CHAPITRE I

Différence essentielle entre la Géométrie plane et la Géométrie sphérique; dans celle-ci, les notions d'angle et de distance sont en étroite corrélatinn; il n'en est plus de même pour celle-là. Ce que devient la Géométrie spliérique quand on projclle la sphère sur un plan en plaçant le point de vue an centre. — On est ainsi conduit à une Géométrie plane dans laquelle toute mesure dérive du rappoit anliarmonique. — Géomélrii- sur nie droite. — Géoinélrie dans le plan et dans l'espace. — Toutes les défiiiiiions métriques se rattachent, dans l'espace, à une quadrique fixe qu'on appelle Vabsolu. — Distance de deux poiiiis. — Angle de deux plans ou de deux droites, — On n'étudiera dans la suite que les cas où Vabsolu est une surface imaginaire ou bien une surface réelle c<mvexe. — La Géoméirie Caylcyerrne comprend comme ras limite la Géométrie Errclidiennc; il sirffit de supposer que l'absolu se réduit au cercle imaginaire de l'infini. — Discussion de la formrrie qui donne la distance de deux points. — Propositions relatives à deux droites qui ne se coupent pas; elles ont, en général, deux perpendiculaires communes; propriétés de maximum et de minimum relatives à ces perpendiculaires communes. — Distance d'un point à une droite. — Formules relatives aux courbes et aux surfaces.

179. Dans les Cliapioes précérlcnls, où nous avons étudié des questions de Géoinélrie spliirique et de Géoméirie p'ane, nous avons pu conslaler des dillV'renccs e-senlielles entre le> deux. Géomélries. Tandis (|ue, d;ins la premièie, les notions d'iingle et de dislance sont en corrélation éttoiie et peuveni être lal lâchées de la mènïe manière à celle du r;ip| oïl anliai monique, il semble que, dans la Géoniérie plane, ces mêmes notions d'angle et de dislanrte soient nettement .sépar» es ei ne pui>seni éire r; menét s à une commune origine. Notre luit est tléludier maiiilcnant une D. ,cj

2g« LIVIIE IV. — CHAPITRE I.

Géométrie due au grand géomètre anglais Cayley^ et dans laquelle toutes les notions métriques sont obtenues par un procédé uniforme. Voici comment on y est conduit.

Imaginons que, du centre O d'une sphère, on projette ses différents points sur un plan (P). Les grands cercles de la sphère se projetteront suivant les lignes droites du plan (P); le cône isotrope qui a le point O pour sommet et pour base le cercle de l'infini coupera le plan (P) suivant un cercle imaginaire (G). L'arc de cercle qui réunit deux [)oinls M, M' de la sphère est, nous l'avons vu, égal à

arc MM' = — .log,ill(OM', OM, 01, OJ),

I et J étant les points oii le grand cercle MM' vient couper le cercle de l'infini. Les deux points M, M' se projettent suivant deux points m, m! du plan (P) et les deux points I et J se projettent suivant les points «', y où la droite mm' rencontre le cercle imaginaire (G). On aura donc

arcMM'= — logc')l(»i', m, «,/).

De même, sur la sphère, l'angle V de deux arcs de courbe qui se croisent en M et y admettent les tangentes M^, M^' est égal à

V = — .log<^(M^', M^, a, P),

a et 1^ étant les génératrices rectilignes du premier et du second système qui se croisent en M. En projection, le point M vient en m, les génératrices a et \j se projettent suivant les tangentes a' , [3' menées de m au cercle (G), les tangentes M^', M^ suivant les tangentes m^'j, mti aux courbes planes qui sont les projections des courbes sphériques ; et l'on a

V= — . logia.(mi'i, mti, a', [3').

On voit donc que, si l'on constitue une géométrie des relations métriques dans le plan en introduisant un cercle imaginaire (G) que l'on appellera V absolu, en prenant, pour la distance de deux points, le quotient par 21 du rapport anharmonique formé par les

deux points et ceux où la droite qui les joint va rencontrer le cercle (G) et, pour l'angle de deux courbes, le quotient par 'li du rapport anliarmonique des tangentes à ces deux courbes en leur point commun et des deux tangentes que l'on peut mener de ce point au cercle (G), on aura, dans le plan, une Géométrie qui seraTéquivalent de la Géométrie sphérlque et, surtout, qui pourra comprendre comme cas limite notre Géométrie plane ordinaire, puisqu'on sait que la Géométrie de la splière se réduit à celle du plan, quand le rayon de la sphère grandit indéfiniment.

Ces di'finitions nouvelles^ qui reposent uniquement sur l'emploi du ra|)port anliarmonique, subsistent, par cela même, quand on effectue une transformation homographiqiie cpielconque, en sorte que l'on peut substituer au cercle (C) une conique quelconque.

180. Les remarques précédentes, sur lesquelles nous aurons à revenir, feront comprendre comment Gayley a été conduit à sa nouvelle Géométrie. Commençons par examiner le cas le plus simple.

Soient, sur une droite quelconque, deux points fixes A et B et des points variables M, M', . . . qui corres[)ondent respectivement aux diverses valeurs d'un paramètre variable m. Le rapport anliarmonique des quatre points M, M', A, B aura pour expression, comme on sait,

ni — b

m, /«', a cl b étant les valeurs du paramètre qui correspondent respectivement aux points M, M', A et B. Si l'on pose

le rapport précédent peut s'écrire

Jl(M,M'.A.B;= ^^,

et de là résulte l'identité

(■?.) Sl(M,M',X,ïi) >il(M',M",A,H) c'Jl( M", M, A, B) = i.

Si, au lieu de prendre le rapport anharmonique, on pose

(3) 8(MM')=^Logc'Jl(M',M, Â, B),

G désignant une constante quelconque, l'identité précédente deviendra

(4) o(MM') + 8(M'M")-h8(M"M) = o.

On reconnaît la relation caractéristique entre les abscisses de trois poinis en ligne droile. Il est donc naturel d'appeler distance de M et de M' la fonction 8 déteiminée par l'équaiion (3).

Cette distance sera donc délinie par cette foimule, dès que l'on aura fixé les poinis qui servent «le base ou â^obsolii, A el B.

D'après les propriétés du logarithme, elle n'est déterminée qu'à

un midlipîe près de -^- Elle change de signe, sans changer de

valeur, quand on échange M et M', ou encore A et B.

Si les deux poinis A et B sont réels, il peut se présenter deux cas : ou bien les deux segments AB et MM' empiètent l'un suil'autre, auquel cas le rapport anharmonique est négatif, et, quelle que soit la valeur donnée à la constante C, 8(MM') est imaginaire; ou bien les deux segments MM', AB n'empiètent pas l'un sur l'autre, et alors la constante (] peut prendre une valeur réelle quelconque. 11 n'y a donc de géométrie intéressante dans ce cas que si l'on considère uniquement des points entre A et B, ou uniquement des points hors du segment AB.

Supposons maintenant que les deux points A et B soient imaginaires conjugués, M, M' étant réels. Si l'on change i en — i, le point A est remplacé parle point B et, réciproquement, B est remplacé par A. Le rapport anhaimonique est remplacé par son inverse. Cela ne peut a\oir lieu que si son module est égal à j. Le logarithme sera alors une (juiintilé purement imaginaire el, pour que 8(MM') soit réelle, il sera nécessaire et suffisant que C

soit une imaginaire pure de la forme Ki. On prendra C = -j^ » pour donner à S(M, M') la période tîR, et l'on aura alors

(5) e^' =<!fl(M', M, A, B).

ORIGINES DR I.A GEOMETRIK C.VVLKYENNE.

Les déCniitioiis précédeHtes s'appliquent immédiatement aux plans qui passent par une droite fixe et aux droites d'un plan qui passent pir un point fixe. Dans le premier cas, Vabsolu sera donné par deux plans fixes conlenant In droite et, dans le second, par deux droites fixes contenant le point. On aura, dans l'un et l'autre

cas, (6)

angle (au') ^ -^ logAd^', u, a, p),

a, |3 étant les paramètres fixes qui déterminent la base, et [jt., jjl' ceux qui déterminent les plans ou les droites.

181. Toutes ces définitions étant admises, on peut en faire dériver un système entier de Géométrie métrique en introduisant nue coni(|ue dans le plan, une quadrique dans l'espace. Nous nous bornerons à l'espace, qui comprend le plan comme cas particulier.

Etant donnée une quadrique quelconque que nous appellerons Vabsolu^ nous prendrons, |)our mesurer la distance de deux points quelconques M, M', la base formée |)ar les deux points A et B où la droite MM' rencontre Vabsolu. Nous aurons donc

'^'' MIM'= -iLog^CM, .M, A, B).

Pour déterminer l'angle d(î^deux plans ]x, ij.', nous prendrons la base formée par les deux plans a, [i qui passent par leur intersection et sont taniienls à Vabsolu. JNous aurons donc

l'Lnfin, pour déteiininer l'angle de deux droites qui se coupent, d,d', nous prendrons la base formée par les deux tangentes à Vabsolu a., />, qui sont dans le [)lan de ces droites et passent par leur intersection. Nous aurons donc

dd' = — Lo g t'fl ((■/', d, a. b).

Nous prendrons toujours C'=C', et nous verrons comment on peut disposer de G et (b; (7. Mais, dès à [)résent, nous remarquerons que ces définitions sont, en quelque manière, indépendantes

de toute transformation homographique, ou de toute transformation par polaires réciproques.

Cela est tout à fait évident pour la transformation homographique, qui conserve les rapports ariharmoniques. En particulier, et cette remarque est importante pour la suite, toute transformation ho mo graphique qui conservera V absolu ne changera rien aux définitions précédentes. Voyons ce qui arrivera quand on transformera par polaires réciproques.

Dans ce cas, les points M, M' seront remplacés par des plans iji, !jl'; les points A et B de l'absolu seront remplacés par les deux plans tangents au nouvel absolu qui passent par l'intersection des plans |Ji, tjt.'. La formule qui donne les dislances sera remplacée par celle qui donne les angles, et réciproquement . Il n'y aura qu'une modification à faire : échanger les constantes C et C.

Quant à la formule qui donne l'angle des deux droites, il \\'^ aura rien à y changer; les deux droites <:/, d' seront remplacées par leurs polaires réciproques, et les deux droites a, ^ par deux autres droites de même construction. La constante C devra être conservée.

182. Ces remarques préliminaires et essentielles étant faites, voyons comment on évaluera les'éléments que nous venons de définir. Soit

(7) /(^.JS-s, 0 = "

l'équation ponctuelle homogène de V absolu. Si a:, y, -s, /; a?', j ', z', t! sont les coordonnées homogènes de deux points M, M', nous avons vu comment on obtient les points d'intersection de la droite MM' et de la quadrique;