Etant données 11 droites définies par les équations

il est aisé de jnonlrer que l'équation générale des courbes d'ordre n — ■ I passant par tous leurs poinls communs peut se mettre sous la forme

Al A2 A„

ÉTUDK d'un SYSTKMK P.VUTlcrMKH DE COORDONNÉES. ^47

(li^ ((o. ..., (fji désignant des constantes arbitrairement choisies.

Soil, en elTet,

l'é<)iialion d'une telle courbe. L'équation

représente évidemment, si elle ne se réduit pas à une identité, une autre courbe jouissant de la même propriété. Car, si G devient nul pour A/= Vyi-r^o, il en est évidemment de même du premier membre de l'équation précédente.

Or, on peut disposer des constantes a,, a.2, .-., Un de telle manière que ce premier membre s'annule pour un point de chaque droite A,- distinct de ceux où cette droite est coupée par les autres droites A/;. (3n aurait donc une courbe de degré n — i qui serait coupée en n points par n droites et qui devrait par conséquent les contenir tout entières, ce (pii est évidemment impossible, r^'équation précédente doit donc se réduire à une identité, et Téquation (34) est bien l'équation générale des courbes de degré n — i qui passent par tous les points d'intersection des droites A/.

On rencontre des équations de cette forme quand on considère les polygones inscrits à une conique. Soient A,, \2, . . ., A/, les côtés du polygone, pris dans leur ordre, de lelle manière que la conique contienne tous les sommets \, A^, ..., A, A,^,, ..., A„ \|. Si l'on joint le sommet A„ A , au troisième, (piatrième, ..., n — I "■'"*' sommet, on obtient des droites B, , 83. ••., B„3. 1.a conique étant circonscrite aux triangles formés par les droites A,, A2, B,, puis B,, A3, B^, puis Bo, Ai, Bp. et ainsi de suite, son équation peut être mise sous les différentes formes suivantes :

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