X -i- yi
1 — z X — yi
■ yi
yi
192 LIVRE ir. — CHAPITRE IV.
on aura les deux systèmes d'équations qui définissent les génératrices rectilignes de la sphère. J^es expressions de x^ y, z en (onction de a, |3 seront
(il) x= ^, r ■= i jr, z— )r.
Ici, les courbes qui serviraient de représentation aux sections planes de la surface seraient des hyperboles équilatères ayant leurs asymptotes parallèles aux axes. Les variables a et (3 définissent un système de coordonnées curvilignes imaginaires sur la sphère. Les génératrices rectilignes pour lesquelles a = const. seront dites, dans ce qui va suivre, les génératrices du premier système; celles sur lesquelles [3 demeurera constante seront dites les génératrices rectilignes du second système. Pour passer d'un point au point diamétralement opposé^ il suffit d'échanger a et ^.
Ily a lieu de remarquer quel'on auraitpu déterminer autrement les génératrices rectilignes. Faisons, par exemple, une permutation circulaire sur x, y, z ; on aurait été conduit à suhstituer à a, ,3 les variables
En substituant dans ces expressions les valeurs (1 1) de x, y, :-, on trouve
/ON ,.[-+- X . I -f- 3
Une nouvelle permutation circulaire donnerait les valeurs
On passe des premières variables aux autres en effectuiint, on le voit, des substitutions linéaires très simples.
Mais ce changement de notations conduit à une conséquence très importante. On sait, depuis Euler, que tout changement des axes coordonnés, dans lequel le trièdre formé par les axes conserve la même origine et la même orientation, peut se ramener à trois changements successifs dans chacun desquels on conservera l'un des axes. Effectuons le premier, par exemple autour de Oz.
GÉNÉRATRICES RECTILIGNES DE LA SPHÈRE. IÇf'i
Les formules qui le définiront seront
0 étant l'angle dont on feia tourner le premier système d'axes autour de O^ j)Our avoir le second. Si donc on désigne par a,, p, ce que deviennent les variables a et [^ dans le nouveau système de coordonnées, on aura
En d'autres ternies, a et ,3 seront tirinsformés par la même substitution linéaire.
SI l'on a à eft'ectuer un changement dans lequel on tournera autour de Ox^ on aura de même
a et [S se transforment encore par une même substitution linéaire ; et il en sera ainsi évidemment si l'on elïectue un changement de coordonnées en conservant Oy\ Mais, en combinant ces changements d'axes partiels, on sait, nous l'avons rappelé, que l'on obtient le changement d'axes le plus général. On a donc ce beau théorème, du, pour les points essentiels, à l'Illustre géomètre anglais Cayley.
Le changement cVaxes le plus général se traduit par une même substitution linéaire effectuée sur les paramètres a et [3 des coordonnées rectilignes, tels que nous les avons définis.
Soient
/ , moL-{- n ,, /?î 8 -1- n (17) a,= ; , [ix = —K >
les formules par lesquelles on passe du système de coordonnées primitif à un système quelconque. Si Jî-,,y,, s, désignent les nouvelles coordonnées, on aura
(|»j Xi— — — -, J'i = f — ^— , Zi =
En portant les valeurs de a,, [i, dans ces expressions, on trouve D. ,3
un résultat de la forme
(19) j jKi = a'.r + .6>-+-c'3,
' Zi = a" X "'- b" y -+- c z.
«, />, C, a', ... ayant les valeurs suivantes :
W - -+- <7- «2 -- p2 ,^^2 !. /j? pi ^2 ^j^ — ,nji
' = pr — J O — l p- , C = ;
„ nq — inp „ . nip ^~ nq „ mq -)- np ''^ D ' b=-i ^ , c = ,
et D étant le déterminant de la subslitution
D = inq — np.
Ces formules ont l'inconvénient de ne pas mettre en évidence les changements réels de coordonnées. Mais si l'on remarque que, d'après la définition même de a et de [i, la première de ces coordonnées a relative à tout point réel a pour imaginaire conjuguée — -^j on verra que la formule
m% -4- Il ai =
se transforme, si l'on y change i en — /, dans la suivante :
I — OIq -+- IIq \i
Pi ~ — Po-r- qo[i '
mo, noj pf,, Ço étant les constantes imaginaires conjuguées de m, /i, /?, q. Il faudra que cette relation nouvelle entre ^ et |^, soit identique à la seconde des formules (17). Posons
on verra aisément qu'il suffit, pour que la condition soit remplie, que )., ji., V, p soient réels et que cette hypothèse donne tous les changements d'axes réels. On aura alors
(p — iv)a-l-u— ïX (p — tv)^ + ;a — il
^■■'^^ ='>-( ja O0a + p -H r/ 1^'- (,,,->.)^^ + p4-r;'
/n = p — ij,
p =— u — il,
GÉNÉRATRICES RECTILIGNES DE LV SPHÈRE. igS
et les expressions (20) des neuf cosinus deviendront
/ P--4-X2— u.'-;— v2 },j. |vp Xv <JlO
a = ■ — -î , (?, — 2 i. ' ^ .. Il
IJ
vp
-f- u- — X- — v^ , uv + Xi:
,,, uv — Xp ,, Ci2-i-v-— X^— a' ^='^^^^' ^ = D ^'
D il va lit pour valeur
(2(1 D = X^-H [JL^H- V^-t- p5.
120. Les formules qui définissei..*, un cliangement d'axes peuvent être considérées sous un point dt vue différent du précédent. Au Heu de supposer qu'elles donnent les relations entre les coordonnées cV un même point prises relativement à deux systèmes d'axes distincts^ on peut supposer que a?,, j^i, ^i ; x, )', z soient les coordonnées de deux points différents M, et M, l'apportées à un même système d'' axes^ le système primitif. Alors, il est clair que M, se déduira de M par la rotation qui amènera le second sysième d'axes à coïncider avec le premier. Inversement, M se déduira de Mi par le déplacement qui amènera Oxyz à coïncider avec Oxiyi Z\ .
En se plaçant à ce |)oint de vue, on peut retrouver d'une manière tout élémentaire les résultats précédents, et obtenir la signification géométrique des constantes X, u., v, p.
Considérons une ligure mobile ayant un point C\xe O et rapportons-la à un trièdre tiirectangle Oxyz. Si on lui imprime une rotation d'angle 0 autour d'un certain axe OH passant par O {fig- 18), un point quelconque M de cette figure viendra occuper la position M(. Il y aura un plan perpendiculaire à OH, passant par M et par M, , et, dans ce plan, un cercle passant en M et en M), dont le centre P sera sur OH. Menons les tangentes à ce cercle en M et en M,; elles se coupent en un point Q. Nous allons déterminer de deux nianières différentes les coordonnées du point Q.
L'angle MPM, étant égal à 0, l'angle MPQ sera égal à -• Par
conséquent, si l'on imprimait à la ligure mobile dans sa première position une volaiion infiniment petite autour de OH, dont la
vitesse angulaire sérail tang -, la vitesse du point M serait, en grandeur et en signe, égale au segment MQ.
Fig. .8.
Si donc on désigne par x,y, z les coordonnées du point M et si l'on pose, a, ^3, y désignant les angles de OH avec les axes,
(25) - = cosa tang ->
- = cosa tang-j
— = cosY tan 2 - j p '2
-) -} - seront les trois comnosanles, relatives aux axes coordonnes,
de la rotation infiniment petite considérée et les projections de MQ
sur les trois axes seront
Iz ly
Pour obtenir les coordonnées x\ y\ s' du point Q, il faudra ajouter les projections de OM à celles de MQ, ce qui donnera
px = p.r + \xz — V j',
^y' = py -h V .r — X 5, p z' = p z -h \y — n X.
Envisageons maintenant la figure dans sa seconde position ; on remarquera que M4 Q serait la vitesse du point M, si l'on imprimait à la figure une rotation infiniment petite^ égale et de signe contraire à la première. Si donc Xi, yt, z-t désignent les coordonnées du point M, on aura de même, en changeant le signe de p,
pX = pXi— [XZi
py = Pli —'>xi
pz' — pzy — lyi
'>yu X.S),
[>.Xi.
