II) =^ L

abc ^«2 |. ^2 j c2

Déterminer un sens sur la droite, c'est choisir entre les deux déterminations, égales et de signes contraires, du radical. Quand on aura choisi ce sens, on pourra poser

cosa cos p COSY

et p sera, en grandeur et en signe, Vabscisse MqM, Mq et M étant respectivement les points de coordonnées X(^, y^, Zq et x, y, z.

Par définition, l'angle de deux droites non isolropes sera donné par la formule

(i3) cosV = cosa cosa'-i- cos3 cos ^'-1- cosy cosy',

a, [i, y et a', ^', y' étant les angles que font les deux droites avec les axes.

D'après ces définitions, on peut se rendre compte des différentes

LES ÉLÉMENTS MÉTRIQUES DANS l'eSPACE. i8i

valeurs que l'on peut attribuer à l'angle de deux droites. Soient

^ ' abc' a! b' c'

les équations qui définissent deux directions. Leur angle V sera donné par la formule

, ., -, aa' -\- bb' -\' ce'

(lo) COSV = -r=:=^===. — -======.

v/a2+ 6» -+- c2 v/a'2 -h b'^ -^ c'^ et de là on déduira la valeur de sinV, qui sera

. ., ^(bc'—cb'y-^{ca'—acy-^(ab'—ba')i (i6) sinV= ■ -•

^rt2 + b^ -f- c2 /«'^ H- f>'^ -+- c'^

Les deux formules contiennent trois radicaux dont les signes sont tout à fait indépendants. Donc toutes les valeurs de l'angle sont comprises dans la foi^mule

(17) V=±Vo-HA-7r,

Vq désignant l'une d'elles et k un entier, positif ou négatif. Même si l'on avait fixé un sens sur les deux dioites, l'indétermination subsisterait, quoique moins grande, et V serait compris dans la formule

L'indétermination ne disparaîtra que si un signe est fixé pour chacun des radicaux. Nous savons que, pour ceux qui figurent dans l'expression de cosV, la fixation d'un signe équivaut à la détermination d'un sens sur les deux droites dont on cherche l'angle. Essayons d'interpréter la signification géométrique qu'on peut donner à la fixation du signe du troisième radical

)/{bc' — c6')2-f-(ca'— ac')--i-( ab' — ba')-,

qui figure dans l'expression de sin V.

Pour cela, nous remarquerons que la perpendiculaire aux deux droites dont on cherche l'angle a sa direction déterminée par les équations

bc' — cb' ca — ac' ab' — ba"

fixer un signe au radical qui figure dans le sinus équivaudra donc à assigner un sens à cette perpendiculaire.

114. Tous ces faits, et d'autres encore, s'expliqueront sans difficulté si, dans J'espace comme sur le plan, on rattache la notion de l'angle à celle du rapport anharmonique.

Soient A, A' deux poinls à l'infini, donl les coordonnées a, è, c, o, a\ b' , c', o définissent deux direclions. Cherchons l'intersection de la droite AA' avec le cercle imaginaire de l'infini. En appliquant une méthode générale, nous aurons à déterminer A par l'équation

(a-t- lay--\- {b -\-\b'Y -+- {c -^ Kc'y- = o,

qui fera connaître les deux valeurs de A relatives aux points \)., <x d'intersection avec le cercle de l'infini. En ordonnant l'équation précédente, il vient

(20) X2(a'2 4- 6'2-t-c'2)-t- 2X(aa'-i- 66'-i- ce') -+-«2-1- 62 i c2= o.

Soient X, a' les deux racines qui définissent les deux points a, a'. On aura, nous le savons,

<'R(A, A', ijt, ;ji') = r-,'

Si l'on désigne par /■ ce rapport, il aura évidemment deux valeurs p et 4-> puisqu'on peut échanger les deux racines. Il sera déterminé par l'équation du second degré

Ck -j-W )' 4 ( aa' -+- bb' -+- ce' y ( r ~- i )-

XX' ( a^ H- 62 4- 6-2 ) ( a'2 H- 6'2 ^- c'^ )

Si donc on introduit l'angle V, qui est défini par l'équation (ij), on aura

(21) (r-f- 1)2= 4/-COs2V

et de là on déduira les deux valeurs de /■

On a donc, en remarquant que les deux valeurs sont réciproques,

( 23 ) e^/v ^ ,. V = — . Lo" ( A , A '. a, a' ).

LES ÉLÉMENTS MKTniQUES DANS l'kSPACE. 1 83

Ainsi , l'angle s'exprime de la même manière qu'en Géométrie plane ^ pourvu qu'on prenne pour les points 1 et J du plan parallèle aux deux directions les deux points [ji., [jl' où ce plan couj)e le cerclé de Tinlini. L'indélernunalion plus complète de l'angle dans l'espace lient à ce que rien ny dislingue les points a, a', qii'on peut échanger, lun avec l'autre.

Pour obtenir une détermination de l'angle aussi |)récise que dans le plan, il suffit de fixer un sens, non seulement sur les deux directions, mais encore sur la droite qui leur est perpendiculaire; si nous conservons les notations précédentes, la direction perpendiculaire aux deux droites est définie par les équations

t>c' — cb' C((' — ac' ah' — ha'

Fixer un sens sur une droite non isotrope, c'est évidemment

distinguer entre les deux points où In parallèle menée par l'origine

à sa direction

coupe la sphère de rayon i

(a5) 37* -h jK^-i- s- = ••

Pour bien définir les sens sur les deux droites et sur leur perpendiculaire, on peut donc donner les coordonnées x, y^ z\ x' y y' , z'; x" , y\ z" des trois points où les deux droites 1), D' et leur perpendiculaire A coupent la sphère. Vlors, les formules (19), rapprochées des relations (i5) et (lO), nous permettent d'écriie le système des relations

cos(D,D'j z= xx -^ yy' -\- zz\

(afj) ; .r"sin(D, 13')= j5'— sj-',

y" ■s\n{ D, 1>') = zx — xz , 3" si 11 (D, 1)') = xy' — yx

qui définissent l'angle en giandeur et en signe, à un multiple près de 2.7C. Elles concordent avec les conventions que l'on a faites dans le cas où les directions sont réelles. Si on les applique à deux directions parallèles au plan des xy, elles concordent avec celles que nous avons données en Géométrie plane.

i84 LIVRE II. — CIIAPITIU-: m.

Nous reviendrons sur ces forinules; mais auparavant nous ferons remarquer qu'il n'y a pas lien de recommencer une discussion pour ce qui concerne les angles d'un plan et d'une droite, ou l'angle de deux plans.

Une droite sera perpendiculaire à un plan quand elle sera perpendiculaire à toutes les droites de ce plan. Comme deux directions perpendiculaires coupent le plan de l'infini en deux points qui sont conjugués par rapport au cercle de l'infini, un plan et l'une de ses perpendiculaires couperont le plan de l'infini suivant une droite et un point lels que la droite sera la polaire du point par rapport au cercle de l'infini. La perpendiculaire à un plan ne sera donc jamais dans ce ])lan, à moins que le plan ne soit langent au cercle de l'infini. Alors le plan sera isotrope; et, si A est son point de contact avec le cercle de V infini, toutes les droites qui lui sont perpendiculaires iront passer en A.

La méthode pour obtenir la distance d'un point à un pian subsistera quand les éléments deviendront imiioinaiies ; el la formule

Kx-+- Br-+-G3-i-D

sera toujours valable tant que le plan ne sera pas isotrope. Si le plan est isotrope, la dislance d de\iendra infinie à moins que le point ne soil dans le plan, auquel cas elle sera indéterminée.

Ho. Envisageons maintenant ce qui concerne la distance d'un point à une droite.

Soient

les équations d'une droite, prises sous la forme la plus générale. D'un point (^, y, z) de l'espace, abaissons une perpendiculaire sur cette droite el soient Xt, ),, :;, les coordonnées du pied de cette perpendiculaire. Elles satisferont aux trois équations

!{bc' — cb')(x — Ti)-h(ca' —ac')(y — „Ki ) -(- (ab' — ba') (z — Zj) = o, P ^a (x — xi) + b (y — yi)-+-c iz — zi), Q=a'(x — .r,)-h b'(y — jki ) — c'( 3 - - Zi ).

LES Kr^KMICNTS MÉTHIQUES DANS l'eSPACE. i85

La distance du point à laMroile sera donnée par la formule

si l'on forme les combinaisons a' P — aQ, ^'P — 6Q, c'P — cQ, et si l'on ajoute leurs carrés ainsi que celui de la première équation (i>.Q ), on \erra aisément c|ue l'on a

i'3o) d^{{hc'—cb'Y+{ca—acy--V-{ab'—ba'Y]

= (rt'P — aQ)2-f-(6'P — 6Q)2+(c'P — cQ)2.

Si l'on avait adopté des coordonn('es homogènes en désignant par .r, j", 5, / les coordonnées du point considéré et par P et Q les fonctions

(3i) V — ax-^by^cz-^dt, (^ z= a' x -^ b' y -\- c' z + d' t,

on aurait

' ^" f^\{bc'—cb'y'-^{ca'-~ac'f-\-{ab'—ba')^'

On inlerprète 1res simplement le numérateur. En effet, soit

l'équation d'un plan passant par la droite. Si l'on exprime qu'il est isotrope, on aura la condition

(a — Xa')2 4-(6 — X6')2-f-(c — Xc')2= o,

P el si I on remplace \ par—» on trouvera la relation

(33) r«'l' — aQ)2+(6'P — 6Q)2-+-(c'P — cQ)î=.o

dont le premier membre est le numérateur de l'expression de d-. Ainsi, ce numérateur^ égalé à zéro, représente les deux plans isotropes passant par la droite.

Ces deux plans sont en général distincts, ils passent par l'une ou l'aulre des deux tangentes que l'on peut mener au cercle de l'inlini du point où la droite coupe le plan de l'infini. Mais ils se confondent si la droite elle-même est isotrope.

D'a|)rès cela, on |)eut interpréter très simplement le cas d'indétermination que présente lu formule (Sa). Pour que o? soit indé-

l86 LIVRE II. — CHAPITRE 111. — ELEMENTS METRIQUES DANS L ESPACE.

terminée, il faut que le point (iP, y, ;, t) soit à la fois dans le |)lan de l'infini et dtins un des plans isotropes passant parla droite. Toutefois, si la droite est isotrope, le coefficient de /- dans le dénominateur de d- sera nul, et il suffira que le point soit dans l'unique plan isotrope passant par la droite.

Dans le cas général, quand la droite n'est |)as isotrope, la distance sera nulle toutes les fois que le point, à distance finie, sera dans un des deux plans isotropes passant par la droile. Alors, la perpendiculaire abaissée du point sur la droite sera elle-même une droite isotrope.

On le voit, c'est la distance d'un point à une droite qui se rapproche le plus de la distance des deux points dans le plan. Car ces deux éléments ont en eommun celte propriété fondamentale, qui n'appartient pas à la distance de deux points dans l'espace, d'avoir leur carré -décomposablc en un produit de deux facteurs. Si l'on a choisi, pour déterminer la droite, les deux plans P et O qui la contiennent et sont isotropes, on aura

et l'expression de la distance deviendra

i PQ

t^(aa'-\- bb' -+- ce')

Cette formule permettra de constituer |)Our les droites une théorie analogue à celle des segments associés. Par exemple, si l'on envisage un tétraèdre dont toutes les faces soient des plans isotropes, les produits des distances d'un point quelconque de l'espace aux trois couples d'arêtes opposés seront proportionnels.

CHAPITKE IV.

GÉNÉHATKICES RECTFLIGNES DE LA SPIIKUIÎ.

f,es qiiadriques el leurs génératrices rectilignes. — l'rojeclion sléréograpliique. — l-xpressions diverses du rapport anliarmonique de quatre génératrices. — Il est égal au rapport anliarmonique des quatre points où elles coupent une section plane de la surface, pris par rapport à cette section. — Génératrices rectilignes de la sphère. — Système de coordonnées déterminé sur la spliéie par les deux l'amillcs de génératrices. — On peut choisir les deux coordonnées de telle manière qu'une même substitution linéaire cffecluéc sur ces coordonnées délinisse, soit une rotation finie de la sphère, soit un déplacement des axes coordonnés. — Formules relatives à ce sujet. — Expression en fonction des nouvelles coordonnées de la distance de deux points de la sphère et, par conséquent, de l'angle de deux directions. — Relation métrique fondamentale relative à une génératrice reciiligne de la sphère.

116. Pour approfondir ce qui concerne les relations mélriqiies précédemment données, il est nécessaire que nous fassions connaître quelques propriétés des quadriques* relatives à leurs i;énératrices rectilignes et à leur repiéseulation paramétrique.

Ecrivoris l'é(piatioii d'une quadrique quelconque rapportée à un télraèdie conjugué, c'est-à-dire ramenée par une décomposiliuii en carrés à la forme

rt P» -f- 6 Q2 -H c R2 + dS^ ^ 0.

Il est clair que, si l'on néglige toute distinction cnlrc le iv'el et l'imaginaire, on peut donner à cette équation la forme encore plus simple

(i) PQ = RS.

Il suffit, par exemple, de décomposer en deux fadeurs </P--}-6Qel cl\2-j-c^S^. Or, la forme réduite précédente met en évidence les deux sjrslèmes de génératrices rectilignes de la surface; ils

p X = a X [Jt -{- 6 X -+- c

p Y = a' X;jL -+- b' }. -h c'

p Z = a" Xfx + 6" X + c"

pT = a"'Â.a + 5"'X-+-c"

l88 LIVRE II. — CHAPITRE IV.

seront définis respectivement par les équations

De là on tire

et, par conséquent, les coordonnées d'un point arbitraire de la quadrique seront représentées, dans un système de coordonnées télraédriques quelconqua^ |)ar des formules telles que les suivantes :

où p désigne un facteur de proportionnalité.

Réci|)roquement, tout système de formules de ce genre représente une quadrique toutes les fois (|ue le déterminant

Y.±ab'd'd!"

n'est pas nul. Car alors,, on pourra les résoudre par rapport à Au, A, [j., I et obtenir un résultat de la forme

;j(.= pP, ''ls^=^(\, X[Ji = pR, i = pS,

p. (^, R, s étant quatre fonctions linéairement indépendantes de X, ^ , Z, T. L'élimination de X, a, p conduira à l'équation (i), et les formules (5) montrent d'ailleurs immédiatement que les lignes sur lesquelles demeure constant l'un des paramètres ). ou (j. sont des génératrices recli lignes de la surface.

Toutes les fois que l'on peut représenter "les coordonnées d'un point d'une surface par des formules telles que les suivantes :

(6; pX-/(X, iJL), pY = /,(X, -JL), pZ==/,(X, .u), pT=/3(X, [jl)

les fondions fi étant rationnelles et telles qii à un système de valeurs des rapports de X, Y, Z, T ne corresponde qu^ un seul système de valeurs deX et de a, on dit que la surface est repré-

GENERATRICES REOTU-IGNES DE LA SPHERE. 1 09

sentée sur le plan. En chassant les dénominateurs, on peut toujours rendre entières les fonctions/, /, , /o: /s et en remplaçant X^

a, par -> — j on peut les rendre homogènes et du même degré. Ainsi

on peut ramener les formules (6) à la forme générale

(7) pX=/(X, [jL,v), pY=/,(X,a,v), ,oZ=/2(X,;ji,v), pT =/,(X, .u, v)

où les fondions// sont des polynômes homogènes du même degré.

En éliminant les rapports -■, -, - entre les équations précédentes,

P P i^ on aurait l'équation de la surface. On peut admettre qu'à un point

de la surface correspond un seul système de valeurs des ra|)ports de A, u., V. Si donc on considère ces trois quantités comme les coordonnées homogènes d'un point du plan, la correspondance entre les points de la surface et ceux du plan sera univorpie; c'est-à-dire à chaque point de l'une des surfaces correspondra un seul point de l'autre.

117. Des correspondances de ce genre avaient élé reconnues depuis longtemps en Géomélrie. Dès l'antiquité, on avait étudié la projection stéréographique, qui étal)lit une correspondance uniforme enti'e les points de la sphère et ceux de l'équateur (si le point de vue est placé au pôle). Chasles avait étendu à toutes les quadriques la projection stéréographique. Si l'on place le point de vue en un point quelconque de la quadriqueet si l'on choisit pour plan du tableau un plan quelconque, il est clair qu'à un point de la surface correspondra un seul point du plan et vice versa. 11 y a cependant une exception importante à cette proposition. Si A est le point de vue et si B et G sont les points du plan situés sur les génératrices rectilignes de la surface qui se croisent en A, il est clair qu'à l'un des points B ou G du 'plan correspondent tous les points de la surface situ(''s sur l'une ou sur l'autre des généra- 'trices AB ou AG.

Si Ton considère une section de la surface par un |)lan F, le cône de sommet A ayant pour base cette section coupera suivant une conir|uc]e plan du tableau. Ainsi, les sections planes de la surface sont représentées f)ar des coniques; mais ces coniques ne sont pas quelconques, elles passent par /es pointsB et G oii le plan V coupe les deux génératrices rectilignes qui se croisent en A.

igo LIVUE II. — CHAI>1TKK IV.

Si, par exemple, le point A est placé en un ombilic, qui, ])ar définition, est l'un des points par lesquels passent deux génératrices rectilignes isotropes, et si l'on projette sur un plan parallèle au plan tangent en A, les sections planes de la surface seront représentées par des coniques passant aux points I et J, c'est-à-dire par des cercles. Mais c'est seulement dans le cas où la quadrique est une sphère que la projection stéréographique conserve les angles. Cela est aisé à démontrer.

Dans le cas où la quadrique a ses génératiices réelles, les sections |danes sont représentées par des coniques qui passent en deux points réels, par exemple, pai- des hyperboles ayant leurs asymptotes parallèles.

118. Revenons aux formules (2), (3) qui nous ont servi de point de départ. Nous dirons que les génératrices reclilignes qui correspondent à une valeur déterminée de X forment le premier système; et que celles qui correspondent à une même valeur de [x forment le second système. Deux génératrices d'un même système ne se coupent pas, mais deux génératri(;es de système différent se coupent toujours. Nous allons montrer que le rapport anharmonique des (juatre |)oints où quatre génératrices fixes de l'un des systèmes sont coupées par une génératrice variable de l'autre système est un nombre constant.

Considérons, en effet, quatre génératrices du premier système, par exemple, correspondant aux valeurs À|, ).2, X:i, ^^4 de \. Elles sont coupées par tonte génératrice du second système en quatre points /«i, m^, nis, m, qui sont évidemment dans les plans

(8) R = X,P, R^X.I», R^XsP, R = XiP.

Ces quatre plans se coupant suivant une même droite, le rapport anharmonique des quatre points nii est évidemment égal à celui des valeurs correspondantes "ki de X. I^a proposition est donc démontrée.

Elle peut être beaucoup généralisée. Considérons une section plane quelconque (2). Elle coupe la droite

R = o, F = 0 en un point a, elles quatre plans représentés par les équations (8)