CHAPITRE I

ÉTUDE D'UN SYSTÈME PARTICULIER DE COORDONiNÉES.

Définition du système de coordonnées que l'on va étudier. — Les lignes coordonnées sont les tangentes d'une conique. — Comment on est conduit à ce système. — Représentation étudiée par Chasles d'une surface du second degré sur un plan double. — Représentation des sections planes, des génératrices rectilignes. — Examen de diverses équations; équations symétriques par rapport aux deux coordonnées; équations non symétriques. — Emploi du système pour montrer que certaines formes typiques contenant en apparence le nombre de constantes nécessaire sont impropres à représenter une courbe du quatrième degré. — Couri)cs passant par les intersections de deux systèmes de n droites. — Cas où ces droites sont tangentes à une conique. — Si un quadrilatère inscrit à une conique est circonscrit à une autre conique, il y a une infinité de quadrilatères ayant la même propriété. — Applications du théorème général concernant les courbes du troisième degré. — H y a une double infinité de quadrilatères complets dont les six sommets appartiennent à une cubique. — Courbes dordre n^i passant par tous les points d'intersection de « droites. — Cas oi'i ces droites sont tangentes à une conique.

14o. A l'occasion de nos définitions relatives aux éléments métriques, nous avons été amenés à considérer, dans le plan et sur la sphôre, deux systèmes spéciaux de coordonnées. Dans le plan, nous avons défini un point par l'intersection des deux lignes isotropes sur les(|uelles il est situé (n" 98). Sur la sphère, nous avons employé le système de coordonnées formé par les génératrices rectilignes imaginaires de la surface. Il est clair que l'on passe de l'un à l'autre de ces systèmes par une projection stéréograpliique, qui transforme les droites génératrices de la sphère dans les droites isotropes du plan de projection. Mais ce mode de projection peut

23G LIVRE III. — CHAPITBE I.

être généralisé, et, si l'on prend le point de vue hors de la sphère, on est conduit dans le plan à un système de coordonnées qne nous allons définir d'une manière précise et qui mérite d'être étudié.

Considérons, d'une manière générale, une surface queh^onque du second degré (Q), un point A, hors de cette surface, et un plan (m). Si l'on joint un point quelconque M de (Q) au point A, la droite AM rencontrera le plan (717) en un point m et la perspective que l'on aura faite ainsi des différentes régions de ((^) nous donnera une représentation de cette surface sur le plan. Mais cette représentation, dont Ghasies a fait une étude approfondie, sera essentiellement distincte de celles que nous avons considérées jusqu'ici.

\in effet, tandis qu'à un point M de la surface correspond toujours un seul point m du plan (w), il corres|)ond au contraire à un point m de ce plan deux points M', M" de la quadrique. Ce sont ceux où la droite Am rencontre cette quadrique. Ils peuvent être réels ou imaginaires ; ils seront confondus seulementsi la droite Am est une génératrice recliligne du cône (C) de sommet A circonscrit à (Q), c'est-à-dire si le point m est sur la conique indécomposable (Iv) qui est l'intersection du cône (C) par le plan (ra).

liCS représentations de ce genre méritent d'être étudiées. Pour les distinguer de celles que nous avons envisagées au n"^' 117, on dit que la surface est repj'ésentée sur un plan double. Examinons ce qui caractérise la précédente.

Toute section plane de (Q), étant doublement tangente au cône (C), sera re|)résentée sur le pian (ttt) par une conique doublement tangente à (K). Réciproquement, toute conique doublement tangente à ( K) sera la base d'un cône de sommet A doublement tangent à (Q) et qui coupera, par conséquent, cette quadrique suivant deux courbes planes. Ainsi, toute conique doublement tangente à (K) est bien la représentation de deux sections planes de la surface.

Les génératrices rectilignes de (Q) sont toutes tangentes au cône (C), elles se projettent donc suivant les tangentes à la conique (K). Réciproquement, toute tangente à (R) est la projection de deux génératrices rectilignes de ((^) qui appartiennent à des systèmes différents.

146. H suit de là que, si Ton emploie, pour déterminer les points de la quadrique, le système de coordonnées formé par les deux

ÉTUDE d'un SYSTÈàï PARTICULIER DE COORDONNÉES. 237

systèmes de génératrices, réelles ou imaginaires, il aura pour représentation, d;ins le plan (ht), un système de coordonnées dans lequel chaque point sera déterminé par l'intersection de deux tangentes à la conique (K). C'est ce système que nous allons étudier.

Ecrivons l'équation de la conique (K) sous la forme

il est clair que l'équation

(2) p- ce — ■JLpy-t-z = o,

OÙ p désigne un paramètre variable, représentera une tangente quelconque de la conique. Les paramètres p et p, des deux tangentes qui passent en un point arbitraire (x,y,z) du plan seront déterminés par l'équation précédente, en sorte que Ton aura

l z ==ot;ppi;

p et p, seront les coordonnées du point dans le système de coordonnées considéré.

Avec ce système, l'équation de la conique (R) prend la forme

qui était évidente a priori.

Si donc on ajoute aux coordonnées homogènes a?, y, z une quatrième coordonnée f, définie par- la relation

(5) 2^ =:= .rtp— pi), on obtient l'équatiorj

(6) t'^ = y'^^xz

qui représente une certaine qnadrique (Q) représentée sur le plan double selon le mode que nous avons indiqué. Le point de vue A serait le sommet du tétr-aèdre de référence opposé au plan (cr ).

147. Les formules (3) sont symétriques par rapport à p et à p,; de sorte t^ue toute coirrbe représentée par l'équation homogène

sera définie, dans le nouveau système de coordonnées, par l'équation

parfaitement sjm'''trique par rapport à p et à p,. Cliacune de ces coordonnées figurera dans Tcqualion à un degré égal au degré même de la courbe.

Examinons maintenant ce que représente une équation

(9) /(p,pi)=o, non symétrique par rapport à p et à p,. Gomme on peut l'éciire

/(g, Pi )-h/(Pi,?) __ /(p.p, )—/(;,, p)

on voit qu'elle se compose de deux, parties, l'une syméliiqut; par rapport à p et à p,, l'autre qui cliange de signe quand on échange 0 et 0) et qui, par suite, est divisible par p — p, . Ainsi, touie équation non symétrique peut s'écrire

(10) cp(p,pi)-|-(p - p,) J^(?,?i) =0,

'j et h étant deux fonctions symétriques par rapport à p et à p,.

Il pourrait se faire (jue les deu\ fonctions co et «]> tussent un diviseur commun, que l'on peut toujours supposer symétrique en p et p). S'il en était ainsi, on déterminerait ce facteur par les méthodes usuelles et on l'étudierait à |)art. Nous pouiions donc supposer dans la s uite (|ue cp et di n'ont aucun faclenr commun ; et, eomme ils sont symétriques en p etpi, on pourra le^. exprimer rationnellement en x^y^ z de .sorte qu'en tenant compte de la relation (4), l'équation (10) prendra la forme indécomposable

(i i) ^^{x,y,z)— (y^—xz) W^-{x,y,z) = o.

Elle représente une courbe qui est tangente à la conKjue (K.) en tous les points où elle la rencontre et admet comtne points doubles tous les points d'intersection ties deux couibe> définies par les équations

(12) *(.-r,jK,-) = 0, W{x,j,z) = o.

ÉTUDE d'un système PARTICULIER DE COORDONNÉES. V439

Soit, par exemple,

(i3) A ppi -(- Bp -t- Cpi-H D — G

l'équation la plus générale qui soit du premier degré en p et p,. II y a lieu de distinguer deux cas :

Si elle est symétrique, c'est-à-dire si l'on a B = C, elle représente la droite

Az -i- iBy -\- Dx = o

■qui est une droite que/conque du plan.

Si l'équation n'est pas symétrique, elle représente la conique

(14 ) [As4-(B + G)jK + Dip]--(B — G)2(j'--^3)=.o,

qui est doublement tangente à la conique de hase. Réciproquement, toute coni(|ue inscrite dans la conique ( K) peut être représentée par une équation de la forme (i3), ou plutôt par deux équations de cette forme ; car on peut échanger p, p<.

Considérons maintenant une équation du second degré en p,p). Si elle est symétri(|ue, elle peut s'écrire

(l'j) Ap2pf -1- Bppi(p -f- pi)-HC(p-Hpi)'-l-2Dpp,-i-E(p-f-pi) + F = 0, En se servant des formules (3), on obtient la conique

(16) Az'-4- -iByz-h 4CjK^-t- iD zx -h 'iKxf -^ F x^ = o

qui n'est assujettie à aucune condition.

Si l'équation (1 5) n'est pas symétrique, on peut l'écrire, comme nous l'avons vu,

<p(p, p,)-+-(p — pi) t];(p, pi) = 0,

CD et 'b étant symétriques et respectivement du second et du premier degré par rapport à chacune des variables. En passant aux coorij »nnées homogène-;, on aura donc pour l'équation de la courbe

(17) ^i(x^y^z) — (y^-~xz) W^(x,y,z) = 0,

^'' et <ï> étant respectivement du premier et du second degré. On obtient ainsi une courbe du quatrième ordre à deux points doubles tangente en quatre points à la conique (K.)-

24o LIVRE m. — CHAPITRE I.

148. Le système de coordonnées que nous venons d'étudier est très propre à la solution des questions relatives aux polygones circonscrits à une conique. Proposons-nous, par exemple, le problème suivant :

Etant donné un polygone de n côtés circonscrit à la conique (K.), on connaît les trajectoires de ses n — i premiers sommets; déterminer la trajectoire du /i"^'"'^.

Désignons par p, p, les coordonnées du premier sommet; celles du second seiont évidemment p, et pa ; de même, celles des sommets suivants seront p^ et pg; p3 et p, ; ... ; p„, et p. Puisqu'on connaît les trajectoires des n — i premiers sommels, on pourra écrire les équations qui les déterminent

(18) /(p,pi) = 0, /i(p,,p2)=0, ..., /„2(p„2, p„-,) = 0.

Il suffira d'éliminer entre ces n — i équations pi, po, ..., a,i., et l'on aura la relation entre p et ^n-\f c'est-à-dire la trajectoire du dernier sommet.

Supposons, par exemple, que les n — i sommets soient assujettis à décrire des coniques doublement tangentes à (K). On pourra, de deux manières différentes, réduire chacune des relations (18) à la forme homographique

Appi-i-Bp-i-Cpi-}-D = o,

et l'élimination des variables intermédiaires conduira à une relation de même forme. Ainsi le dernier sommet décrira une ou plusieurs coniques inscrites à (K.).

Si les sommels du polygone circonscrit étaientassujetlis à décrire des coniques quelconques, les relations (18) seraient tontes doublement quadratiques et symétriques.

149. L'emploi du système de coordonnées précédent permet également de montrer qu'il est impossible de prendre certaines formes typiques comme point de départ pour l'élude de diflerenles coui'bes algébriques.

Si l'on introduit, par exemple, cinq fonctions linéaires fpielconques A, des coordonnées homogènes x, y, z et cinq cons-

KTUDi: D UN SYSTÈ.\rK PARTICULIER DE COORDONNEES.

tantes c/,, il semble ({iie l'une ou l'autre des équations

(Il «■) a-i ai^ a^

-Vi \2 .'V5 i\4 /i.5

a 1 A [' --- a-i A .] -;- (^3 A ^ -f- ai A^ + «5 A| = 0

pourrait représenter la courbe la plus générale du quatrième ordre, puisque clucune de ces équations contient i5 constantes arbitraires.

Les raisonnements de ce genre, qui reposent sur une énuméralion des constantes, doivent n'être employés qu'avec la plus grande précaution. Nous allons voir qu'ici, [)récisément, ils se trouvent en défaut.

Prenons pour la conique ( K. ) celle (jui est tangerite aux cinq droites représentées par les équations

Alors, chacune d<; ces fonctions pourra être mise sous la forme

ki— h] x — -y.hi y -^ z — x{hi — p) (/*/— pi),

et les équations (19) et (20) deviendront

Cionsidérous d'abord la première. En la multipliant par 0 cl [)Osant

elle peut prendre l;i forme

?(p) «?(pi)

'f cl / désignant des polynômes du (piatrième et du cinquième degré respectivement. Or, ou peut remplacer l'équation précédente par la suivante :

/(p)-+-Acp(p) /(pi)-1-A:(f(p,}

l^-i LIVRK III. CHAPITRE I.

et l'on voil que, si Von pose

/(p) + ;tc?(p)^P|(p-/,;),

on retombera sur une émulation

(^/ — ?)(/î/ - pi)

absoluinenl de même foiine que l'équation (i9)rt, mais où aura été introduite une arbitraire /c, qui permettra, par exemple, d'attribuer à l'une des racines h] telle valeur que l'on voudra. Ainsi, l'équation (19)^ ne saurait contenir le nombre de constantes nécessaire pour représenter la courbe générale du quatrième ordre.

Passons à la seconde équation (20). Pour l'étudier, nous adjoindrons au polynôme

(21) /(P)='jf[(?-/'/)

un autre polynôme

OÙ les ^/ seront cinq nouvelles constantes. Si l'on pose

et si l'on désigne par ^''(pj un poljnome quelconque du huitième degré, la théorie des fVactions rationnelles nous conduit à l'identité

où 0/ désigne l'une quelconque des racines de <ï*(p)- Tenant compte de ce que *l^(p) est le produit de deux facteurs, nous trouvons

2" W(hi) ^ V W(l^i)

f'(h,)F(h,) Zaf(Pi)V'(^o' 1 1

Prenons pour ^"(p) le polynôme

ÉTUDE d'uX SYSTÈMK PARTICULIKR DK COORDONNEES.

I identité précédente deviendra

fihi)b\ki)

Déterminons iiiainteiianl le polvnoine Vin) par la condition que l'on ail

f (hf) P( fi, ' m

qui laissera évidemment subsister une arbitraire dans l'expression de ¥(u). Le premier jnembre de l'identité (2.)) sera identique à celui de l'équation (ao), divisé par m, et Ion voit ici encore que cette équation ne saurait représenter la courbe générale du quatrième ordre, puisqu'elle peni être obtenue avec une infinité de systèmes de constantes.

Pour- résoudre les équations (^^4)» '' suflit de décomposer en fractions simples la fraction rationnelle

Ou trouve ainsi

loO. La métliode (|ue nous avons suivie dans lélude des questions pr«'cédentes peut être appliquée à des problèmes plus entendus.

Supposons, pai- exemj)le, (jue Ion ait deux systèmes de /i droites représentés parles équations

H,li,...B„= o.

L'équation générale des courbes du n"""'' ordre (pii passent par leur intersection sera de la forme

(•>,(ii

Examinons l'Iiypotlièse où toutes lesdroito \,. B/, seraient tangentes à une même conique. Alors, on pourra écrire

A/= xiui— p}(ai — p,), a,,— x(b,,— p)(6/,— p,),

244 LIVRE m. — CHAPITRE I.

et si l'on pose

(27) 9(p) = n(p-rt/), '}^(p) = ^In{p — bn), l'équation de la courbe deviendra

(28) cp(p):?(Pi)=.4;(p)'^(p,)-

Nous avons déjà rencontré (n° 99) cette forme d'équation, et nous avons remarqué qu'on peut la conserver en introduisant une arbitraire. Car, si l'on pose

l W(u) — in^( u) -\- m 'i^{u)^

(3o) <ï>(p)*(p,) = w(p)wrp,)

sera équivalente à la piécédenle (28).

Ainsi, si une courbe d'ordre n contient les intersections de deux systèmes de droites^ toutes tangentes à une conique^ elle conserve la même dé finition avec une infinité d autres systèmes de n droites.

Considérons, par exemple, le cas où //=2. On a le théorrme suivant :

Si un quadrilatère est inscrit à une conique et circonscrit à une autre conique., il y a une infinité de quadrilatères jouissant de la même propriété.

D'après les équations (29), deux côtés opposés sont définis par une équation de la forme

où À est une arbitraire pouvant recevoir toutes les valeurs, ce qui montre qu'ils déterminent une involution sur la conique. Par consé(juent, le point de concours de deux côtés opposés décrira une droite. Comme celte droite est la polaire du point de rencontre des diagonales, ce point de rencontre restera lixe.

Nous obtenons ainsi un nouveau cas particulier des théorèmes de Poncelet.

loi. D'autres applications concernent les courbes du troisième degré. Etant donnée une telle courbe (Cs), coupons-la par deux

liruDi': d'un svsïèmi; i'ARïicllii;u dk coohoox.nées. 245

droites quelconques A,, Â.j. Si l'on joint les trois points où A, coupe la courbe aux trois points où la courbe est coupée par A3, on obtient trois droites B,. Bo, B.j. Soient

(1 = o léquation de la courbe et

IJ, =z o, Bj = o, IJj^^O

les équations des Irois droites B,, B^, B;(. L"éi^[uation

<3ii G + AB, 8263 = 0

représente, quel que soit /r, une courbe du troisième degré qui contient les points d'intersection de (C;,) et des droites A,,A2. Si l'on dispose de // de leJle nianière qu'elle contienne un des points de A, qui ne sont |)as sur la courbe, la cubique représentée par l'équation précédente coupera en quatre points la droite A|, et par conséquent la contiendra tout entière. A, sera donc en facteur dans le |)reinier jnembre de l'équation (3i). Si on le supprime, il nous restera l'éc] nation d'une conique qui contiendra les trois |)oint5 où la droite A.j coupe la cubi(]ue (G3) et qui se composera, par conséquent, de Vo el d'une autre droite A;,. Ainsi, on pourra cboisir k de manière à obtenii' l'identité