CHAPITRE V
TUIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE.
Les triangles que l'on éludiera dans ce Chapitre ne sont pas soumis aux restrictions habituelles. Ils peuvent être réels ou imaginaires et, s'ils sont réels, leurs côtés ne sont pas assujettis à la condition dètre positifs et inférieurs à ~. — Triangle polaire d'un triangle donné.
Première méthode : Elle repose sur la considération de triangles dont un des côtés est formé par une génératrice reclilignc de la sphère; et elle conduit à trois formules fondamentales dont découlent toutes les autres relations de a Trigonométrie sphérique. — Seconde méthode plus large, reposant sur l'emploi de formules données précédemment. — Relations diverses; formules de Delambre. Analogies de Néper. — Différents changements qu'on peut faire subir aux éléments sans que les formules cessent d'être vérifiées. — Définition de l'aire d'un triangle sphérique. Les lignes trigonométriques de celte aire sont des fonctions rationnelles des coordonnées des trois sommets du triangle.
126. A la fin du Chapitre précédent, nous avons fait connaître une propriété géométrique qui est, en quelque sorte, l'équation de toute génératrice rectiligne de la sphère. Nous allons montrer d'abord, à l'exemple de ce qui a été fait au n°97 pour la Géométrie plane, comment cette relation peut conduire à toutes les formules de la Trigonométrie sphérique. jNous ne supposerons pas que les côtés soient réels, ni même qu ils soient jiositifs et inférieurs à ti.
Soit ABC un triangle ainsi défini. Si nous choisissons arbitrairement un des deux pôles de chacun de ses côtés nous formerons un triangle polaire A'B'C tel que A', B', C soient respectivement les pôles deBC, G A, AB; et, d'après les explications qui ont été données précédemment, le sens des arcs positifs sera pleinement connu sur chacun des six côtés de ces triangles. Nous poserons
BC = a, GA = 6, AB = c,
Toutes ces longueurs seront déterminées à un multiple près de 2TÎ.
Coupons le triangle ABC par une génératrice rectiligne du premier système, qui rencontrera respectivement les côtés BG, GA, AB aux points M, N, P. En appliquant la relation (44) du Ghapilre précédent au triangle ANP par exemple, on aura
On aurait de même
RM
tang ^
/ n\ ni h'
AP
tang
AN tang— -
GN tang-—
lansr
CM
tang ^
Aux trois relations précédenles on peut joindre les suivantes :
( AP = AB-4-BP =c -^ BP, (3) ) BM = BG + CM = «-+-CM,
/ CN = CA -t- AN = 6 + AN,
qui permettent d'éliminer trois des six segments AP, BP, .... On sera ainsi conduit, en éliminant les points INI et P, à une équation
AN du second degré qui déterminerait, par exemple, tang Mais,
comme le point N peut être choisi arbitrairement^ cette équation du second degré devra se réduire à une identité, ce qui donnera trois relations entre e"* , <?'* , e"^' , tang -, lanff -, tang-. Ges trois relations peuvent s'obtenir simplement. Il suffit de supposer que la génératrice rectiligne considérée passe successivement par les trois sommets du triangle.
Supposons, par exemple, qu'elle passe par le point A, auquel cas les points N et P se confondent avec le point A. Les équations (2) et (3) nous donneront alors
/ BM ,, BA CM ., G A
,,, I tang-— ^e''' tang— -, tang —-=. e-'^ tang— -,
a-)-G\I =BM
et elles permettront d'éliminer le point M. On obtient ainsi la relation
tang — ■+- e-'c tang — h e'" tang - = e' " -<^ ' tang — tang - tang- ,
TRKiONOMKTRIK SPIiKRIQLE . 2o5
d'où l'oD déduira deux relalions semblables par des permutalions circulaires. Ecrivons la suivanle :
tan" h e "'" tanff r- e"' Iaxis:- — e"^'' "■ taii"; — taii"- - tang - •
En la retranchant de la précédente multipliée par e'^', on trouvera tan"- tans- = — ,.-.,.. •
Si l'on pose
(5) a ~ b' -V- c' = ip\
la relation précédente deviendra
b siny>'
tanp - tan g
en sorte que, par des permutations circulaires, nous serons conduits au groupe de trois équations
b c sin/>'
tanû — tan.f —
2 sin(/>' — a)
c a sin/;'
{(')) ' tang-tang- -
■X sin ( />'— b'
a b sin//
tang — tang —
2 ^ 2 sin(p'— c' j
d"où découlent, en efl'et, tontes les relalions entre les éléments du triangle.
l^T. 11 est une voie plus large par laquelle on parvient aux relations Irigonomélriques et que nous allons suivre de préférence.
Considérons un triangle s|)liérique quelconque, placé sur la sphère de rayon i, ayant son centre à l'origine, et soient a:(,y,, Z\\ ^■1-1 y 11 ^2*? ^zi ysi ^3 les coordonnées rectangulaires de ses trois sommets A, B, C. Désignons, de même, parX), Y,, Z, ; X^, Y^, /j2] ^3? Y3, Z3 les coordonnées rectangulaires des pôles A', B', C des côtés BG, CA, AB. Ces coordonnées doivent satisfaire aux «'•c|uations
(7) X?-»-Y?-^Zf =1,
2oG LIVRE II. — CHAPITRE V.
cjui ne les déterminent pas entièrement; de sorte que, pour cliaque pôle, on a le choix entre deux positions dianiélraieinent opposées. Faisons ce choix d'une manière arbitraire; nous obtiendrons ainsi un triangle polaire qui sera tout à fait défini. Le choix effectué, il est facile de voir que, si nous posons
-^ JB'C'=a', CA'==b\ A'B'=c',
les côtés des deux triangles sont définis, en grandeur et en signe^ à un multiple près de 2r.. En effet, pour le côté a, par exemple, du triangle, on a
(10) COSrt = ^.2:r3-4- J^, jjH- ^2^3
et
i Xi sina — 72-3 — -2^3;
(11) l Yisin« = ^2a"a — '''"233, ( Z, sina =^ x^y^ — y^x^,
de sorte que l'angle a est défini à la fois par son sinus et son cosinus. Un raisonnement tout semblable s'appli(|ue au triangle polaire. Cette méthode, on le voit, n'exclut pas, parmi les triangles réels, ceux dont les côtés sont négatifs ou supérieurs à —, ce qui est la même chose; elle s'applique également aux triangles imaginaires. Voyons comment elle conduit aux relations cherchées. Nous avons d'abord
( cos a — Xi Xi -r- y-xy-i -i- ^2 33,
(i'2) I COS 6 = a:-3^i -4- J'3j)-l-4- 33 ^1,
f cos c = xi ^2 -+- X\ y-1 -H -3] -2 ;
/ cosa'= X2X3-1- Yj Y3-!- z, Z3,
(i'5) cos6'=X3Xi + Y3Y,-^Z,,Z,,
' cos c'= X1X2-1- Y'i 1%-+- Z| Z,, puis
( Xi sin« = J'as-s— -2j>'3, Xj sin b := y-^z^—y^ z^, Xssinc =7, -2— -1JK2,
(i4) < Yi sin a = ^2 373 — X0S3, ¥3 sin 6 = ^3 ,r, — ^1.^3, Y3sinc = Si,r2 — Xi z^,
{ 7.i?,\na = x.y-i — y^xz, Zj sin 6 = rrj jj — a^i jKs, Z3 sine == j",,/»— Ki ^2',
( Xi sina' = Y2Z3— Z2 Y3, x-2 siii6'= Y3Z1 — Y1Z3, ^3 sinc'= Y1Z2 — Zj Y2,
(i5) I jKi sina'= Z2X3~X2Z3, jK2 9inZ»'= ZjX, — Zi \3, jks sinc' = Z, X. — Xi Zj,
f ^1 sina'= X2Y3 — Y2X3, *2 sin i'= X1Y3 — X, Y3, ^3 sine' == XjYg — YjXj.
TRIGOXOMETRIU SPHKaïQUE.
Posons
ri
Zi
Zi
Xz
Si nous développons le premier déterniinanL suivant les éléments de la première ligne, par exemple, nous aurons
(17) 20 = cos iVA.' sin«.
Nous liouveiions de même
(18) 2 A = cos A.V siii a'.
Kt comme nous pouvons effectuer des permutations circulaires, nous serons conduits à la proportion des sinus
xnb in b'
Mais on peut obtenir le même résultat par une méthode toute difteiente. Portons, |)ar exemple, dans la première des formules (i4) les valeurs àe y^^ ^o; JKs? ^3 données par le second et le troisième groupe des formules (i5), il viendra
(20) sina sin 6'sinc' = 2 A.
On aurait de même, par raison de symétrie,
(21) sina' sin ^ sin c = 20.
Jl est clair que ces deux formules conduiraient à la projjortion des sinus, et elles ont l'avantage de ne pas introduire des éléments auxiliaires tels que AA'.
Les carrés des déterminants 20, y A s'expriment au moyen des côtés des deux triangles. On a, par exemple.
I cosc co%h
COSC I COSrt
cos6 cosa 1 I -4- 2 cosrt cos6 cosc — COS'^rt — cos^^ — cos-c.
On sait que, si l'on pose
(23 ) a -[- b -\- c — xp,
on a
I -r- 1 cos« cosô cosc — cos^^a — cos-6 — cos-c = 4 sin/j sin(/> — a) è\n{p — b) sin(/? — c).
On peut donc écrire
(•2î) o-=sin/)sin(/> — a)sin(/j — 6)sin(/o — c)
et de même, en posant
on aura
(26) \- = sin/>' sin (/)' — a') s\n{p' — b') sin(p' — c').
Pour obtenir les autres syslèmes de formules, on considère, par exemple, les deux syslèmes linéaires
^1 JKi -1
yx
Xo
-ss
On sait qu'ils donnent naissance à la relation
^i y) I ^1 jKi ■^2 JK2 I ^z ys
^1^3-^-7lJK3-^--l -3 •2-2 3-3+ 72 73 -+-^2 23
En tenant compte des formules précédentes, il vient la première des équations du Tableau suivant :
( cos a = < cos b =
= cos b cos c — sin 6 sin c cos a',
^„,. cos c cos « — sin c sin a cos 6',
f cos c = cos a cos 6 — sin a sin b cosc',
auquel on peut joindre, par raison de symétrie,
cosrt' = cos 6' cos c' — sin 6' sin c' cos a, cos h' = cos c' cos a' — sin c' sin a' cos 6, ( cos c' == cosa' cos b' — sina' sin b' cosc.
128. Tous les autres systèmes fondamentaux de formules sont des consé(juences purement algébriques des précédents. Nous allons indiquer d'autres relations sur lesquelles il convient de revenir.
IHIGONOMKTKIK SPHEIUQI'K. f.O*J
De la preini«;i e (les lorimiles ('^'j) on déduit cosa'. ci- qui |)eritut
<l(; calcnler cos^ — > sin-— • On lr<nive
■>\\\\p— b)s\\\{p — cj sin A sin r
'i sin iW sin( p -- (()
SIM- — = i—. j-^
■>, sm h sm r
Mais il lien résulle pi»s ([ualre déiei luinalions |)our ran^le — Dans ce qui va suivre, nous ferons la convenlion suivanl<' : Lorsque nous aurons une formule irrationnelle telle que
(>-<)/ 0 /sin/? sin(/? — rt)sin(/> — h) ^'\\\( p — c ,.
nous conviendrons que la détermination de o résultera de celles qui seront données à y/sin/>, y/sin(/y — r/), ... : en sorte que loiii se passera comme si l'on écrivait
Ô = v/sinyo y^sin { p - a) v/sin { p — h) \/^in i // ' i.
el. dans deux formules dillt renies, nous ne supposerons jamais que y/sin/>, par ex(;mple, soit pris avec deux déterminations différentes. Alors on aura pour sin — j cos — deux déterminations diflfé-
rentes
.a /sinjo sin (/> — «)
sin 6 sin r
a /sin(yD — b) sin
2 y sin A sin
ip — c)
£ désignant ± i et les radicaux du numérateur étant pris comme dans 0 : ce qui permet tia de satisfaire à la relation
( )n aura aussi
(il;
et, par suite,
sin A sin c
tan}.- = / ^■nxp%m{p-a)
'' y sin(/> — 6)siii(/? — c)
lang— tang-
sni/)
et de là on déduit
lang/>
2 sinfyo — c )
— sine tan a — ta"n —
I — cosc tane - lane —
OU encore
1 — e"" lang — tang —
1 — e'^^tang — tani,' —
Comme on peut échanger tout ce qui concerne les deux triangles, on aura de même
I — e'f tang - tang - «me tang— tang-
(3:î) e->'= ^, lang^' = ■ ^.
I — (?-'c tang — tang— i— -cosc tang — tang-
ua ^ a " -i " 2
129. Nous reviendrons sur ces relations, mais auparavant nous allons rappeler comment on est conduit aux formules de Delambre et aux Analogies de Néper.
Joignons aux deux équations (3o) les suivantes :
. b' 1 /sinosin(/> — b)
Sin — = £ 1 / : :
•2 \ sina sine
b' , /sin(/» — c)sin(/> — a) sina sin c
h' , /sin ' y sin rt sin
c ^„ /sin(/> — a) sin 2 \/ sin a sin^
ip — b
où s', z" désignent, comme s, l'unité prise avec le signe + ou le
signe — .
Par des multiplications, on obtient des formules telles que les
suivantes :
: . y . c' sino a
sin — sin — = ri -: cos — ?
2 ■>. SI 11 a 'i
y c sinlp — rn a
cos — cos — = Y] ■ cos — j
. y c' sin( « — b) . a'
sin — cos — = fj —. sin — ,
•2 ■?. s I n rt ■',
y . c' sin( p — c) . rt' cos— sin — = f\ -. sin —,
ou l on a
(37)' v,=Eî'£";
ïRIGONOMEïniE SPIIERIQIE.
et de là résultenl par addition les formules de Delambre
l>'~c' cos = r,
. b' - c' sin — — T,
cos — ,
sin — b-i-
os -
sin —
sin — y
aiix(|uel[es ou peut ajouter toutes celles que Ion obtiendra par des permulations circulaires.
Par division, on est conduit aux Analogies de Néper
, Slll
ta 11!
taiii^
a tane — ,
—, lane —
c|ui ne comportent aucune indéteruiinalion (piant au signe, et a«ixquelles on peut joindre les suivantes :
laiu
sin
sin
cos
cos
7 I ;ni^ — ,
obtenues en échangeant les deux triangles.
212 I.IVKE H. — CHAPITHE V.
130. Il \ a quel(|ue6 remarques générales à présenter sur ces systèmes de formules. On voit d'abord que, si l'on se donne les côtés d'un des triangles, par exemple «, 6, c, il y a deux systèmes de valeurs pour a' , b\ c', à cause du double signe que l'on peut donner à o; et que l'on passe de l'un à l'autre de (us systèmes en changeant à la fois les signes des trois côtés.
Ce premier résultat vaut la peine d'être expliqué. Soii \\\( . un triangle pour lequel les côtés a, ^, c soient connus en grandeur et en signe. Si l'on passe au triangle symétrique A,B,C,, les deux côtés AB, A,B,. par exemple, seront sur un même grand cercle. Pour qu'ils puissent être égaux en grandeur et en signe, il faut et il suffit que, sur ce grand cercle, les sens positifs soient conservés, c'est-à-dire que l'on conserve pour A,B|C) le même triangle polaire A'B'C que pour ABC. Mais les pôles des côtés de ce triangle A'B'C devront être cbangés ; ils seront devenus A|, B,, C, et comme ils sont diamétralement opposés à A, B, C, les signes des côtés a' . b\ c' devront être changés, relie est l'explication du résultat mis en évidence par nos formules.
Voici maintenant d'autres remarques essentielles. Si, sur les deux triangles ABC, A'B'(y, on change le sens positif de l'un des côtés, de BC par (;xemple, il faudra changerez en — (i\ mais aussi remplacer le pôle A' par le point diaméiralemeni opposé, ce qui revient au fond à changer a' en a' -\- tc, h' en h' -{--rz. Ainsi, on peut changer le signe de l'un des côtés «, b, c, a , b., c' de l'un des triangles à condition d'ajouter - aux deux eôtés non correspondants de l'autre triangle.
On peut faire usage de cette remarque pour obtenir sans calcul certains résultats. Par exemple, si l'on change dans les formules (.35) c' en — c\ a el b en a + t: et 6 -(- tt, il vient
a b I 1 — e-^^ col — cot — ,
I I — cosr; cot — cot —
VM . Nous avons introduit le périmètre p' du triangle polaire.
col
rot
sine
cot
— cot
TRIGON^MKTRII-: SPHÉRIQUK. f.l'i
Il est lié à l'airo du triangle VBC ()ai' une relation qu'il convient de préciser.
Siipposon'i d'abord (|iril s'agisse d'jin triangle lel qu'on a 1 habitude de les considérer, de ceux suivant lesquels la sphère est ( oupée par les trois faces d'un angle trièdre. Et supposons, de plus, <|ue le sens de rotation de ce triangle soil positif, de telle manière (ju'un observateur, lorstpril «si à lintérieiir, tourne dans le sens direct lorsqu'il regarde successivemenl A, B, (].
Choisissons, pour le triangle polaire qui figure dans nos formules initiales, celui qui est défini dans les Elémenis. Alors, tous nos côtés rt, b, c, a', b'. c' pourront être stjpposés positifs et l'aire S du triangle AB(i anra pour valeur
S =^ tr. — •//>'.
Passons niainlenani au cas où le tiiangle ABC a son sens de roJalion négatif. Il suffira de changer, dans les fornudes initiales, les signes de toutes les coordonnées. On aura alors
Nous prendrons, dans tous les cas, pour définition de l'aire la Utinmle
/. ('tant un cnlicJ- quelciuujuc ; et le lecteur sassurera aisément qu'à un multiple près de -aiz elle donne la somme ali^éb/ique des aires bala\«''eN |);u l'arc de grand cercle qui joint un point fixe d<; la sphère à un point mobile, lorsque (;e |)oint mobile parcourt, dan.»* le sens ARC, les côtés du triangle \BC, que l'on peut toujours supposer |)Ositifs, puisqu'ils ne sont définis qu'à un multiple près (h- M T. Dans le cas d'un triangle imaginaire, la formule (42) s«'i\ii'a (Il «iclinil ion à laiie.
Si on la rappi'ochc de la forninlc ( H5 1. <»n obtiendra, pour l'expressM>n de l'aire, la formule
, , . I — <■ " Uni" — Unit; -
\' — p" lîiii;; '''ir^' -
Il ist digne de remarque que les lignes tiigonoinétriqiies^ de
■Mi IJVRK H. — CHAPITRE V.
celle aire soient des fonclions rationnelles des coordonnées des sommets du triangle ABC.
Pour Je démoiilrer, leportons-nous à la formule (35). Elle nous
donne
— smc tans — tanK —
langyo r=. .
I — cosc tant; — lang -
Or, on a, d'après les formules (21J et (a'j),
I sine' sina sin6 = 20, '43) < , cosacos/.» — cosc
\ cosc = : : ;
f sin« sin b
Remplaçant dans la formule qui donne lan^y)', on trouve
(4'1) lang/>'= — ;
