GÉNÉRATRICES RECTILIGNES DE LA SPHERE
Ces formules, que j'ai données avec plusieurs autres en 18^2 (^), peuvent se déduire par l'application de la propriété générale établie plus haut et de la remarque faite au n° 118. Associons aux deux points M, M' les points diamétralement opposés M,, M',; nous obtenons ainsi quatre points sur une section plane de la surface, et le rapport anliarmonique de ces quatre points sur la section est égal au rapport anharmonique des quatre génératrices rectilignes d'un même système qui passent en ces points. Si l'on prend celles du premier système, les paramètres de ces génératrices sont a, a' pour les points M, M'; pour les points diamétralement opposés, ce sont ^, |3', puisque, lorsqu'on passe d'un point au point diamétralement opposé, il faut échanger a et [3. On a donc, par exemple,
.'fl(M, M', M„IM;) = cfl(a, a', p, ^').
Le rapport anharmonique qui figure dans le premier membre est
MM
sin
. mm;
sin
sin
'Ml
sin
M Ml . MM' . M'Mi . mm; ^ MM'
= SU) = I , sm = sin = =t cos
Il vient donc
«'"^IM' ^ , ■ r, o «- S' . a'— 3'
ce qui est l'une des formules que nous avons obtenues directement.
123. Quelque simples qu'elles soient, ces formules ne déterminent pas l'angle autant qu'on peut le désirer. Il est facile maintenant de comprendre comment la détermination d'un sens sur la direction perpendiculaire aux deux droites OM, OM' dont on cherche l'angle permet d'obtenir une plus grande précision. SoitP l'un des pôles de l'arc MM'. Les deux génératrices rectilignes qui se croisent en P vont rencontrer le grand cercle MM' en ses deux points 1 et J qui sont à l'infini. Si donc on convient que le point l
( ' ) Mémoire sur une classe remarfjuable de courbes et de surfaces algébriques, p. 212.
CHAPITRK IV
sera celui qui se trouve sur la génératrice du premier système qui passe en P, l'arc MM' sera déterminé par la formule
gA-MM'^^^I^^ÎVl, M', I, J),
le rapport enharmonique du second membre sera celui des quatre points sur le grand cercle MM'. On voit qu'ainsi l'angle est déterminé, en grandeur et en signe, à un multiple près de 2~. 11 cliangerait de signe si l'on échangeait le pôle P avec son symétrique. Comment déterminer les variables a, p relatives à ce pôle quand on connaît celles qui sont relatives aux points M, M'? Il suffira d'exprimer que OP est perpendiculaire à OM et à OM'. Si a, |i; a', P' désignent les valeurs connues des coordonnées curvilignes pour M et pour M', celles qui conviennent au point P, ai, [i,, sont déterminées par les équations
d'après lesquelles a, et [3( seront les racines de l'équation en A
(38) A2(a'-|- [î' — a— .3) - iK(ol'^'-^.- x^) -^ a' ,3' (a -f- p) — aP(a'-H f/) = o.
Ces racines sont données par la formule
(39) A(x'-i-p'-a-(3) = a'[i'-ap±v/(a-a')(a-p')([î-a')([i-ji').
Choisir celle qui représentera le paramètre de la première génératrice, c'est choisir entre les deux déterminations du radical; et quand le choix sera fait, l'angle sera déterminé en grandeur et
en signe, à un multiple près de 27:.
MM'
C'est ce que montre d'ailleurs la formule qui donne tang— ; — ;
elle peut être écrite comme il suit
.^JIM' ,v/(a-a')(a-[i')(^-a')([J-P') (,o) tang-—-. (,,3')(3,/)
On retrouve ici le même radical que dans la formule qui donne A. Dès qu'on aura choisi entre ses deux déterminations, l'angle sera connu à un multiple près de 27z. On a aussi
(4.) sinMM=-y"'-'''»'-f"î'^';''<^-^''.
