CHAPITRE II
LES Tm.()UI>MI<:S i)K PONCELET.
Application nouvelle du lliéorc'ine cléiiiontré à la tin du Chapitre précédent. Si un polygone est circonscrit à une conique ( K ) et inscrit à une conique (C), il existe une suite continue, sinriplement infinie, de polygones satisfaisant aux mêmes conditions. Par conséquent, il sera, en général, impossible de circonscrire à une conique un polygone d'un nombre de C('ilcs détermini- inscrit dans une autre conique.
Ktude de la suite contiiuic de polygones inscrits à une conique et circonscrits à une autre quand elle existe. Tr)us les points <rinlersecti()n de deux cotés de ces pol^-^gones décrivent des coniques on des droites. Quand le polygone a un nombre pair de côtés, les points de (concours des côtés opposés décrivent une droite et les diagonales joignant les sommets opposés passent par un point fixe qui est le pôle de la droite. — Application au cas de deux cercles. Condition pour qu'un quadrilatère circonscrit à l'un soit inscrit à l'autre.
Compléments ajoutés aux résultats précédents par la considération d'une ligne brisée inscrite dans une conique et circonscrite à une autre conique. — Démonstration nouvelle du théorème de Ponceict. — Quand un polygone est inscrit à une conique (C) et circonscrit à une conique (K), les coniques décrites par les intersections de ses cc')tés font partie du faisceau tangentiel déterminé par (C) et par (K); et les coniques enveloppes de ses diagonales font partie du faisceau ponctuel déterminé par les mêmes coniques.
Kxplication du paradoxe soulevé par les théorèmes de Poncelet. Elle se trouve dans l'existence de polygone-; dont les côtés sont repliés les uns sur les autres. Si l'on écrit d'une façon suflisamment précise les conditions auxquelles doit satisfaire un polygone pour être inscrit dans une conique et circonscrit à une autre, on obtient un système d"<;quations en nombre supérieur d'une unité à celui des inconnues.
Quand il y a une suite continue de polygones inscrits à une conique (C) et circonscrits à une conique ( K ), certains d'entre eux se réduisent à des lignes repliées. Il y a trois espèces de lignes repliées donnant lieu à des identités remarcuiables. — Rapports de celte théorie avec celle de la transformation des fonctions elliptiques.
loo. Â. la lin (Jti Chapitre préciHlent, nous axons tlonné un théorème général relatif aux courbes d'ordre n — i qui passent par tous les points d'intersection de ?i tangentes à une conique el nous avons montré que ces // langentes |)eii\ent, sans que hi définition de la courbe soit changée, être remplacées par une infinité d'autres sjstènjes de n langenles dont les paramètres sont
LES TIIKOIIKMKS 1)K 1>0N(.KLKT. 231
(loniu's par une é(|iialion de la lorine
où k ilésigne iia [)arainèlre arbitraire. Nous allons niaiulenanl faire une étude spéciale du c.a^ où Ir polygone formé par les // tangentes \,, A2, .... \,t de la eonicjue (K.^ est inscrit dans une autre conique qui contiendra, par exemple, les // soniinets A, Ao, A2A3, ..., \„A,. Nous avons vu ( n" lo'^ ) (jtie cette conique (C) satisfera à une équation de la forme (.54 ), dans laquelle il sera permis de substituer à '>2(p) le polygone 'f (p) -h kf(o).
I^our A= o, le polygone dont les côtés sont définis par l'équa-
lion
cp ( p ) = o
sera, d'après lin pollièse, inscrit à la conique (C). Lors(pie / \ariera d'une manière continue, ré(p«ation (i) déterminera une suite de polygones (pii, par raison de continuité, ne cesseront pas, évidemment, d'être inscrits dans (G), et dont les sommets seront l'intersection de cette conique ((]) avec les tangentes de (K) dont lc> paratnctrcs seront (b'Iiuis pai' r(''qnation (t). Et ainsi se Ir'ouve t'iablie, dans le cas général, cl par- une méthode toiil édémentaire, la plus belle découverte de l'oncclei.
Quaiifl lin polygone est circonscrit à une conique (Kj et inscrit <l<ins une autre conù/ue (G), il existe une suite continue «le polygones du incme nnwhre de côtés qui satisfont aux mentes conditions.
Il suit é\idemmenl de là (|u étant données {\eu\ coni(pies (G) ^^ et ( K ), il n V a pas, en général, rie polygone d'un nombre déter- ^K; miné de (•('»l('s inscrit à ((ï) et circonscrit à (K). (^ar. s il c\isiall ^K \\\\ tel polygone, il v en aurait une intinité. On pourrait prendre ^^ arbitraircmenl le sonimel de l'un d'eux. I{n essayant de le construire, un pourra oblenir de proche l'ii proche ses sommets IH| successifs: mais il hiudr;i iin<' condition poui- (pie le sommet de rang // i. par exemple, si le ()ol\gorie doit avoii- // côlés. vienne eoMKMdei ii\e( U' premier. Ainsi.
Si r ou reiit construire un polygoiw d un uoinhrc de côtés déterminé inscrit dans une conique et circonscrit à une autre conitiue^ le problème est impossible ou indéterminé.
Nous reviendrons plus loin sur l'explication de ce paradoxe.
156. Dans le cas où le |)roblèine est possible, nous avons vu
que l'équation (34) du Chapitre précédent représente, en même
temps que la conique (C), une autre courbe (C) d'ordre n — 3. Il
est aisé de montrer (]ue cette courbe (C) se décompose en " ~
Il — \ . ...
coniques si ii est impair, en — ; — coniques et une droite si n est
pair.
Soil, en eflet,
A p2^0'^ -H Bpp,{ p -;- p,) -+- G(p2-4- p| ) -f- DppiH- E(p -4- pi) -+- F = (>
l'équation de la conique (C). Envisageons le polygone variable AjAa.-.A,, inscrit à (G) et circonscrit à (K ). Soit p/ le paramètre du /i"""* côté A,A,^,. Pour assurer la généralité des raisonnements, convenons que, si f dépasse n, on aura
Alors, en vertu de l'équation de la conique (G), deux paianièlres, consécutifs seront liés par la relation
( '2 ) A p ? p ?+ , -f- B Pi p/.^, ( p,- -4- p,-^., )
-h C ( pf -f- p;v , ) ■+• D Pi p^^,, -+- E ( Pi -4- P/+1 )-^V =^o.
D'après cela, on voit que, par des éliminations successives, «m obtiendra une relation algébrique entre deux quelconques des paramètres p^, par exemple entre p/ et pz+zi. Examinons quelle est la nature de celte relation.
Si l'on se donne le côté A/A/^, c'est-à-dire le paramètre p,,. l'équation (2), qui est du second degré, nous fera connaître les paramètres p/^, et p,, des côtés adjaceiUs. Si a désigne un de ces deux paramètres, toutes les équalions de la forme (2) nous feront connaître les paramètres suivants en fonctions rationnelles de u et de p/. De sorte que l'un quelconque d'entre eux sera de la forme
V h désignant une fonction rationnelle de a et de p,. Donc p/+A, p/Aseront déterminés par une équation
C^; H(p/)pji/,-4-K(p/)p,--/,-4-L(p/) = 0,
Lies THÉOKÈMES DE l'ONCEI.KT. 253
OÙ H,'K, L seronl tles fondions rationnelles de p,. Prenons, dans celle équation, k avec le signe +, ce qui donnera
Cl) H (p/ '?!+/.■ -i- K(p,-)p,-+/,-+- L(p,-) = o;
puis remplac-ons t par i — k. ce (jui esl permis puisque l'équation précédente a lieu poui- toutes les valeurs de /,-; nous aurons
( ^ ) H (p,- 7, ) ?;- + K ( ( p,/, ) Oi ^ L ( p,--/, ) = o
et cette écpialion devra être compalible avec la suivante :
que l'on obtient en prenant le signe — dans l'équation (3). Pour que les deux relations précédentes soient équivalentes, il laut évidemment qu'elles puissent être ramenées à une forme dans laquelle elles seiont doublement quadratiques et symétriques par rapport
Ce point étant établi, et nous y serons conduits plus loin d'une autre manière, nous pouvons énoncer la proposition suivante :
Le point tV i nier sec lion de deux côtés de rang i et i-\- k du polygone variable inscrit à (C) et circonscrit à ( K) décrit aussi, quand on donne à k une valeur fixe, une conique, comme le point dUnterseclion de deux côtés consécutifs.
157. Il y a cependant un cas |)arliculier qu'il convient de signaler à pari. Si le polygone variable a un nombre pair de côtés im,, il est clair qu'à un côté de rang i ne correspond qu'un côté de rang i±m. Par conséquent, la relation entre p, et p/|.,„ sera seulement du premier degré, et comme elle est symétrique, le point d'' intersection de deux côtés opposés du polygone décrira une droite.
Il suit des propositions [)récédcnles (pie, si // esl impair, la
courbe (C) définie plus liant (u" lo.'î) se décomposera en coniques et que, si n est pair, elle se décomposera en coniques el
une droite.
Examinons plus particulièrement le cas oii n est pair. Puisque le point de concours de deux côtés ()ppos('s (b'crit une droit(> d^
U)4 MVRK III. — CHAI'ITRK II.
la droite qui joint les points de contact avec ( K) de ces deux côtés va passer par un point fixe O, qui est le pôle de d par rapport à (K). Nous allons montrer que ce point O a même polaire par rapport à (C) et à (K); qu'il esl, par (conséquent, un des sommets du triangle conjugué commun à ces deux coniques.
On peut présenter le raisonnement qui établit ce résiillat essentiel sous une forme qui le rendra plus intuitif. Employons une homographie ou une perspective qui rejette à l'infini la polaire d àe O par rapport à (K); () deviendra le centre de cette conique. Le poljgone circonscrit aura maintenant ses côtés opposés parallèles, puisque la droite qui joint leurs points de contact passera par le centre. Il sera donc symétrique par rapport au point O, et par suite les diagonales (pii joignent ses sommets opposés passeront par ce point. La conique (G) circonscrite au polygone aura, elle aussi, pour centre le point O, puisque plusieurs de ses cordes auront leur milieu en ce point. Ainsi, O aura même polaire par rapport aux deux coniques; et celte propriété, par sa nature, se conservera lorsqu'on reviendra à la (igtiie primitive.
158. Supposons, par exemple, que les coniques (C) et (K) soient des cercles. Hors, les sommets du triangle conjugué sont le point à l'infini sur la direction perj)endiculaire à la ligne des centres et les centres des deux cercles de rayon nul qui passent par l'intersection des deux ( ercles proposés.
Si l'on demande qu'un quadrilatère ABGD circonscrit à (R) soit inscrit à (C), on aura donc le choix entre deux hypothèses.
i.i:.s TiiKoiiioMiis i)i: i'Oncki.kt. -255
Dans la première, I un tics quadrilatères circonscrits à (K.) aura la position indiquée dans la figure 19, les deux diagonales AC et BD allant concourir au sommet du triangle conjugué qui se trouve à l'infini. Le cercle (C) sera celui qui sera circonscrit à ce quadrilatère. On reconnaît immédiatement qu'il doit passer par t le centre ■>' de (K), le (|ua(lrilaière BvDC étant évidemment inscriptible.
Dans le second cas, l'un des quadrilatères circonscrits à (K) aura la position indiquée dans la ligure 20. Pour qu'il soit inscriptible, il
Fisr. 30.
faudra que les angles B et D soient droits. En exprimant que les
deux angles BAC et BCA, dont les sinus sont p; -. et — -,,
R désignant le ravon du cercle (C), /• celui du cercle (K) el d la
distance des centres, sont complémentaires, on obtiendra la
relation
