AI

?i+i — Pi-t

en sorte que, au système des équations (18), nous devons substituer le système des /i + \ équations

/(pl,p2) = 0. 61 = 0, 0.2=0,

<jui sont en nombre surabondant.

V la vérité, comme on a

/(P1.P2) -/(pl,P/;j

?2 — Pn /(p2.p.-t)— /(p2,pl)

f{z„.?l)—f{p„, pn 1)

on obtiendra la relation

Mais cette identité ne suffit pas à montrer que l'on puisse supprimer une des équations {'à-à). Si l'on a, par exemple.

264 LIVRE m. — CHAPITRE II.

on n'aura pas nécessairement

il pourra se faire que pi égale pn-t-

165. L'explication précédente du paradoxe soulevé par les théorèmes de Poncelet offre l'avantage de nous montrer que, même dans le cas où il y aura une infinité de polygones inscrits dans (C) et circonscrits à (K), certains d'entre eux, ajantpour sommets un des points que nous avons désignés par a et ^, se réduiront à des lignes repliées. Mais comme chacun de leurs sommets devra être l'intersection des deux tangentes que l'on peut mener de ce sommet à (K), nous voyons tout de suite que deux sommets consécutifs ne peuvent venir se confondr-g que lorsqu'ils se réunissent en un de ces points j3 où la tangente à (C) est aussi tangente à (K) ; alors un des côtés du polygone se confondra avec cette tangente; et nous voyons, de même, que deux côtés consécutifs ne peuvent se confondre que si le sommet qui se trouve à leur intersection vient se placer en un des points a communs à (C) et à (K). Nous ne trouverons donc que trois espèces de lignes repliées : les unes qui commenceront en un des points a communs à (G) et à (K.) et se termineront en un autre de ces points a'; les autres, commençant encore en un des points a, mais se terminant en un des points [i de (C) pour lesquels la tangente est comn)une à (G) et à (K); enfin les dernières, commençant en un des points [i et finissant en un autre point p', de même définition. Pour les premières, tous les côtés seront doubles; pour les secondes, un des côtés, la tangente en ,8, devra être regardé comme simple; pour les troisièmes, il y aura deux côtés simples, les tangentes en [i et en ^'.

Nous avons vu que les paramètres des côtés du polygone variable sont donnés par l'équation (M) cp(p)-+-//(p)=.o,

où /i est un paramètre arbitraire. Supposons d'abord que (p(p) soit impair; les lignes repliées seront toutes de la seconde catégorie^ et il y aura, parconséqùent, quatre valeurs de A' pour lesquelles auront lieu les identités suivantes :

''^ I <p(p) 4- A-,/(p) = (p - PO p:;, cp(p) - /.-./(p) = (p - p,) P^,

P<, Pa^ P3, P4 étant des carrés parfaits, et p,, (3o, [ia, (^4 désignant les paramètres des tangentes communes à (C) et à (K).

Si ^(p) est de degré pair, il ne pourra y avoir que des lignes repliées de la première ou de la troisième catégorie. Celles qui auront deux de leurs sommets en des points communs à (G) et à (K) donneront naissance à deux identités de la forme

?(p) + ^-./(p) = Pf. ?(p) + /^^'/(p) = Pi-

Celles qui auront pour sommets extrêmes deux des points [îi conduiront à deux identités telles que les suivantes :

(26) ( ?(P) -+- ^"3/(p) = (? - Pl) (? - h) P5.

pi, jSa, [^3, (^4 désignant toujours les paramètres des tangentes communes à (C) et à (R).

166. Les polynômes <2(p) et ./(p). qui figurent dans l'équation (24) par laquelle on détermine les paramètres des côtés du polygone, mériteraient un examen approfondi. Leurs propriétés se rattachent aisément aux relations que l'on peut établir entre la théorie précédente et celle qui concerne la transformation des fonctions elliptiques. Ces rapports ont été signalés dans une élude de l'Auteur, Sur les polygones inscrits à une conique et circonscrits à une autre conique^ parue en 1880 au Tome XC des Comptes rendus de V Académie des Sciences; mais ils n'ont pas un caractère assez élémentaire pour figurer dans cet Ouvrage. .Te me bornerai donc à traiter le cas particulier où le polygone considéré a un nombre pair de côtés, '^n.

Alors, la conique (C) pourra être représentée par une équation de la forme

les équations A/= o leprésentant les côtés de rang impair elles équations B^= o les côtés de rang pair. On démontrerait directement, et il résulte des propositions précédentes, que la courbe représentée par l'équation ("J'y) se décompose en coniques (et en une droite si n est impair). En conservant les notations du n°150,