GÉNÉRATRICES RECTILIGNES DE LA SPHÈRE. I

Egalant les expressions différentes de x\ y', :;', on trouve

( '^x -r- \J.z — ^t y ■=■ ox\ — ;xzi -i- v;Ki,

(28) \ py-h'jx — \z = pyi — vxi-\-lzi,

f pz-^ly — ij.x = pzi — \yi-+- [xxi.

On peut résoudre ces équations d'une manière élégante. Si on les ajoute^ après les avoir multipliées respectivement par -> -j -? on obtient la relation

( '29 ) X 37 -f- [xy -i- vz = X a?! + [J1./1 -f- V 5i

qui était évidente par la Géométrie, car elle exprime que la droite MiM, est perpendiculaire à l'axe de rotation. Cela posé, pour avoir une quelconque des six inconnues, il suffit d'ajouter les quatre équations après les avoir multipliées par ±: A, ± jjl, d= v, ± p de telle manière que le coefficient de l'inconnue cherchée devienne

égal à

On obtient ainsi les formules

(' .ri = ax -+- a'y -!- a"z, (3o) ) y^= bx-\-b'y-i-b"z, (3o)'

{ Zi:= ex -i- c' y -[- c" z,

où a, b, c, ... ont les valeurs données par les formules (28) et (24). La comparaison des formules précédentes avec les équations (19) qui définissent le changement d'axes montre que l'on passe des unes aux autres en changeant le signe de p et que la rotation définie en direction et en grandeur par les équations (25) est celle qui amène le premier système d'axes à coïncider avec le second,

121. Revenons aux formules (17) qui, d'après ce que nous venons de voir, définissent le déplacement le plus général,

■ ^ , in%-k- Il „ /?i B -4- /i

Faisons a = a», ^ = p, ; nous aurons deux points de la sphère de rayon i qui coïncideront avec leurs homologues ; a et f> sont les deux racines différentes de l'équation du second degré

(Sa) px^-\-{q — 7n)x — n = o.

Désignons-les par h et k. On sait que les substitutions linéaires

X =^ a Xi

y = a'xi

-^b'yi

+ c'si,

IqS livre II. — CHAPITRE IV.

définies par les formules (3i) peuvent prendre la forme

ai — h •^ a —

ai — k a —

&i— h ., 3 — h p,/c - fi — /,'

où l'on a

m — kp

2 inq — np

Sous cette forme, on reconnaît tout de suite les éléments qui définissent le déplacement : les deux points diamétralement opposés définis par les valeurs

OL = h, ^ = k et a = /k, p = /i

sont ceux où l'axe de rotation perce la sphère ; et X est la grandeur de la rotation, car si l'on effectue le déplacement déterminé par les

formules

les équations (33) prennent la forme

qui convient à une rotation d'angle ). autour de l'axe des z. 122. Les formules données au n"* 119

définissent en fonction des variables a, [3 les coordonnées d'un point de la sphère de rayon i. D'après ce que nous avons vu au n" 119, deux points M, M', de coordonnées a, [3; a', ,6', déterminent deux rayons OM OM' dont les sens sont fixés; l'angle de ces deux droites a pour mesure l'arc de grand cercle qui réunit les deux points et qui est défini par la relation

,,,,,,, , , , — 'iaS — 2a'B'+ (a -f- 3) (a'-i- 3' )

cosMM= ipo? -h YY -^- zz — — !-- — ^ -^--^ '—-.

On déduit de là

MM' (a-a')(P-P') MM' (a-3')(.8-a)

, MM' (a a')(p-,6')

^ 2 ^a-ri')(p-a')