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7/.— Ok

l'équation de la courbe sera

(•.>.8) cp(«)?(^^)=/(«)/(^')-

En lui appliquant notre méthode générale, nous pouvons l'écrire

Si donc on prend ). = )/, on lui conservera la forme qu'elle avait primitivement. Ainsi, quand une courbe est représentée par V équation (27), elle peut être définie de la. même manière avec une infinité de systèmes de rayons. Les nouveaux pôles qui servent à la définir sont donnés par les équations

(;jo) o(ii) + X/(k) = O, «(i--) H-X/(l') = o

[Ujur le premier groupe et

(3i) f(u)^K'^{u) = o, /((')-+- >,cp(,') = o

pour le second. On voit aisément qu'ils sont réels dès que \ est réel ; les uns et les autres sont sur la courbe

<pii contient le cercle de l'infini, caractérisé parla relation u -- <*. Si. au lieu de supposer \ réel dans les équations (3o) et (3i), on piciul j)oui), une imaginaire de module i, on verra (|iie les pôles de la première série sont imaginaires conjugués de ceux de la seconde ; et, en vertu de notre troisième équation, on pourra trouver n segments réels Ay^, B^ tels que la somme des angles à la base des

lio LIVRE II. — CHAPITRE VI.

triangles Ay^B^M soit constante. Réciproquement, cette propriété entraînerait la première.

Parmi les courbes les plus simples apparlenanl à cette catégorie se trouve une conique que nous appellerons la conique de Chastes. Elle est le lieu des points tels que le rapport de leurs dislances à deux rayons de la sphère soit constant. Elle conserve cette propriété avec une infinité de systèmes de rayons, tous situés dans le même plan que les premiers ; et elle est aussi le lieu des points tels que la somme des angles à la base du triangle sphérique ayant pour sommets le point de la courbe et deux points fixes qu'on peut choisir d'une infinité de manières soit constante.

141. Nous devons envisager maintenant un autre cas particulier remarquable : c'est celui oii les pôles de l'une des séries sont diamétralement opposés à ceux de l'autre. Alors, d'après l'équation (21) du n° 136, on pourra choisir n segments fixes tels que la somme des angles sous lesquels on verra ces segments d'un point quelconque de la courbe soit constante. D'après la formule (21), l'équation de notre courbe prendra la forme

nv,. >•„',.

(33) ez^ATMiu^^TT

où, en introduisant les coordonnées u et ^',

(34) f{u)^{v)=--e-^i'^fii>)o{a).

On peut l'écrire comme il suit :

[cp(M) + Àe'V(M)][o(p) + X'e-'/'/(p)]

Pour qu'elle puisse conserver la forme qui lui a servi de définition, il faut et il suffit que les deux polynômes

o(u)-^le'''f{u), 0. ( f ) -f- X e-'f\f{ v )

aient les mêmes racines^ ce qui exige que l'on ait

Si celte condition est remplie, on obtiendra une infinité de solutions.

Si on FinLerprète à l'aid^ de la relation (33), on voif qu'elle exprime que la somme des angles sous lesquels du point M on voit les n segments est un multiple de tt. Cette conséquence résulte aussi de ce fait qu'alors la courbe donnée doit contenir le cercle défini par l'équation u = v, c'est-à-dire le cercle de l'infini. Son équation prend la forme

Parmi les courbes appartenant à cette catégorie, la plus simple est le lieu des loyers des coniques spliériques tangentes à quatre grands cercles. On peut lui appliquer presque tous les développements que nous avons donnés dans le cas du plan (n" 100).

142. Nous signalerons enfin une relation remarquable entre les deux cas particuliers que nous venons d'examiner.

Reprenons l'équation de la courbe définie par la relation (a'i) entre les distances D^, d^ à deux séries de droites. Si, dans l'équation (29) de celle courbe, on prend X=i,X'= — 1, et si l'on pose

9(«) ~-f{u) = *(«), cp((.)--/(0 ^ F(v),

l'équation devient

Ce n'est pas tout à fait la forme (35) que nous avons obtenue plus haut. Mais il suffît, pour obtenir la concordance, d'élever l'équation précédente au carré, ce qui donne

Alors tous les pôles deviennent doubles et la courbe peut être définie comme le lieu des points M tels que la somme des doubles des angles

A/, MB/,

soit égale à un multiple de - qui sera nécessairement impair. On aura donc

Dans le cas de la conique de Ghasles, il y aura un seul angle et la conique sera le lieu des sommets des angles droits dont les côtés vont passer par deux points fixes. Celle définilion sera d'ailleurs unique.

La même conclusion s'applique au lieu des sommets des angles constants dont les côtés passent par deux points fixes. Cette courbe est la plus sim|)le de celles qui rentrent dans la catégorie considérée plus haut, et nous avons vu quelles ne sont susceptibles d'autres définitions de même nature que si la somme des angles A/i^MJ3/t est un multiple de ir.

143. Il ne nous reste plus qu'un mot à dire du système orthogonal qu'on peut former avec les courbes précédentes. Nous nous bornerons aux énoncés suivants :

l^es courbes lieux des points pour lesquels il y a un rapport constant entre les produits des distances à deux séries de pôles fixes A,, Ao, ..., A„. B,, B25 ••.? B« sont coupées à angle droit par les courbes lieux des points tels que la somme des aires des triangles sphériques ayant pour sommets ce point et deux des points au-, bu diamétralement opposés à Aa cl à 1>a, soit constante.

Les courbes lieux des points pour lesquels il y a un rapport constant entre les produits des distances à deux séries de rayons fixes OA, ...,0A„, OB, ..., OB,, sont coupées à angle droit par les courbes lieux des points tels que la somme des angles A/tMB^ soit constante.

Ce dernier théorème, énoncé dans le cas le plus simple. |)rend la forme suivante :

Les coniques sphériques lieu des points pour lesquels le rapport des distances à deux diamètres fixes OA, OB est constant sont coupées à angle droit par les courbes du quatrième ordre lieux des points M pour lesquels les deux grands cercles MA , M 1> font un angle constant.

C^est une seconde généralisation de la pro])riété du segment capable dans le plan.

iài. En terminant, nous indiquerons en quelques mots une

SEGMENTS ASSOCIES SUR LA SPHERt:. 2ia

transformation que Ton pe^t faire subir aux propositions précédentes.

Substituons aux courbes définies par l'équation générale leurs courbes polaires. Elles peuvent évidemment être définies comme enveloppes d'un grand cercle qui fait avec deux séries de grands cercles fixes des angles variables a,, ..., a„j et [5li, ..., [j/m liés par la relation

( 3- 1 siii «1 sut - a,. . . sin - 7.,,, = k sin li .'<in — 3-, ... sni - j,„ •

Alors, si l'on se rappelle que, dans une telle transformation, l'aire d'un triangle est remplacé par le périmètre du triangle polaire, notre théorème fondamental du n" 139 prendra la forme suivante :

Si une courbe est V enveloppe cV un grand cercle qui fctit^ avec deux séries de grands cercles Jixes^ des angles a/^, ^y^ liés par une relation de la for me (^S-)^ elle conservera cette définition avec une infinité d^auties systèmes de grands cercles fixes^ l'un d''eux pouvant être choisi arbitrairement. De plus, elle pourra être définie^ d^ une infinité de manier es, comme C enveloppe d' un grand cercle qui formera avec n couples de grands cercles fixes n triangles sphériques pour lesquels la somme des périmètres sera constante. Réciproquement, cette définition entraînera la première.

iSous voyons ainsi que la méthode des figures supplémentaires établit un lien entre les propositions de Géométrie plane que nous avons dû étudier séparément aux Chapitres 1 et II de ce Livre. Il y a là un exemple intéressant des services que la Géométrie sphérique peut rendre à la Géométrie dans le plan.