un angle fixe de sommet A dans lequel la tangente mobile détache un triangle ABC. Gomme nous avons tenu compte du sens des droites fixes AB, AC, nous pouvons changer le sens de ces droites et considérer que nous avons formé deux triangles, l'un dans lequel le |)érimèlre sera AB + BCh-CA, l'autre dans lequel il sera — AB + BC — CA; la somme des deux périmètres sera donc 2BC et, en introduisant de telles sommes, nous retrouverons la définilion du n'^ 109.

En changeant le sens d'un seul des côtés, on pourrait obtenir un nouveau triangle dont le périmètre serait, par exemple, — AB + BC-f-CA. La différence entre ce périmètre et le précédent étant aAI^, on voit qu'en employant de telles différences, on pourrait être conduit à la définition du n" 103.

Parmi les courbes auxquelles s'appliquent les |)ropositions précédentes, on peut citer une série d'hjpocycloïdes et, en particulier, l'hypocycloïde à trois rebroussements.