III
lit
Si Ton désigne par a,,, a, . y. ,, x.^., les quatre éléments qui tigurent dans les deux premières lignes <i liiii'^ los-deuv premières colonnes et qui sont ici des
:i74 LIVRE III. — CHAPITRE III.
on aurait
(19) Q?-4PiRi-/(pi)[4'n'-"«-yJ-
Nous poserons
( 20 ) ^{ '« ) = 4 '«■' — iff^ - ./ •
D'après cela, si nous différenlions l'équalion (10), en y cousidéranl m, 0, 0, comme des variables, nous aurons
( •>.! ) {7.Lm -+- K) dm -h{-iPpi -+- Q) rfpi -+- (2P1 p -+- Q, ) <ip = o,
et, si l'on remarque que l'on a
•2P,p-+-Qi=±v//(p,)A(m),
zéros, la llicorie des déterminants nous foucniiM l'identité bien connue
On a ici
-^ia,{yz —zy'){zx' — xz') + (205— ', m) (a;y' — j'-z^' ) (>'.-'— ^j') + la.Xxy' — yx') {yz'—zy'), rr-A
da.^^dix^
= — l\m^-i- iin + j .
Dans les formules précédentes, attribuons à x, y, z; x\ y', z' les valeurs suivantes :
p -\- 0, X = 1, y = — , z = pp.,
X—l, v' = — ! '— , Z =pp\.
Nous aurons
=-Pp.p,-Q-^ R,
et l'identilc (a), après la suppression du facteur (pi— p',)" dans les deux membres, nous donnera précisément la formule (16) du texte, qu'il s'agissait de démontrer.
LE THÉORÈME GÉNÉRAL DK l'OXCELET. '275
l'équalion aux différenlielles (21) nous donnera
dm . do , da.
D'après cela, nous voyons que, si l'on se déplace sur une des deux coniques du faisceau qui passent par le point (p, p,), on aura
s//(?) v//(Pi)
Réciproquement, si 0 et Oi varient en satisfaisant à celte équation dilTérenlielle, on se déplacera sur une des courbes du faisceau. Car, m et m' étant les paramètres des deux courbes du faisceau qui passent au point (p, p,), on aura évidemment
dm rfp dpi
dm da ap 1
Ainsi, l'an des /taramèlres m, m' demeurera constant.
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant, qui nous donne, par des procédés élémentaires, l'intégration d'une équation (lifFérenlielle :
Si p et p, varient de manière à satisfaire constamment à l' une ou à Vautre des équations différentielles
i.iV) d9 --^ dp,
le point (p, p() décrit une des coniques du faisceau, et réciproquement.
171. Ce point étant établi, considérons un polygone de n côtés circonscrit à la conique de hase du faisceau langetitiel, et dont tous les sommets, moins un, décrivent d'autres coniques du faisceau. Nous allons montrer que le sommet libre du polvgone décrira aussi iiiic (!(> coniques du faisceau. En eflet, soient 0,, p^, p.), ..., ^n les paramètres des différents cotés; et supposons que les n — 1 sommets (p,, po), (pa, Pu), ..., (p//-i. p//) décrivent des coniques
276 LIVRK m. — CHAPITRE III.
du fiJisceau. D'apiès le llicorèine précédent, on aura
dpi , dp 2 dp,i^i | dp,,
l'ar l'élimination des inlermédiaires p^, ..., p„, , on obtiendra
la relation
àp\ __^ dpn .
, v/yxpT) ~ " v/7(p7)
qui montre que le sommet libre (p,,G„) décrira, lui aussi, une conique du faisceau. Ainsi, nous retrouvons le théorème établi au n" 169 :
Quand un polygone se meut en demeurant circonscrit à une conique (K) dételle manière que tous ses sommets^ moins un, décrivent des coniques (K,), ...,(K„,), toutes inscrites dans un quadrilatère circonscrit à (K), c'est-à-dire faisant partie avec (R) d' un faisceau tangenliel, le sommet laissé libre de ce polygone décrit aussi une coniqucdu faisceau.
En Iransformant par [)olaires réciproques, on obtient la proposition suivante :
Si un polygone se meut en demeurant inscrit dans une conique (C), de telle manière que tous ses côtés, moins un, enveloppent des coniques (C,), (C^), ..., (C„i) coupant toutes la conique (C ) aux mêmes points, c est-à-dire faisant partie avec (G) d'un faisceau ponctuel, le côté laissé libre de ce polygone enveloppera aussi une conique du faisceau.
17!2. Voici des exemples de ces deux tbéorèmes.
Si l'on considère des cônes du second degré ayant leur sommet au centre d'une sphère et tangents à quatre plans isotropes, ils constituent un faisceau tangentiel dont fait partie la sphère de rayon nul qui a son centre au centre de la sphère. Ces cônes coupent la sphère suivant des coniques tangentes à huit génératrices rectilignes de la sphère, c'est-à-dire des coniques liomofocales. Ils sont d'ailleurs coupés par un plan quelconque suivant les coniques d'un faisceau tangentiel. En appliquant donc le premier théorème et le projetant en quelque sorte sur la sphère, on obtient la propositi<jn suivante :
LE TllliORKME GÉNÉRAL DE l'ONCELET. ■>~-]
Quand an polygone splîérique dont les côtés sont des arcs de grand cercle se meut en demeurant circonscrit à une conique sphérique ( K.), de telle manière que tous ses sommets, moins un, décrivent des coniques homofocales à laconique (K), le sommet laissé libre du polygone décrira aussi une conique homofocale «(K).
II est clair que ce théorème s'applique immédialetncnt à la Géométrie plane. On peut, de même, indiquer le cas |)arlicnlief suivant du second théorème:
Si un polygone se meut, en demeurant inscrit dans un cercle (G), de telle manière que tous ses côtés, moins un, demeurent tangents à des cercles [0^), (Ga), ..., ( G^. , ) admettant avec (G) le même axe radical, le côté laissé libre de ce polygone enveloppera aussi un cercle admettant avec (G) le même axe radical que les précédents.
173. Avec ces théorèmes généraux, on a quelque dilhculté à retrouver le cas particulier si intéressant qui nous a servi de point de départ.
Gonsidérons, par exemple, un polygone A, A^ ... A„, circonscrit à une conique (K) et inscrit dans une autre conique (G), et cherchons à démontrer qu il existera une infinité de tels polvgones. Pour cela, nous rendrons jnobile le polygone et nous le remplacerons par un autre A', A'j . . . A^^, toujours assujetti à demeurer circonscrit à (K) et dont les sommets A.,, A.j, ..., A^, devront demeureisur (G). Alors, d'après noire théorème général, le sommet Aj devra décrire une conique faisant paitie du faisceau tangentiel Hp déterminé par (G) et par ( K j.
Gomme A, est la |josition initiale du point A'j, cette conique décrite par \\ devra être l'une des deux coniques du faisceau qui passent par A,. Elle |)ourra donc se confondre avec (G); mais il faut étahlir qu'elle ne peut être la seconde coni(|ue du faisceau qui passe par A, . A la démonstration déjà donnée au n" 162, on peut joindre la suivante.
Soit
<p(p, pi) = o
lérpiation doublement (juadratique et symétricpic de la courbe (G).
ayH LIVRK m. — CHAPITRE III.
Sio,, Go, ..., prt désignenl les paramèlres des côtés A', Al, A'^Aj,, ..., A,'^ A', du polygone mobile, on aura les relations
(ai) Cpi^'^CpijPa) =0, 0., = '~!>(pi, p3) = 0, ..., 9/1-1 — '?(o„-i, p„) = o
auxquelles il faut joindre, pour la position initiale, la suivante :
(27) œ„= ç(p/i, Pi) = o-
Remarquons de plus que, pt i et o/^, étant les deux racines de l'équation
que l'on peut écrire
o,i et 0/^1 donneront deux signes diflerents à la dérivée
On aura donc nécessairement
pour / = 2, 3, ..., /i — I . Et l'on devra joindre à ces équations les suivantes :
dp„| dpi âp,i (ip-2
qui sont vérifiées seulement pour la position initiale du polygone.
D'après cela, difTérenlions les équations (24) qui définissent le mouvement du polygone variable. Nous aurons
t^pi ^ op^ '
-i-dp^==~ -^dp3, -i- dp,t-i = \ dp„.
dpi ^^ <^P3 àpn^i dpn
Si nous multiplions ces équations membre à membre, nous aurons, en tenant compte des équations {29),
-i rfp, = -^ dp,,.
opn-l wp2
Appliquons cette équation générale à la position initiale du
LE THÉORÈMK GÉNÉRAL DK PONCELET. '279
polvgone; nous pourrons faire usage des deux équations (3o), et il viendra
-i— dp 1 + -i- (lp„ — o, àpi àpn
c'est-à-dire
do,i = o.
Ainsi, la trajectoire du sotnniet libre A.\ du [)oljgone devra être tangente en A, à la courbe (G); et, comme cette trajectoire doit être une des deux courbes, à tangentes distinctes, qui passent en A, et font partie du faisceau tangentici, elle se confondra avec la courbe (C).
174. Nous terminerons cette élude élémentaire des théorèmes de Poncelet en faisant connaître la forme très élégante que Chasles a su leur donner {Comptes rendus de V Académie des Sciences^ t. 17, p. 838). Mais auparavant, nous démontrer-ons un leinme, qui est d'ailleurs intéressant en lui-même.
Désignons sous le nom de réseau l'ensemble des coniques qui sont définies par une équation de la forme
où S, T, U sont trois poljnomes déterminés et A, tji, v des paramètres arbitraires. Si les coordonnées employées sont ponctuelles, le réseau sera dit ponctuel. Il sera tangentiel s\ l'on emploie les coordonnées tangentielles.
Si l'on considère A, [Ji, v comme les coordonnées homogènes (11111 point du plan, à tout point du plan correspondra une conique du réseau; à toute droite du plan correspondra un faisceau de coniques compris dans le réseau et qui sera déterminé par deux d'entre elles comme une droite est déterminée par deux points. Il suit de là que deux faisceaux compris dans le réseau auront toujours en commun une conique du réseau; celte conique correspondra au point d'intersection des deux droites qui définissent les deux faisceaux. La propriété que nous venons de rap[)eler, quoique très simple, est fondamentale dar)s l'élude des réseaux.
Considérons, par exemple, le réseau langentiel défini de la manière suivante : il comprendra la conique formée des deux
28o LIVUK III. — CHAPITRE III.
|)oiiils circulaires l cL .1, une conique composée de deux points distincts l\ F' et enfin une conique composée de deux points confondus en un point quelconque V. Ptu^mi les faisceaux contenus dans ce réseau, nous pouvons signaler celui qui comprend les deux coniques (IJ) et (FF'), c'est-à-dire qui est formé de toutes les coniques ayant F, F' pour foyers et aussi celui qui comprend les deux coniques (VA) et (1.1) et qui est formé de tous les cercles de centre A.
Soit (G) une quelconque des coniques liomofocales. Si de A on lui mène des lanj^entes, dont les points de contact seront H, H'. toutes les coniques tangentes à (C) en ces deux points forineioni un faisceau compris dans le réseau. En sorte que la coiwi^yxe J or méc des deux points H, W fera partie du réseau.
11 est facile de montrer que la construction précédente donne tous les couples de points (H, H') qui font partie du réseau, (aw. soit (H, H') un tel cotqile. Toutes les coniques passant en H. Il' cl tanoentes en ces points à AU, AH' formeront un faisceau qui fera partie du réseau itl comprendra., par conséquent, une des coniques liomofocales.
D'après cela, considérons le faisceau formé avec les deux coniques suivantes du réseau : une des coniques liomofocales (C) et l'un qnelcon(pie des cercles qui ont pour centre le point V. Ce faisceau comprend, comme on sait, trois cou|)les de points H, H' qui sont les sommets opposés du quadrilatère circonscrit à (G) et au cercle. En se rappelant la propriété des points H, H', on oljtient donc ce beau théorème de Graves et de Cliasles :
Etant donnés une conique quelconque [(^) et un cercle (V) de centre A, deux sommets opposés quelconques du quadrilalnc circonscrit à ((^) et à (F) sont sur une même conique homofocale à (C^), et les tangentes à la conique en ces deux points vont concourir au centre du cercle, en A.
Si le cercle (F) est tangent à la conique en un point b, (;ette tangente commune doit être -comptée pour deux ; il J a deux aiilie> tangentes communes au cercle et à la conique qui se coupent en un point B' et viennent couper en H, H' la tangenle commune. Les irois couples de points faisant partie du faisceau tangentiel sont le couple (BB) et le couple (HH'), qui devra compter
IB
pour deux. Donc, il y aura une conique lioinofocale à (C), qui passera par les points H, H' et y admettra les tangentes AH, AH'. Telle est la proposition dont nous aurons à faiic usage.
175. Cela posé, proposons-nous de trouver les polygones d'un nombre de côtés déterminé et de périmètre maximum inscrits dans «ne ellipse. Nous nous appuierons sur la remarque suivante.
Si A, B, C sont trois sommets consécutifs d'un polygone de périmètre maximum 'inscrit dans une courbe quelconque (K), il faut que le point B soit choisi sur l'arc de la courbe AC de telle manière que AB -f- BG soit un maximum el, pour cela, il faut que l'ellii^se de foyers A, C, qui passe par B, comprenne dans son intérieur l'arc AC, c'est-à-dire quelle soit tangente en B à la courbe. Cette conclusion, qu'il serait aisé d'obtenir par d'autres voies, nous montre que le polygone cherché doit satisfaire à la condition suivante : En chacun de ses sommets^ la tangente à la courbe doit faire des angles égaux avec les deux côtés qui y aboutissent; elle doit être la bissectrice de l'angle formé par un de ces côtés et par le prolongement de Vautre.
Appliquons cette condition à une ellipse (E)- Si A, est un des sommets du polygone cherché, les côtés A/A/(, A/A/^, doivent faire des angles égaux avec la tangente en (A/) à (E) ; et, par conséquent, ils doivent être tangents à une même conique (l'V) homofocale à (E), conique qui, d'après la disposition de la figure, ser.i nécess.iirement une ellipse (').
Comme il y a une seule conique homofocale tangente à une droite, on reconnaît immédiatement que l'ellipse (E') tangente à
(') Il faudrait ajouter : si le polygone esl convexe, on si. du moins, un (!<• ses cùLés ne passe pas entre les foyers de l'ellipse (E). Il peut exister, en ed'cl. des polygones inscrits dans (E) et circonscrits à une hyperbole homofocale (II). Ces polygones, dont tous les côtés passent entre les foyers de l'ellipse et qui, par suite, ne peuvent ôtrc convcM;-. donnent lieu à des propriétés de maximum ou de minimum, analogues à celles (jue nous avons étudiées. Si nous les laissons de côté, nous devons du moins signaler ufi excmi)lo dans lequel ou les obtient.
Soit
l'équation de l'ellipse ( li). Considérons l'hyperbole homofocale ( Il ) déliiiie par
■J.S'?. LIVRE tll. — CHAPITRE HI.
deux côtés conséculifs sera langenle aux deux côtés adjacents et, de proche en proche, à tous les autres. Ainsi, nous obtenons ce beau théorème de Chasies :
Les polygones de périmètre maximum et d' un nombre de côtés donné inscrits dans une ellipse (E) devront être circonscrits à une ellipse (E'), homofocale à (E).
D'après cela, si nous voulons inscrire le polygone de n côté?, on pourra procéder de la manière suivante.
Prenons l'ellipse (E'), suffisamment voisine de (E), et inscrivons dans (E) une ligne brisée AjAo ... A„A„^, circonscrite à (E').EIle ne se fermera pas tout d'abord. Mais, si l'ellipse (E') diminue, le point A„^.i s'avancera sur (E), et il arrivera nécessairement un moment où il rejoindra A,. Alors la ligne brisée se transformera en un polygone convexe satisfaisant à toutes Iss cor)ditions géométriques que nous avons énoncées. Si l'ellipse (E') continue à diminuer, le point A,j^,, avançant toujours sur (E), \iendra coïncider une seconde fois avec A, de manière à donner un |)olygone qui ne se fermera qu'après deux tours, et ainsi de suite. On aura donc, comme dans le cercle, à envisager à la fois des polygones convexes et des polygones étoiles.
176. D'après les théorèmes de Poncelet, nous savons que, dès que l'on aura obtenu un de ces polygones, il y en aura une infinité. Comme ils satisfont tous à la condition du maximum, il est à prévoir (|u"ils auront tous le même périmètre. C'est une propriété dont on
l"é([iiation (H) Si a' a pour valeur
= — yj-ic^ — a-,
M existera une infinité de quadrilatères circonscrits à (H) et inscrits dans (E). L'un d'eux sera formé par les deux asymptotes de l'hyperbole et par ses tangentes aux sommets.
Cette solution exige, comme on le voit, que l'ellipse (E) soit telle que l'on ait
m: TIIEOKKME GK.NKRAL DK POXCKLET.
peut lallacher la dénionslration à une proposition élégante de Chasles.
Considérons deux ellipses hoiuofocales (E), (E'), et supposons • (|ue,d'un point quelconque M de l'ellipse extérieure (E),on mène les deux tangentes MP, iMQ à l'ellipse intérieure (E'). Nous allons dc'inontrer que, lorsque le point M se déplacera sur ( E), /a
dij/'ére/ice entre la somme des tangentes MP, MQ et Varc PQ de l'ellipse (E')
D = MP + MQ — arcPQ
demeurera constante.
Pour établir cette proposition, nous emploierons la formule connue
,; AB = — AA' cos A AB - BB' cos BTIÂ,
relative à la difï'érenlielle d'un segment de droite AB qui, de sa position ^)rimitive A.B, passe à la position infiniment voisine A' B'. Si nous l'appliquons successivement aux deux segments MP, MQ en supposant que le point M vienne dans la |)osition voisine M', nous aurons
dWC=^— MM' nos M'MP-H PF,
<^MQ=— MM^cosM'MQ — 00^.
Si Ion ajoute ces deux relations, en remarquant que, d'après la l'iDpriété (le la tangente en M, les deux angles M'MP et M'MQ sont supplémentaires, il vient
rf(MPH-MQ)= pF-QQ^ = (^arcPQ.
La difTérence
D = MP4-MQ — arcPQ
est donc conslaiile, comme il fallait le démontrer.
Supposons maintenant que les ellipses (E), (E') soient telles qu'il y ait un polygone et, par conséquent, une infinité de polygones inscrits dans (E) et circonscrits à (E'). En calculant la différence précédente pour les sommets de chacun de ces polygones et ajoutant toutes les équations ainsi obtenues, on sera conduit à
l'égalité
nD= P — Ap',
V étant le périmètre du polygone, k le nombre de tours qu'il fait avant de se fermer et/?' le périmètre de l'ellipse (E'). V sera donc le même pour tous les polygones considérés.
177. Une autre propriété importante de ces polygones est la suivante :
S^ils sont de périiuèire maximum parmi ceux c/ui sont inscrits dans (E). ils sont de périmètre minimum parmi tous ceux qui sont circonscrits à (K').
Pour le démontrer, nous allons cbercher la condition à laquelle doit satisfaire un polygone circonscrit à une courbe (F) pour avoii" son périmètre minimum. A cet effet, nous maintiendrons invariables tous les côtés du polygone circonscrit, moins un, et nous cliercberons la condition à laquelle doit satisfaire le (;ôté variable pour former, avec tous les autres côtés laissés fîxes^ un polygone de périmètre minimum. Cette condition devra être remplie par tous les côtés du polygone cherché.
Or, so\eï\ii fig. '21) AB, AC les deux côtés du polygone circonscrit qui comprennent le côté variable. D'après les propriétés des ma\Ima et des minima,il y aura deux tangentes à (F), DE et D' E' inlinimenl voisines de la position de la tangente (pii donne le minimum cherché et pour 'lesquelles les portions variables du périmètre BDEC, BD'E'Ci seront rigoureusement égales. Donc, d'après une proposition bien connue de géométrie élémentaire, le cercle inscrit au triangle ADh^ le sera aussi au triangle AD'E'. En supposant que les ileux côtés DE, D' E' se rapprochent indéli-
niment de celui qui convient au minimuin, on est conduit à la conclusion suivante :
Chaque côté du polygone circonscrit touche la courbe (Y) au même point où. il est touché par le cercle inscrit au triangle formé par ce côté et les côtés adjacents.
On arriverait à la même conclusion si, considérant dans la figure précédente DE comme le côté du polygone cherché, on admettait
V\ii,. 23.
<]u il est louché par le cercle inscrit au triangle ADE en y\n point II diderent de celui, R, où il louche la courbe (F). Car alors, on pourrait mener à (T^ une infinité de tangentes qui ne rencontreraient pas le cercle inscrit, et toutes ces langenles donneraient des polygones de périmètres inférieurs à celui du polygone proposé. Appliquons à l'ellipse (E) la condition générale que nous venons de trouver. Puisque {fig. ;^3), CD, DD', D'C étant trois côtés consécutifs, le cercle inscrit au triangle ADD' louche DD' au même point 11 que relli[)se (E'), il existe, d'après le lemme établi au 11" 17i. une conicpie (E) homofocale à (E'), |)assaiit par Ir-. points D, D' el y aduietlanl pour laiigentes les bissectrices exlé-
