C-A-B,BjB3= A,A,A

ce qui permettra d'écrire l'équation de la cubique sous la forme

( 3>. ) C = — X- B, Bo B3 -^ A, A, A3 = o.

Ainsi,

Elanl (Idiin/w une cubique^ si on la coupe par deux droites quelconques A,, A2 et que Von Joigne comme on voudra les trois points d' intersection de la première droite avec la cubique aux trois points d^ intersection de la seconde^ on obtient trois droites B,. Bo, B., qui vont couper la cubique en trois nouveaux points qui sont en ligne droite, et l équation de la cubique peut être ramenée à la forme (3y).

('.(■tte fonnc fait intervenir six droites A/, B^^ qui ne sont pas en 5^<''iiéral tangentes à une conique; mais, quelle que soit la cubique, il c^i iiis<- d indiquer des cas particuliers assez nombreux dans lesfpiels elles satisfont à cette condition.

2/i6 LIVHK lU. — CHAPITRi: l.

Supposons, par exemple, que Jes deux droites A,, A,, aient ô\('- [)rises coi'ncidenles. 1^' équation (3vi) deviendra

AfA..,— X-BiHoBsz^ o

et elle n'emploiera plus que cinq droites, qui seront tangentes à une conique. En employant le système de coordonnées qui a pour base cette conique, la voie sera ouverte à l'applicaliou de la proposition générale. Ici senlemeni, il faudra supposer que »(p) a un facteur double et prendre

<h (p) = ^Ji(p — b,)(p-h,)(p- 63),

<l>(p), W(p) se détermineront ensuite par les foruuiles (-^9).

152. Nous ferons usage de l'un dés résultats précédenls |»our établir une proposition qui nous sera utile danis la suite.

Etant donnée une cubique quelconque, menons une droite V| (jui la coupe en trois poinls //?,, /n.,, ni^. Menons la tangente en /?z,, B,. Elle va couper la conique en un point |jl duquel on peut mener à celte courl)e une tangente autre que \xni\. Soit m' \c point de contact de cette tangente. Si l'on joint le point m' aux deux points /«ot in-i de A,, on oblient deux nouvelles droites Bo, B;. (|ui, avec B,, jouent le rôle de celles qui figurent dans Téquation générale (Sa). Donc les deux poinls d'intersection m'.^, /n.^, différents de m', mo, /?î3, des deux droites Bo, B3 avec la cubique déterminent une di'oite qui va passer par le point m^.

\insi, il existe une double infinité de (/uadrilati'res eoniplets nif m' m.^ni^ msm.^ dont tous les sommets sont snr la cubique.

jNous reviendrons sur celte proposition.