CHAPITRE II
LES DÉPLACEMENTS CAYLEYENS.
Quelques mots sur les diverses Géométries que l'on pourrait imaginer et sur une propriété caractéristique de la Géométrie Cayleyenne. - Transformation d'une lorme quadratique homogène en elle-n.ème par des substitutions linéaires - Cas particulier des formes à quatre variables. - Quelques propriétés 'des génératrices rect.lignes d'une quadrique, intervention du Ilessien, distinctions en deux systèmes. - Toutes les transformations continues d'une quadrique en elle-même s'obtiennent en soumettant à deux homographies distinctes les paramètres des deux systèmes de génératrices. - Application aux déplacements Cayleyens. - Etude préliminaire du cas où les génératrices de lun des systèmes ne sont pas déplacées par la transformation. - Théorie géométrique des déplacements correspondants que l'on appelle Riemanniens parce qu ils ne sont réels que si Yabsolu est imaginaire. La théorie analytique de ces déplacements se rattache à l'identité célèbre de LagranL d après laquelle le produit de deux sommes de quatre carrés est une somme de quatre carrés. Emploi des quaternions. - Retour à la théorie générale. On obtient, en dehors des déplacements précédents, trois espèces distinctes nouvelles • es retournements, les rotations et les déplacements hélicoïdaux ; ces derniers sont les plus généraux. - Définitions et propriétés de ces déplacements; analogies avec la Géométrie ordinaire. - Tout déplacement résulte, d'une infinité de manières, de la composition de deux retournements. - Surface lieu des points a egae distance dune même droite. - Déplacement continu. Courbes analogues a 1 hélice, au cercle.
201. Au n" 186, nous avons déjà remarqué que l'on obtiendrait un grand nombre de géométries nouvelles en conservant la notion de base, mais en choisissant des bases toutes difl'érentes de celles que nous a données l'emploi d'une quadrique comme absolu. Ce point de v.,e peut élre beaucon|, élargi. Par exemple, on peut définir les distances en introduisant une surface quelconque (S). Si l'on désigne par A, A', A", ... les points d'intersectiot. de cette surface avec la droite qui joint deux poinis quelconques M, M', la formule
MM'=. cp(M', A, A', A", . . .) - ^(M, A, A', A", . . .),
où <p désigne une fonction quelconque des coordonnées des points qui j figurent, donnera une expression de la dislance dans laquelle
LES DÉPLACEMENTS CAYLEYENS. SlQ
les propriétés addilives des abscisses et des segments portés sur une même droite seront conservées. On pourra, de même, définir l'angle de deux plans pi, ^' ou de deux droites qui se coupent d, d' par des formules telles que les suivantes :
fi[A'= Uf([x', a, a', a", . . .) — ^^([ji, a, a', a", . . .),
dd' = y (d', a, a, a", . . .) — ^^(d, a, a ^ a" , . . .),
où a, a , a" désignent les pians tangents à une surface quelconque (T) menés par l'intersection de pi et de pi.'; et de même a, a', a", ... les tangentes menées à une troisième surface (U) dans le plan des droites d, d' et par leur point commun, et où les fonctions W et -j^ auront été choisies d'une manière arbitraire. On pourrait même obtenir un grand nombre de géoinétries de ce genre qui comprendraient comme cas-limite la Géométrie ordinaire. Considérons, par exemple, n qnadriques (S,), (S2), •••, (S«) et définissons chacun des éléments, angles ou distances, comme la somme des éléments homologues calculés successivement avec les diverses qnadriques. Si l'on suppose que la première de ces quadriques se réduise au cercle imaginaire de l'infini, dans les conditions énumérées au n° 185, et que les constantes G, G', G" relatives aux antres quadriques, qui figurent dans les formidfîs (a), (6), (c) du n° 180, deviennent tontes infinies, on retombera sur la Géométrie Euclidienne.
Ainsi, la Géométrie Gaylejenne est bien loin d'êtie la seule qui puisse se rapproiher indéfiniment de la Géométrie ordinaire, mais, comme l'a démoniré Sophits Lie, elle est lu seule c|ui |)ariage avec la Géométrie Euclidienne une autre propriété ftmdamenlale.
Gelle-ci utilise à cha(|ue instant, pour ses démonstrations, les déplacements des figures dans le plan et dans l'espace, c'est-à-dire des translormitions homographi(|ues dans les(|uelles les angles et les distances sont conservés. Il existe aussi de telles transformations dans la Géométrie Gavlejenne et, comme les di'placements dans la Géomélrie ordinaire, elles (lé(>ei)denide six paramètres. Norrs allons maintenant les éiirdier.
202. Pour qu'une trinsfoiination homograplii(|ue conserve les distances, il ftut ei il suffit évidemment qu'elle conserve Vabsola, c'est-à-dire (|u'ell(; tranfornie celte quadiicpre en elle-même. La
^^° LIVRE IV. — cmpiTflK II.
transformalion homographique devra donc remplacer l'éqt.alion de [absolu par „ne équation proporlionnelle. On peut mê>ne de.nan.ler que la nouvelle équ.aion soit i.lenti(|ue à la pren.ièrecar ,1 est permis de multiplier par une constanie arbitraire tous \e[ coedicieuis d'une s.ibslituiion homographique.
Nous soM.mes donc couduits à .etie hrlle cp.estion des transfor-
matious d'une forme quadnaiq.M. en elle-même par des substitutions linéaires; et, bien que, dans le c.s parliculi.r que ,m,us avons à envi.ager, elle soit susceplible d'une solution particulièrement simple, je vais dire queb|ues mois de sa sol.,lion dans le cas général.
Considérons une forme quadraliqne homogène à n variables
et soient
les formules qui définissent la s..bstliution cherchée et (,ui assuren. 1 identité
En écrivant que la forme qiiadmii.pie 9(71,7"-, ■■■■7„), obtenue par la substitution (,), a s- s coefficients é.anx à ceux de /(r., .-., y.), on sera conduit f. ^LH-L^ n-lations entre les
n' constantes a,,. Et, par suite, la soluiion comportera ^^^"'^ arbitraires. '^
On obli.nl aisément celte solution en ramenani la (orme /à une somme de carrés. M.is il n'esl pa. néeessaire d'enherdans le détail pour établir nu résultat fondamental.
D'après une propnélé générale, dans toute substitution /.V^ea/,-^ le Hess.en ,1e la forme /(^,, ..., :^„), c'csi-à-dire !e .lé.erminam
àj„ <)j-x
LES DÉPLACEMENTS CAYLEYENS. 321
se reproduit, multiplié par le carré du déterminant de la substitution.
Si donc, la forme redevient elle-même, il faudra que le déterminant de la substitution ail son carré égal à i. Il J aura donc deux classes de substitutions linéaires; pour les unes, le déteruiinant sera — i , pour les autres il sera H- i .
Il y a entre elles une dillereuce esseulielle. Imaginons (|u'une substitution varie d'une manière continue; son déterminant, qui est -|- • ou — I, ne pourra changer de signe, et la substitution restera dans sa classe primltiv»;. On conçoit donc que, par une variation continue des paramètres indt'peudants, on puisse déduire de chaque substitution toutes celles qui appartiennent à la même (dasse. Or la substitution idenlique^ définie par les relations
:ri^ Yi (t = I, V),, n).
est de celles pour lesquelles le détern)inanl est H- i , et nous dirons que ces substitutions (ormenl la première classe. Nous voyons donc que c'està la première classe qu'appartiendia nécessairement toute Iransforntalion continue de la forme (juadratitpie en ellemême.
On sait qu'en a|)pliquant successivement deux transformations données, le déterminant de la substitution (uimposée est le produit des déterminants des deux substitutions.
Il suit de là que le produit de deux substitutions de la même classe est une substitution de 1 1 première classe, et (pie l'on obtient toutes les substitutions de la seconde classe en appliquant une substitution particulière quelconque de cette classe à toutes les substitutions de la première classe.
Au reste, il est aisé d'obtenir une siM)stitution particulière de seconde classe. Si le carré de ^, figure dans la forme, on peut toujours, eu posant
ramener /'(j?,. . . ., Xn) à la forme suivante :
ax'^ 4- (f (.^j, ./.'a, . . . , x„ \.
il suffira, pour obtenir une substitution de seconde (lasse, de changer le signe dex',, en <H>nservanl toutes les autres variables.
203. Dans le cas qui doit nous occuper, où / ne dépend que de quatre variables, la solution la plus simple, celle qui nous sera le plus utile, sera fournie par la considération des génératrices rectilignes.
Soit
une équation à coefficients réels représenlanl une quadrique. JNous présenterons d'abord une remarque essentielle relative au signe de son Hessien. Ce signe ne change pas si Ton multiplie les coefficients par un nombre quelconque, posilif ou négatif, si l'on effectue une substitution homographique quelconque, de déterminant posilif ou négatif. // indique donc une propriété de la surface. Et, en effet, on voit immédiatement sur les formes réduites que, si le Hessien est positif .^ la surface est imaginaire ou réelle et réglée; au contraire, elle est réelle et convexe si le Hessien est négatif. Dans l'un et l'autre cas, nous l'avons vu (n" 116), les deux systèmes de génératrices, réelles ou imaginaires, peuvent être représentés par deux équations telles que les suivantes :
(4) P==XH, S-XQ
et
(5) P = HL&, R--=(xQ,
où P, Q, R, S sont des fonctions linéaires et qui conduisent à l'équation de la quadrique, mise sous la forme
(6) PQ — RS = o.
Si l'on calculait avec cette forme le Hessien H, on trouverait évidemment
8 étant le déterminant des fonctions P, Q, R, S prises, par exemple, dans Tordre que nous indiquons ici.
Si H est positif, 8 est réel. Si H est négatif, 8 est une imaginaire pure.
Comme on peut échanger Rei S, on fera en sorte que, dans le premier cas, 8 soit positif, et, dans le second cas, qu'il en soit de même de son quotient par î.
LES DEPLACEMENTS GAYLEYENS.
Quand celte condition sera remplie, nous dirons que le sj»lème (4) représente les génératrices du premier sjslème, et le système (5) celles du second.
Si l'on employait, pour représenter la surface, les formules à deux paramètres déjà données
et si l'on posait
r = a X{x -t- 6 X -4- c fx -+- rf,
y z= a' X^x -h b' X -h c' [x -+- d', z = a" lij. -^- b' X -+■ c" [x -h d' , t =: a"'Xfji +- b" l -+- c'" [Ji -4- cf",
on verrait aisément que A- est réel et du signe du Hessien. Si A, ou son quotient par <;, est positif, X est le paramètre des génératrices rectilignes du premier système; c'est une condition que l'on peut toujours obtenir, eu échangeant, s'il y a lieu, \ et p..
Cette distinction établie entre les deux systèmes de génératrices subsistera évidemment quand on efl'ectuera une substitution linéaire de déterminant positif, et en particulier une substitution de la première classe.
I20i. Ces distinctions étant nettement établies, revenons au problème proposé, et cherchons à obtenir toutes les substitutions linéaires de déterminant un qui conservent V absolu. Ces substitutions, devant évidemment conserver les génératrices rectilignes de chaque système, devront nous conduire à des relations de la
forme suivante :
X'r=ci,(X), fz'== 4;(|i.),
entre les paramètres X, jj. et ceux X', pi' qui leur correspondent. Un calcul direct nous conduirait aisément à reconnaître cpie (o el ^ sont des fonctions rationnelles du premier degré. Mais il vaut mieux remarquer que la sul)stitution cherchée, étant homographique, doit respecter le rapport anharmouique de quatre génératrices quelconques, qui est celui des quatre points où ces droites coupent une génératrice de l'autre système. Il faut donc que <p(X) par exemple
salisfassc à une équation fonctionnelle telle que la suivante :
Cp(X) — Ç>(Xo) Cp ( X2 ) O ( X I ) X — Xq X; — X I
(p(X) — <p(Xi) (p(X.>) — cp(Xo) X — X| Xj — Xo
(Voù l'on déduit immédiatement, en donnant à )vo, X, ? ^2 *^les valeurs constantes, que <5(X) doit être une ("onction rationnelle du premier degré. On peut donc énoncer le résultat suivant :
Pour obtenir toutes les transformations lioniograjihii{Uis continues de V absolu en lui-même il faut soumettre les paramètres des deux familles de génératrices rectilignes à deux substitutions linéaires quelconques.
Ainsi apparaissent les six conslanies qui, d'après le n" 202, doivent figurer dans les substitutions cherchées. Mais notre analyse ne sera complète que lorsque nous aurons démontré que la condition précédenie, qui esl évideniment nécessaire, est aussi suffisante.
Pour établir ce résultat essentiel, nous prendrons l'rqnation de Vabsolu sous la forme
(9) rQ-RS = o.
Alors les formules
qui conviennent à tout point de la surface, mettent en évidence les paramètres X et [jl des génératrices rectilignes. Si l'on cfFectue sur ces paramètres les deux substitutions linéaires définies par les formules
aX'-t-6 Cil -i- d
les équations
{\-x) P'=X>', Q'=i, R'=îJt', S'=X'
définiront un autre point de Vabsolu. En éliminant A, [jl, V, jx', on trouve aisément les relations
pV := acV + bdQ' -h /?c\\' -+- adS'.
pQ ^ ay P' -f- pôQ' -+- PyR' -H aSS'.
^' ' ^ pR = acP'-f- ^dQ'-h pcR'-f-r/aS',
LKS DEPLACEMENTS CAYr.EYENS.
OÙ 0 désigne un facteur de proporlionnalilé. Si Ton considère ces équations comme s'appliquant à deux points quelconques de l'espace, elles définissent une transformation homographique; et, comme elles donnent naissance à l'identité
o*(PO
