I II

/•- "^ (R — dy- '^ { \\'\-df''

159. Revenons au théorème général. Nous avons vu que tous les points d'intersection des côtés du polygone variable inscrit à ((j) et circonscrit à (K) décrivent des coniques. Nous savons d'ailleurs (n" 89) (pi'il existe plusieurs coniques par rapport auxquelles (C) et (K) sont polaires réciprofjues l'une de l'autre. Si nous elTecluons celle transformation de (C) en (K) et de (K.) en (G), aux polygont's inscrits dans (C) et circonscrits à (K) correspondront des polygones qui jouiront des mêmes propriélrs : mais aux points d'interseclion des côtés du polygone primild cot lespondronl

mainleuaiil les diyj^onales du second. Gomme elles sont les polaires de points qui décrivent des coniques, elles envelopperont d'autres coniques qui seront les polaires récipr()(|iic> des premières. Kn particulier, comme nous l'avons démontre directement, quand le polygone sera de degré paii-, les diagonales qui joindront les sommets opposés passeront par un point (ixe. Ainsi,

Quand il y a une suite continue de polygones inscrits dans une conique et circonscrits à une autre, les diagonales de ces polygones envelopperont des coniques. Quand les polygones auront un nombre pair de cotés, l'enveloppe des diagonales <iui joignent deux sommets opposés se réduira à un point, qui aura même polaire par rapport aux deux coniques.

160. On peut compléter quelques-uns des résultats précédents et obtenir une démonstration nouvelle du théorème de Ponceleten raisonnant de la manière suivante :

Supposons que, d'un point quelcon(|ue de la conique (G), on mène à laconique (K) les deux tangentes qui passent par ce point; (jue, des nouveaux points où ces tangentes coupent la conique (G) on mène de nouvelles tangentes à la conique (Iv) et que l'on continue ainsi indéfiniment de manière à former une ligne brisée inscrite dans (G) et circonscrite à (K); cette ligne brisée sera indéfinie en général et pourra être prolongée dans deux sens différents. Si M est un point quelconque de (G), nous désignerons par p et p, les paramètres des tangentes de (K) qui se croisent en M^ c'est-à-dire les coordonnées de M; celles du point M, où la tangente de paramètre p4 coupe (G) de nouveau seront p, etoo; celles du point !V1| où la tangente de jiaramètre p coupe (G) de nouveau seront p i et p; et ainsi de suite; en sorte que la ligne brisée M AM/i^i ... V[,MM, Mo ••• M^'... sera telle que p, sera le paramètre du côté Mj, M,, i étant positif^ nul ou négatif. Si la ligne brisée se fermait, il suffirait de supposer (pie Ton a r)^^.=z Oi pour toutes les valeurs de /; elle se réduirait alors à un pol^'gone de n cotés inscrit dans (G), circonscrit à (K).

Puisqu'elle est inscrite dans (G), les cooidonnées de chacun de ses sommets vérifieront l'équation de cette courbe; cest-à-dire que deux paramètres consécutifs p,, p,,., satisfeionl, quel que soit i,

à une relation de la forme suivante :

(7) f (?i-9i+\) = f {?uu9i) = ^9f pUi -+-Bp,-p,vi(p/-f-p/+i)

^ C(p2+ p?^,) 4- Dp,-p,-+,-+- E(p,-4- p,vi)-4- F = o.

Nous allons montrer, de même, que toutes les intersections de deux tangentes dont le rang diffère de k et dont les paramètres sont, par conséquent, p„ p,^,t, demeurent sur une même conique (Ca,), lorsque la ligne brisée se déplace, c'est-à-dire qu'il existe entre p, et p,^yt une relation

tout à fait semblable à la précédente (7), quel que soit i, positif ou négatif.

En effet, l'équation (n) étant vérifiée pour toutes les valeurs de i, nous pouvons écrire les deux relations

f(?i^Pi+0 = o, /(p,-,p,i) = 0.

Si nous éliminons p, entre ces deux équations, nous obtiendrons une relation du quatrième degré par rapport aux deux variables ?i-i,Pi+, ; mais le facteur p,, — p.^,, qui était évident a priori, apparaîtra immédiatement dans la résultante, où il sera élevé au carré. 11 restera donc une équation doublement quadratique

qui sera évidemment symétrique par rapport aux deux variables et qui se changera dans la suivante :

quand on remplacera / par i + i. C'est le résultat que nous avons annoncé, pour le cas le plus simple, celui où l'on a A-= 2.

Supposons maintenant que la proposition ait été établie jusqu'à une certaine valeur de A et que l'on ait obtenu les relations doublement quadratiques

Nous allons montrer qu'elle subsistera lorsqu'on augmentera k d'une unité. En effet, pour obtenir la relation entre p, et p,+A+,, il faut D.

■>,58 LIVRE m. — CHAPITRE H.

éliminer p,^^yi entre les deux équations

(9) fk-\ (pi, Pi+k) = O, fipMc, P/+-/, + l ) = (>.

L'élimination conduira à une équation

(•oj *(P6Ph-/,-)-i) = «,

entre p, et p/^/f^.!, du quatrième degré par rapport aux deux variables qu'elle contient. Mais comme la seconde des équations (9) est vérifiée quand on j remplace 0,+^+» par P/+A-i l'équation précédente devra l'être aussi quand on effectuera la même substitution, c'est-à-dire que son premier membre devra contenir le facteur fk~i{^h^i-\.k-\)\ qui, égalé à zéro, donne la relation entre p, p,4.;t|. On aura donc

1 I 0 * =fA-i(pi, pi+k+\ )//ciPi-, P/+^+l )•

C'est le second facteur, doublement quadratique lui aussi par rapport aux deux variables p/, pj+^+i, qu'il faudra égaler à zéro pour obtenir la relation cherchée. Comme fk est de même forme que//!-), //f- 2, • -, notre proposition est démontrée.

161. Nous pouvons ajouter deux propriétés essentielles de ces

polynômes y;f

Comme, d'après la constitution de la ligne brisée, on peut changer de signe les indices, on aura, en même temps que la relation

( la) /a-1 ( Pi, pi+k) — o,

la suivante :

(i3) //v-i (pw, p-i-k) —o.

Comme i est quelconque, on peut changer / en — i — k dans la seconde relation^ ce qui donnera

fk^\{pi+k,9i) = o.

C'est la relation primitive dans laquelle on aurait échangé les variables. Cette i^elation est donc symétrique par rapport à ces variables.

D'autre part, en changeant i en — / dans la relation ( i.> ), on a

f/c-l(pi,?i-^A) ^ O-

On voit donc que les deux racines de l'équation (i'a) en p,^/; sont pi^i( et pi—k- D'après cela, reprenons la relation entre deux paramètres consécutifs

Si l'on résolvait par rapport à pj+i, on trouverait deux racines p,^i etp/,. Si l'on veut que ces deux racines soient égales, il faudra que p,- satisfasse à une équation du quatrième degré

que l'on formera très aisément en se reportant à l'équation (7). D'après les remarques que nous avons présentées plus haut, 0/4.* est une fonction rationnelle de p, et p,+i, on a

et de même

pl-fc— i^A:(pi,pi--l )•

Donc, lorsque pj, deviendra égal à p<+i, pz+A deviendra égal à p,A. Ainsi, c'est pour les mêmes valeurs de p/ que toutes les équations

auront leurs racines égales.

162. Interprétons géométriquement les résultats précédents. Puisque les équations

fi,-i{pi,pi+k) = o

sont symétriques par rapport aux deux variables qu'elles contiennent, le point de coordonnées p,-, p/^^ décrii*a une conique (Ga— i). Gomme, d autre part, les points de cette conique pour lesquels les deux valeurs de p/^/t deviennent égales sont ceux oij elle est touchée par une des tangentes qui lui sont communes avec la conique fondamentale (K), et comme ces points correspondent à des valeurs toujours les mêmes de p/, nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Lorsqu'une ligne brisée se meut en restant inscrite dans (G) et circonscrite à (K.), les intersections de deux côtés de cette ligne dont les rangs diffèrent d'un même nombre k

26o LIVRE III. — CHAPITRE II.

demeurent sur une conique (Ca-i), qui est inscrite dans le quadrilatère circonscrit à (C) et à (K-).

La proposition précédente conduit, comme nous l'avons annoncé, à une nouvelle démonstration des théorèmes de Poncelet. Soit, en effet, A, A2 ... Art un polygone inscrit à (C) et circonscrit à (K). Construisons une ligne brisée A', A., . . . A^^, inscrite dans (C), circonscrite à (K.) et partant d'un point quelconque A', de (C). Nous savons que le point d'intersection des côtés A', A., et A^ A'„^, doit décrire une conique. Mais cette conique doit passer par chacun des sommets du polygone A)A2...A„; par exemple, si A'^ vient en A,, h!n+\ vient aussi en A,. Cette conique, passant par tous les sommets du polygone, doit évidemment se confondre avec (C).

Le raisonnement ne s'applique pas lorsque n est égal à 3 ou 4- Mais nous avons traité ces cas directement (n"'86 et 150).

La démonstration précédente est moins simple que celle à laquelle nous avons été conduits tout d'abord. Mais elle offre l'avantage de mettre en évidence le corollaire suivant de notre proposition relative à la ligne brisée :

Lorsqu^ un polygone variable se meut en demeurant inscrit dans (C) et circonscrit à (K), laconique (C^-i ) décrite par le point d'intersection de deux côtés du polygone dont les rangs diffèrent de k est inscrite dans le quadrilatère circonscrit à (C) et à (K.). De mênie^ les diagonales du polygone enveloppent des coniques passant par V intersection de (C) etde (K).

163. Ce qui fait l'intérêt des théorèmes de Poncelet, c'est qu'ils mettent en ésidence, dans un cas très étendu, un de ces problèmes qui devraient, semble-t-il, avoir toujours une solution et qui sont cependant impossibles en général, à moins qu'ils ne deviennent indéterminés. Les remar(|ues suivantes contribueront à éclaircir ce paradoxe.

Soit

(i5) /(P,Pi) = o

l'équation de la conique (C); nous avons déjà remarqué que, si l'on exprime que l'équation en p, a ses racines égales, l'équation

du quatrième degré

à laquelle on est conduit détermine les paramètres des tangentes communes à (C) et à (K.). D'autre part, si l'on fait pi = c, l'équation

du quatrième degré également, déterminera les points communs à (C) et à (K). Cela posé, s'il existe un polygone circonscrit à (K) et inscrit dans (G), les paramètres p,, po, ..., p« de ses n côtés devront satisfaire aux équations

(18) /(pi,p2) = 0,/(p2,?3) = 0, ..., /(p„,,p„) = 0,/(p„,p,) = O,

qui sont au nombre de nel devront, par conséquent, avoir toujours des solutions, puisque les valeurs infinies des paramètres ne sont pas exclues. Il est intéressant d'expliquer comment ce résultat analytique, qui est incontestable, se concilie avec les théorèmes de Poncelet.

On voit immédiatement une solution des équations (i). On peut supposer que tous les paramètres p/ sont égaux. Alors, il suffira de vérifier l'équation

/(p/,pi-) = o

([ui détermine les points a communs à (G) et à ( K). Le polygone correspondant aurait tous ses sommets confondus en un point a et tous ses côtés confondus avec la tangente à (K) en a. Mais il y a beaucoup d'autres solutions.

La tangente en un des points a à (R) coupe (G) en a et en un autre point OL^. De ce pointa, on peut mener une seconde tangente à(K) qui coupera (G) en un point a^. En continuant de cette manière, on obliendra des points as, «4, ..., a^,, généralement en nombre indéfini. Si, partant du point a^,, on remonte cette série on obtiendra un polygone ay,a^, a/,2 ••• a, aaa ... aaiag... a^o-, a^, q|ui sera fermé. Ses premiers côtés formeront la ligne brisée a^ ... a, a ; les côtés suivants seront formés de la tangente à (K) en a répétée un nombre arbitraire de fois. Le polygone se terminera par la ligne aa, ... a^, qui se confondra avec sa première partie.

Celte hypothèse correspond au cas où l'on prendrait pour les inconnues p), ..., p^ qui figurent dans les équations (i8) les valeurs suivantes :

(19) Pl)?2) •••) ?p-i: ppy ?!■> •••' ?py 9p-i-> 9p-i^ P2'

qui devraient satisfaire aux conditions

(20) /(p/„p/,)=0, f{pp.Ç>p-y)=0, /(p^i,p,,2)=0, ..., /(pj,p,) = 0.

Si k est le nomhre de fois que Op figure dans la suite (19), on

devra avoir

ip -\- k — 3 = rt,

et, par conséquent, on pourra ainsi obtenir plusieurs solutions distinctes du système (18).

Il y a plus. Si n est pair tout au moins, on peut former des solutions de ce système (18) qui contiendront une arbitraire. Supposons ti=:'2n' ^ei construisons arbitrairement une ligne brisée a.^^2---^n + \ inscrite à (G) et circonscrite à (K). 11 est clair (jue le polygone a, ... a„.^, a»'a„', ... an a,, formé par cette ligne brisée parcourue dans les deux sens, donnera une solution du problème et que les équations (18) seront vérifiées si l'on prend pour pi ... p2«, la suite

les quantités qui figurent dans cette suite étant uniquement assujetties à vérifier les conditions

/(Pl-?2)=0; /(p2,P3)=0, ..., /(p„'+,,p„') = 0,

qui laissent subsister au moins une arbitraire.

164. On pourrait indiquer d'autres solutions du système des équations (18); les remarques précédentes suffisent à montrer qu'elles ne sont pas incompatibles; il reste à expliquer comment ce résultat s'accorde avec les théorèmes de Poncelet.

Pour cela, nous remarquerons que ces équations (18), dont nous venons de mettre en évidence certaines solutions, ne traduisent qu' imparfaitement les conditions du problème. Lorsque nous envisageons ces polygones circonscrits à (K) et inscrits à (G), nous supposons implicitement que deux de leurs côtés consécutifs sont

les deu^ tangenles, en général distinctes^ que Ion peut mener à (K) du sommet du polygone qui est à leur point d'intersection; en sorte que, si l'on a trois côtés consécutifs de paramètres p,i , p^, P/4.1 donnant naissance aux deux équations

/ ( ?/-! :?i) = O, / ( Pi, pi+t ) = O,

pi—i 6f ?/+! sont les deux racines de l'équation ea u

f(pi,u)r= o.

En exprimant qu'elles sont distinctes, que leur somme par exemple est celle des deux racines de l'équation précédente, on sera conduit à une équation de la forme

P et () étant deux polynômes du second degré, cette équation peut aussi s'écrire