X -+- dx, y -h df, z -+- dz, t -^ dt
OIUGINES DK LA CÉOMÉTRIK CAYLEYENNE. 3l3
pour les coordonnées des poiiiLs B, (1; el la formule (19) nous donnera, V dé.>ignant l'angle des deux courbes,
fiT,x) f'dr^r>r) — f(x, fix) f(x, or)
( io) COS V = ;•
v[/(^,-'y)/(«^^, <-l^-)-pK''-, '^--^^J l/(^.^-)y^S^-, ox)—J-^{x, ^x)\ La condition de perpendicularité des deux tangentes sera donc
(/il) /(^'f •'^) f{d^, ^oc) — f(x,dx)f(x, 8.t) = o.
199. C'est ici le lieu de rappeler une notion introduite par Beltrami. Considérons une forme quadratique ds"^ définie par la formule
</s« = SS aiu dxi dxj^ (i, k = i, ■>., ...,/«),
où les coefficients Oi/^ sont des fonctions quelconques de rr,, X21 . . ., x,i satisfaisant à la condition
(43) ciik=aki\
en sorte que d&- peut s'écrire
(44; ds''-= ax\dx\~- . . .-'r'xa'^idxxdx^-^ . . . .
Si l'on fait un changement de variables quelconque, en substituant aux Xi des fonctions yi de ces variables, on aura
( 4 ) ) ds"- =11 a tu dxi dxk = ^ ^ bu, dyi dy,, ;
et, en considérant deux systèmes de différentielles, on verra aisément que Ton a
(4r) ) ilï aihdxi ox/, = y:^ hik dyi oy/,.
Il suffit de remplacer dans l'équation précédente dXf par dxi-+-'/.0Xi, ce qui conduira à remplacer dyijmr </k/+ a8j^/, et d'égaler les coefficients de X dans les deux membres. De là il suit que l'angle 8 défini par Véquation
Y.-Lan.dxi^jx,, i \- cosU
/SS «//,. dxi dx/c v/SX a,/.- oxi oa™/.-
est un invariant. JSoiis V appellerons V angle des deux directions définies par les caractéristiques d et 8, relativement à la
3l4 LIVRE IV. — CHAPITRE 1.
forme quadratique déterminée par la formule (44)- Quand cette forme est définie^ c'est-à-dire lorsqu'elle peut se ramener à une somme de carrés tous de même signe, h est essentiellement réel .
On voit que l'angle ne change pas lorsque tous les coefji cients de la forme quadratique sont multipliés ou divisés par une même fonction^ d\iilleurs quelconque^ des variables.
Si nous appliquons ici celte notion, nous pourrons dire que l'angle Y de deux directions, défini par la formule (4o)? n'est autre que l'angle de ces deux directions, évalué par rapport à la forme quadratique (i3) qui donne l'élément linéaire de l'espace Cavleyen.
200. Les méthodes précédentes peuvent être étendues et appliquées aux questions concernant deux surfaces. Nous avons vu
que, si
cp (a, (', iv, p) = o
est l'équation tangentiellc homogène de \ absolu^ l'angle de deux plans est déterminé par la formule (i8). S'il s'agit de deux surfaces représentées par les écpiations homogènes
(48) F{x, y,z.t) = o, Fi{iv,y,z,t) = o,
leurs plans tangents auront pour équations
et il suffira d'appliquer la formule (i8^ à ces deux plans pour avoir l'angle des deux surfaces en un de leurs points communs. Soit
( i9) /(^) J'î -2) ^) = A 372 H- A.'j'2 j \"2î;.. •>B^s -f- •;; IV az -+- ■i.W'xy
-+- i Ga-/ -f- 9.C' yt -!- 2 C"zt -+- Dt-= o
l'équation ponctuelle de V absolu. Pour avoir son équation tangentiellc, on écrira les équations
A.T -r- \y'y-\-B'z-\-Ct = u^ H" x-\- k' y -^\iz -i-C'^ = f, ^ ' B'a7-+- Bj -4- A"^ + C"/= tr,
Cx -h C'y -+- C/z -t- D/ — p,
qui délerminent le pôle du plan («, v, n ., />), et l'on exprimera que ce pôle est dans le plan, ce qui donnera la nouvelle relation
ux -}- vy -4- wz -h pt = o.
L'élimination de x, y, 5, t entre ces relations fournira l'équa-
tion tangentielle demandée. Posons
on aura, pour le premier membre de l'équation tangentielle.
(5!) /P{u,v,ir.p) = — Yi
i [ àl{ ,
On verra alors très aisément que, si Ton introduit les notations suivantes :
dz
dx
ày
ôz
ôt
A» = A(tp, cp),
<p et cp, étant des fonctions liomogènes de x. y^ z^ t, l'angle \ de deux surfaces en un point sera donné par la formule
cosV = : j=
^ = o, (p,= o élant les équations des deux surfaces.
Au reste, on peut donner une représentation géométrique
3l6 LIVRE IV. — CHAPITRE I.
de Aco, A(co, cî,). Puisque les coordonnées sont homogènes, admettons qu'on ait choisi le facteur de proportionnalité de telle manière que l'on ait
Alors, les formules que nous avons données pour l'élément linéaire et pour l'angle de deux courbes se simplifieront beaucoup. Les expressions que nous avons désignées pary(:r, dx), f{^i ^^) seront nulles, et l'on aura,
(58) ds^=f(dx,dcc).
Quant à l'angle V de deux courbes, il sera donné par la formule très simple
(59) ds os cosY =f(da:, 5.t).
D'après cela, voici comment on déterminera la normale à une surface définie par l'équalion
Pour tout déplacement s'effectuant à partir du point (x, y-, z, t) sur la surface, on a
ri Sa- •+■ — !- 8 >' -f- -^ 0 Z 4- -^ 8 « = O.
dx dy -^ dz ât
Donc, d'après la condition d'orthogonalité exprimée par l'équation
/(dx, ^x) = o,
le déplacement pour lequel on aura
I \ dx-i- Wdy -^B'dz + Gdt = X ^,
l -^ dx
1 B" dx -+- X' dv -h B dz -^ C'dt =}. -^f
i B' dx + B dy -{- k!dz -\- G'dt = X -^, I -^ az
\ C dx-i- C'dy + C/dz 4- D rf< = X ^ ,
sera perpendiculaire à tous les déplacements qui peuvent se produire sur la surface. Il aura donc lieu nécessairement suivant la
normale à la sniface. Ainsi, les équations précédentes définissent la direction de la normale.
Adjoignons-leur l'identité
/.. N do , d<o , âo , ào , ,
(62) V- «-^ -r- -T^ ay -+• -r^ az -\ — -^ dt ^^ d^,
dx dy -^ dz dt '
qui fait connaître la variation de o quand on se déplace suivant celte normale.
L'élimination de dx^ dy, dz^ dt entre les équations (6i), (62)
nous donnera
</cp = X Acp.
D'autre part, si nous ajoutons les équations (61), après les avoir multipliées respectivement par dx, dy^ dz^ dt^ il vient
ds'^z:^ l d<f.
Et, en joignant cette relation à la précédente, nous avons
Ainsi, v Acp représente la dérivée de o quand on se déplace suivant la normale.
Si, an lieu d'adjoindre au système (61) l'équation (62), on avait employé la suivante :
— i- dx -\ ri— dy H '— dz -\ ^ dt = do^ ,
dx dy - Oz dt ^ '
on aurait été conduit à la relation
(64) rfo,^AOp^)^
la variation de o^ se rapportant encore à un déplacement suivant la normale à la surface définie |)ar Téqualion (60).
