LES ÉLÉMENTS MÉTRIQUES DANS L'ESPACE

Discussion de la formule qui donne la distance de deux points. — Droites isotropes. — Plans isotropes. — La géométrie dans un plan isotrope. — Définition de l'angle et de l'abscisse. — V'aleurs diverses que l'on peut attribuer à l'angle de deux directions. — La définition de l'angle par un rapport aiiharmonique. — Droite perpendiculaire à un plan. — Distance d'un point à un plan, à une droite. — Discussion. — La distance d'un point à une droite a son carré décomposable en deux facteurs. — Propriété du tétraèdre dont les faces sont des plans isotropes.

111. Après avoir reconnu comment, dans le plan, on étend aux imaginaires les définitions et les propriétés établies pour les points réels, nous allons poursuivre notre étude en considérant les éléments imaginaires de l'espace.

Conunençons d'abord par ce qui concerne la distance. Par définition, la distance de deux points imaginaires aura la même expression que s'il s'agissait de points réels. Si donc on désigne par ,r, y, z, t; x'^y', z', t' les coordonnées rectangulaires homogènes de deux points, leur distance d sera déterminée par la formule

{xt'—tx')'^-\-{yt'— ty'Y-^{zt' — tz'y

qui donne naissance aux mêmes remarques que la formule analogue relative au plan.

Cette distance aura, en général, deux valeurs égales et de signes contraires; mais elle pourra être indéterminée. Pour qu'il en soit ainsi, il faudra que son numérateur et son dénominateur soient nuls, et, par suite, que l'un des points au moins soit à l'infini.

Supposons, par exemple, que l'on ait

Le numérateur se réduira alors à

ti(x"i-\- y'^ l -'2 ^ = O.

IjS l-IVRE II. — CHAPITRE III.

Il faudra donc, ou bien que t soit nul, et alors les deux points seront à l'infini, ou bien que, l'un des points étant quelconque, l'autre vérifie les deux équations

Ces deux équations définissent une courbe située dans le plan de l'infini et qui, comme les points I et J dans le plan, joue un rôle fondamental en tout ce qui concerne les relations métriques. Comme l'équafion générale d'une sphère est

X'-\- y^ -f- z2 i -iaxt -+- xby t -+- iczt '\- ht^= o,

on voit que la courbe représentée par les deux équations (2) appartient à toutes les sphères possibles. C'est pour cette raison qu'on l'a nommée le cercle imaginaire de V infini. Le fait qu'elle appartient à toutes les sphères explique très bien pourquoi la distance d'un de ses points à tout point de l'espace apparaît comme indéterminée.

Pour deux points à distance finie, la dislance d peut être nulle; cela arrive seulement lorsque la droite qui joint les deux points va rencontrer le cercle de l'infini.

Soient, en efi'et,

; X = az -h p, y = bz^q

les équations d'une droite quelconque. Deux de ses points {x,y, z) et(a7oj^o? ^0) donnent naissance aux relations

x — Xo=a(z — Zo), y — yo=b(z — Zo). Leur distance aura donc pour expression

et elle sera nulle toutes les fois que l'on aura

Comme «, 6, i sont les coordonnées homogènes du pointa l'infini

sur la droite, on voit bi<*n que ce point est sur la conique définie

■parles équations (2), c'esi-à-dire sur le cercle de l'infini. On dit

alors que la droite est de longueur nulle ou qu elle est isotrope.

LES ÉLÉMENTS MÉTRIQUES DANS l'eSPACE. £79

Toutes les droites isotropes qui passent en un pointa distance finie engendrent une sphère de rayon nul ayant son centre en ce point, ou encore un cône isotrope ayant ce point pour sommet.

Si les équations d'une droite en coordonnées rectangulaires sont données sous la forme

( A^+Bj'-f-C 34-D =o,

( A'ar-f- B'7 -+- G';; -f- D'— o,

il faudra, pour qu'elle soit isotrope, que l'on ait

(6) (BC — CB'j2+(CA'— AG')2+(AB'-BA')2=o ou encore

(7) (A2-+- B2+ C2)(A'î-H B'*+ G'2)— (AA'-i- BB'+ GG')2=: o.

112. Un plan quelconque de l'espace coupe, en général, le cercle de l'infini en deux points distincts. Dans un tel plan, il y a donc deux séries de droites isotropes. Mais si le plan est tangent au cercle de l'infini, il ne contient plus qu'une série de droites isotropes. On dit alors que le plan lui-même est isotrope. Pour qu'un plan, représenté par l'équation homogène

(8) Ax + Bj' + Gs-^ D^ = o,

soit isotrope, il faut et il suffit que l'on ait

La géométrie des dislances dans un plan isotrope se simplifie considériablement. En effet, si deux points, de coordonnées homogènes ^,j^, z, t; x' , y\ ^'l'^'i sont dans le plan défini par l'équation (8), on a évidemment

k{xt'— lx')-^li{yt' — ty)-^-C{zt' — tz') = o. ^

Supposons, par exemple, que C ne soit pas nul ; on peut tirer de cettt" é(|uati()n la valeur àa tz' — zt' et la porler dans l'expression de la distance des deux points qui devient, en tenant compte de la condition (9),

\ hjxt' - tx') - k{y t: - ty )Y-

l8o LIVRE H. — CHAPITRE III.

OU, en faisant t et l' égaux à i ,

'd = ±{iB{x-x')-ik{y-y)].

Ainsi la distance devient rationnelle et l'on voit alors que, si 1 on considère trois points i, 2, 3 dans le plan isotrope, on a certainement, entre leurs distances^ la relation

exactement comme si les points étaient en ligne droite.

il3. On peut, pour définir la distance, employer une autre méthode qui nous conduira, en même temps, aux deux notions de l'angle et de l'abscisse.

Soient

(10) ^ — ^^0 y — jo ^ — -gp

les équalions d'une droite. Si elle n'est pas isotrope, a^ + ^-H- c^ sera différent de zéro et l'on |)0urra définir les angles a, ^, y qu'elle fait avec les axes par les formules

, , cosa cosS cosy ±1