GÉNÉRATRICES RECTILIGNES DE L4 SPHERE

124. Ces points étant fîx^s, nous allons établir une relation qui jouera un rô!e important dans ce qui va suivre.

AM étant un arc de grand cercle, construisons le grand cercle (C) dont A est l'un des pôles et supposons qu'on ait ciioisi, sur ce grand cercle (C), l'un des pôles de AM, que nous appellerons y. Puisque nous connaissons ce pôle y, nous aurons fixé un sens positif pour les arcs sur le grand cercle AM ; et d'autre part, comme A est le pôle connu de (C), nous pourrons faire la distinction entre les deux points I et J de ce cercle (C). Cela posé, considérons une génératrice rectiligne, du premier système par exemple, qui passe en M, elle ira couper (C) en un point ij.; et l'arc de cercle [xy sera déterminé, en grandeur et en signe, par l'équation

e'>T = ^{l(Y, IX, I. J),

le rapport anharmoniquedu second membre étant celui des quatre points sur le grand cercle (C).

On sait que ce rapport est égal à celui des quatre génératrices du premier système qui passent en ces quatre points ou encore, d'après le même théorème, à celui des (|ualre points où ces mêmes génératrices coupent une autre section plane de la surface. Pour cette section, nous choisirons précisément le cercle AM.

Or, la génératrice qui coupe (C) en jx coupe AM en M, la génératrice qui passe par v, pôle de AM, le coupe en son point à l'infini 1', les génératrices du premier système qui passent en I et J sont celles qui passent respectivement par le pôle A de C et par le point diamétralement opposé de la sphère, A'. On a donc

ei^= c'tl(Y, rjL, I, J) = c'R(I', M, A, A').

Le rapport anharmonique des quatre points F, M, A, A' se détermine immédiatement si, dans le plan du cercle, on prend des axes rectangulaires dont l'origine est en A et dont l'axe des oo est la tangente en A au cercle AM. On trouve ainsi qu'il est égal à

l cot

On obtient donc la formule

/, X AM . — (4'^) tang = i C'Y!-»-.

Pour éliminer le point a, nous prendrons un autre grand cercle passant en A et coupant la génératrice rectiligne en M', il donnera