LIVRE III. — CHAPITRE II. — LES THÉORÈMES DE PONCELET

nous avons vu qu'on peut mettre son équation sous la forme

(iS) «ï>(p)<ï.(p,) = W(p)W(p,),

où l'on a

<I>(p) = m!p(p) -+- m'<ii(p), ^"(p) = f^'Hp) ^~ in'tçip).

Il suit de là que l'on peut obtenir séparément les équations qui déterminent les paramètres des côtés de rang pair et celles qui déterminent les côtés de rang impair. Ce seront les suivantes :

(p(p;H-X4'(p) = o, <\)(p)-^'kto(p):= O.

Eu multipliant, on aura l'équation qui déterminera les paramètres de tous les côlés

Le premier membre deviendra un carré parfait lorsque X deviendra égal à l'unité, soit positive, soit négative.

si un triangle mobile est circonscrit à une conique (K) et si deux de ses sommets décrivent des coniques inscrites dans un quadrilatère circonscrite (K), il en est de même du troisième sommet.

Pour établir cette proposition fondamentale, on s'appuie sur un lemme démontré au n" 88. Si un triangle mobile demeure circonscrit à une conique fixe, il existe, à chaque instant, une conique tangente en chacun de ses sommets aux trajectoires de ces sommets.— Ce lemme, qui donne le moyen de construire la tangente à la courbe décrite par l'un des sommets quand on connaît les tangentes aux courbes décrites par les deux autres sommets, permet de déduire le théorème fondamental d'une propriété presque évidente des coniques homofocales. — Extension à un polygone d'un nombre quelconque de côtés du théorème démontré pour le triangle. — Emploi de l'Algèbre pour démontrer les théorèmes précédents par l'intégration d'une équation différentielle. — Comment, du théorème général, on peut revenir au eas particulier où le polygone est inscrit dans une conique. — Forme que Chasies a su donner aux théorèmes de Poncelet. — Polygones de périmètre inaximum inscrits dans une ellipse, ou de périmètre minimum circonscrits à une ellipse. — Propositions diverses relatives à ces polygones.

167. Pour terminer l'élude précédente, nous démonUerons le théorème le plus général que Poncelet ait donné sur celle question des polygones inscrits el circonscrits.

Considérons un triangle mobile assujetti à demeurer circonscrit à la conique (K). D'après la proposition démontrée au n" 88, nous savons que, si l'on construit pour une de ses positions les tangentes aux courbes décrites par ses trois sommets, ces tangentes seront aussi celles d'une conique circonscrite au triangle, c'està-dire que les trois points où chaque côté du triangle est coupé par la tangente à la courbe décrite parle sommet opposé seront en ligne droite. Considérons des coniques inscrites dans un quadrilatère circonscrit à (K) el supposons que deux sommets du triangle décrivent des courbes admettant la même tangente qu'une des coniques du faisceau tangenliel passant par ce sommet. Nous allons montrer que le troisième sommet aura la même propriété.

Pour cela, il faut établir <jue, si l'on considère les coniques d'un

faisceau tangentiel et un triangle circonscrit à Tune d'elles, les tangentes aux six coniques du faisceau qui passent par les trois sommets peuvent être groupées trois à trois de telle manière que leurs points de concours avec les côtés opposés du Iriangle soient en ligne droite. C'est ce que l'on peutvoir sans calcul de la manière suivante.

Transformons par l'homographie notre faisceau tangentiel en celui qui est formé des coniques homofocales. Il suffît, pour cela, de prendre deux sommets opposés du quadrilatère circonscrit commun et de les transformer dans les points circulaires à l'infini. Si nous construisons le triangle circonscrit à l'une des coniques homofocales, nous savons que les tangentes aux six coniques homofocales qui passent par les trois sommets de ce triangle sont les bissectrices des angles du triangle; elles peuvent donc être groupées de quatre manières différentes pour former les tangentes à une conique circonscrite au triangle. Si celui-ci est réel, il suffit, par exemple, d'associer deux bissectrices intérieures et une extérieure, ou les trois bissectrices extérieures.

Revenant à la figure primitive, nous pouvons donc admettre que, si un triangle ABC est circonscrit à une conique fixe (K.) du faisceau et si deux de ses sommets B et C décrivent des coniques (C), (C") du faisceau tangentiel, le troisième somniet A décrira une courbe qui, pour chaque position du triangle, sera tangente à l'une des deux coniques du faisceau qui passent par A. Il faudra donc, ou bien que cette trajectoire de A soit une troisième conique (G'") du faisceau? ou bien qu'elle soit l'enveloppe d'une suite continue de coniques de ce faisceau. Or, celte dernière hypothèse est inadmissible, puisque nous connaissons celle enveloppe des coniques du faisceau, composée uniquement du quadrilatère circonscrit, commun à toutes les coniques du faisceau. Il faut donc que le sommet A décrive une conique (C") du faisceau. Ainsi,

Quand un triangle circonscrit à une conique (K) se meut de manière que deux de ses sommets B, C décrivent des coniques inscrites dans un quadrilatère circonscrit à (K), le troisième sommet A décrit aussi une conique inscrite dans le même quadrilatère.

Si l'on se donne la conic^e (K) et les deux coniques déci'iles par les sommets B et C, on verra aisément qu'il y a quatre coniques décrites par le sommet A.

168. Le lemme sur lequel repose la démonstration précédente a été établi par l'homograpiiie. On peut aussi le démontrer directement.

Soient

u--\- v^ -i- iV- = o.

aU^ -f- Oi'^ -+- CW- =; o

les équations tangentielles de deux coniques rapportées à leur triangle conjugué commun. Soient encore

iux -\- i'y -r- wz = o, u'x-+- v' y -f- w' z — o, u"cc -r- v"y-h tv"-3 = o

les équations de trois tangentes à la première des deux coniques.

On aura

Iu- -T- V- -+- w- = o, tt'2, t>'2 i w'^— o, „"2h (."2+. „,"2 o;

et l'équation du faisceau déterminé par les deux coniques sera

(a — A)a2-+-(6 — A-)('2-i-(c — /otv2= o.

Le triangle formé par les trois droites (2) est circonscrit, par hypothèse, à la première des coniques du faisceau. Cherchons les tangentes à celles des coniques du faisceau qui passent par un de ses sommets, par exemple par celui que déterminent les deux premièr'cs é(|uations (2).

Une droite passant par ce sommet a pour équation

vy -^ wz — ^(u' X -^ v'y -+■ iv' z) = o.

Pour qu'elle soit tangente à la conique de paramètre k, il faut donc que l'on ait

(a — k) (u — l u' y -h {h — />■) ( u — Iv'y -4- (c — A) ( w — X iv'y- = o, ce qui donne deux valeurs pour \. Ces deux valeurs deviennent

270 LIVRE m. — CHAPITRE III.

égales pour les deux coniques du faisceau qui passent par le point considéré. On obtiendra donc les paramètres de ces deux coniques en exprimant que l'équation précédente en À a une racine double. Si l'on tient compte des relations (3), cette équation peut s écrire

a?<2-i- 6t^2-l- cw* — '.X [(a — /c) uu' -+- {b — k) Vi^'-i- (c — k) ww'\

-t- Xî ( a a'"'' -t- 6 p'2 -f- c ^'2 ) = o. J^'équation

[(rt — /.) uu' -^ {b — k) vv' ->!- (c — k) ivw']^ = {au'^-+- bv^ -+- cw^ ) ( au'^ ■+- bv'^ -f- c(v'2 ) = o

déterminera donc les paramètres des deux coniques qui passent an sommet considéré et les valeurs correspondantes de X seront fournies par l'équation

, ,. , , Jau^ -+- bv'^ -)- cw2

\/au"^ -+- bi>''^-\- Gw"^

11 suit de là que les tangentes aux deux coniques du faisceau qui passent au sommet considéré auront pour équations

vy -+- wz u X -+-V y

\/au^ -\- bv^ -+- cw"^ \/au'- -4- bv'- -+- cw'^

Les tangentes relatives aux deux autres sommets du triangle seront données de même par les équations

\J au"^ -f- 6p'2 -i- cw'''' \J au'- -h bv"'- -1^ cw"^

u" X -+- v" y -\- w" z , ux-i-vy-hwz \J au!"'- -H bv"'- -i- cw '^ \Jau^ -\- bv- -t- cw^

et l'on voit tout de suite que les six droites ainsi obtenues sont dans la même relation descriptive que les bissectrices des trois angles d'un triangle. Les coniques auxquelles elles sont tangentes ont pour équations

s/ ctu'^ -\- bv^-^ cw'^ , J au!'--\- bv''--\~ cw''- , \/au"''--\-bv"'^+-cw"'^

ux -t- vy -+- wz u X -\- V y -^ w z 11 x -i- v y -+■ w z

169. Le théorème que nous avons établi au n" 167 pour le triangle s'étend de lui-même à un polygone d'un nombre quelconque de côtés.

Considérons, en effet, un polvgone AjAo.-.An circonscrit à une conique (K) et dont le déplacement est défini par la condition que les n — i sommets A,, A2, . . ., Ay,, décrivent des coniques (G,), (Cj), . . ■/{0,i\) appartenant, comme (K), à un même faisceau tangentiel. Si l'on considère le triangle formé parles côtés consécutifs A, Ao, A2A5, A3 A4, il est circonscrit à (K) et deux de ses sommets, A2, A3, décrivent les coniques (C2), (C3) du faisceau . Donc, le sommet B2 intersection des côtés A, A2 et A3 A4 de ce triangle décrira, lui aussi, une conique (C,) du faisceau. Nous pourrons donc supprimer, dans le polygone considéré, le côté A2 A3 ; nous lui substituerons un nouveau polvgone de n — I côtés A1B2A4... A„ dont le mouvement sera défini de la même manière que celui du polygone primitif; car tous ses sommets, moins un, décriront des coniques du faisceau. En continuant à supprimer des côtés, si cela est nécessaire, on finira par réduire le polygone à un triangle dont deux sommets décriront des coniques du faisceau tandis que ses côtés demeureront tangents à (K). Donc le troisième sommet A„ décrira, lui aussi, une conique du faisceau.

Il est clair que, si l'on se donne les coniques (iv), (Gj), (C2), . . ., (Grt i), il y a 2"~2 positions initiales distinctes du polygone et autant de trajectoires distinctes pour le sommet A„.

170. La démonstration donnée au n" 167 repose sur un Jemme d'analyse emprunté à la théorie des enveloppes. On peut éviter ce genre de considérations par l'emploi de la méthode suivante, qui exige d'ailleurs des calculs étendus :

Etant données deux coniques (^f) et ('^), représentées en coordonnées tangentielles par les équations

y = aç)U^-\- ciiV^-h a4(f*-4- T.aiVvi' -•(- zaiUw h- aaj «r = o, ç = p* — 4 "^ï^ == o,

cherchons l'équation ponctuelle du faisceau tangentiel

déterminé par ces deux coniques. Gette équation se présentera

27'2 LIVRE m. — CHAPITRE IH.

SOUS la forme d'un déterminant

cio

Us — i. m

Si l'on pose

H = (a2«4 — a\) x--\- (aotti. — «2)^^"+ («o«2 — «î )-s^

— 2(ao«3 — <*i'5t2)^^ -H- 2 (ai «3 — a^)xz — 2 (ai 04 — a2a3)ar>-,

K = a4:p2| ^^,jj/ï 4 <3r(,z2 — 4«,J'^ -f- 2a2 375 — 4«3^JK. L =4(a7Z-J'2)^

on aura

(lO)

Km -i- L m2

telle est l'équation ponctuelle des coniques du faisceau. Adoptons maintenant, en prenant pour base la conique (o), le système de coordonnées dont nous avons fait usage dans les Chapitres précédents, et posons

(il) x = i, -•2j = p + pi, ^ = p?i;

en sorte que l'équation d'une tangente à la conique (o) soit

(12) p^x ^ '2py -i- z = o.

Les fonctions H, K, L prendront la forme suivante :

-+- (ao«3— «laa) ppi(p -f- pi) -+- 2(aia3 — a2)P?i

-h (ai ai,— a^ as) (p -h p,), K = aop-pî-+-2aippi(p-f-pi)-i-2a2ppi-4-a2(p4-pi)24-2a3(p+p,)-f-ai,

L'équation (lo) de nos courbes du faisceau est du second degré en m; elle est aussi du second degré en p et en p,. Si on la résolvait par rapport à l'une do ces variables, on auiait cha(|ue fois un radical. JNous allons calculer successivement les trois radicaux.

Le premier est

v/K2— 4HL.

LE tiik:okk.\i^i-: (;i;m':kai- di: poxcKLirr. .>73

Si Tou pose

on trouvera

,,-,. K2/,HL=/(p)/(p,).

Ordonnons niaintenaut lV''(|rialion (lo) par ia|)port à p,,nous trouverons une équation

Fpï -i-Qpi-r- R = o,

R seront délerniinés par les ('•(piations

V —~ m- -t- («o p2 -4- xai p -f- «2)'" -^ («o''2 — «^ )?^

-^ {a(,a;^— aia,)p -!- -(«o";— «? )■,

Q = 2 p /«ï + 2 ( a , p- + 2 «2 p -r- «3 ) /« -H ( ao «3 — ai «o ) ?^

H ^ p -+- 2 ( «i «3 « :> ) p -i~ «1 «4 — Cl-ldz-,

-i- (ai«i «2<^3)p + «2 «4 — «iî*.

|n a ici (' )

en posant, conformément aux noialions du Livre I", Chapitre ill,

^ i = aorii — 4^i'''3"T- 3a§,

En raison de la symétrie, si Ion écrivait ré<|ualion (10) sous la

foruK;

»'ip--+-QiP-4-R, = o.

( ' ) Le calcul de Q-— 4P'> csl l'.islitlieiix. On peut le faire d'une manière 1res -ytnéti'ique en «jpérant comme il suit : Soit A le déterminant