RS
on voit immédiatement qu'en prenant pour p la valeur donnée par
la transformation donnée par les équations (i3) reproduira le premier membre de l'équation de Vabsolu. D'ailleurs, sur cotte surface elle-même, les paramètres des génératrices aux points correspondants seront liés par les relations (i i). Notre analyse se trouve ainsi complétée.
205. Il convient d'expli(juer ici une dilïerence qui se présente entre les résultats précédents et ceux que nous avons obtenus au n" 59 pour le cas particuliei- de la G<''ométrie Euclidienne, où l'on peut considérer Vabsolu comme réduit au cercle de l'infini. Nous avons vu qu'alors les transformations cherchées s'obtiennent par la combinaison d'une bomolhétie et d'un déplacement, qu'elles flépendaieni, par conséquent, de sept constantes arbitraires. Ici, nous n'avons plus, dans la transformation la plus générale, que six constantes arbitraires; mais il faut remarquer qu'en elTectuant la tiansformation liomogiaphique qui conserve Vabsolu, on pourrait changer la valeur de la constante arbitraire qui ligure dans l'expression de la distance en fon('lion du rapport anharmonique.
2{H). Les résultats que nous venons d'établir nous conduisent à une construction et à une représentation très simple des déplacements dans l'espace Cajieyen. Tous ces déplacements, nous venons de l'établir, s'obtiennent en soumettant à deux substitutions linéaires distinctes les paramètres des deux systèmes de génératrices. Ces deux substitutionslinéaires ne peuvent, en même temps, se réduire aux deux sul)stilulir)ns identiques
< ar loule homographie qui ne déplace aucun des points d'une quadrique conserve lotîtes les droites et se réduit, par conséquent, à la substitution identique. Mais cette circonstance pourra se présenter pour l'un des deux systèmes de génératrices.
Supposons, par exemple, que les formules (i i) se réduisent aux suivantes :
cix' -\- d
Tf^'-+- 8
Â.lor.s aucun point des deux génératrices du second système dont les |)aramètres sont définis par l'équation
(17) YI^^-^"(S — c) [JL — d — o,
ne sera déplacé. A.insi, il y aura sur l'absolu deux génératrices dont tous les points demeureront immobiles dans le déplacement considéré.
Avant d'étudier plus complètement cette hypothèse, nous allons monirer que le déplacement précédent ne peut être réel que si Vabsolu est une cjuadrique imaginaire.
En effet, si le déplacement est réel, les deux génératrices rectitignes qu'il laisse invariables sont nécessairement imaginaires conjuguées. Et comme elles appartiennent au même système, elles n'ont aucun point commun. Donc aucune des deux n'a de point réel. Uabsolu n(> saurait donc être une surface léelle convexe; car, sur une telle surface comme sur la sphère, toute génératrice rectiligne imaginaire contient un point réel, celui où elle est coupée par la génératrice rectiligne imaginaire conjuguée.
Supposons donc que Vabsolu soit une quadrique imaginaire et que l'on ail pris sur cette surface deux génératrices rectilignes imaginaires conjuguées, nécessairement du même système, d^ df. Voici comment on définira le déplacement correspondant.
Soit M un point quelconque de l'espace. On peut toujours, par ce point, mener une droite Dqui rencontre à la fois of, r/,, et celte droite sera évidemment réelle. Comme elle coupe Vabsoluen deux points qui demeurent immobiles, elle ne fera que glisser sur ellemême dans le déplacement. Ainsi si M' désigne la nouvelle position de M, M' sera sur la droite D.
Pour achever de définir la relation entre M et M', nous considérerons un antre point quelconque P, dont la nouvelle position
LES DÉPLACEMENTS CAYLEYENS. 327
seraP'. Toutes les droites s'appuyant sur MP, sur d el sur <i, rencontrent évidemment M'P'. Donc MP, M'P', û?, ri, sont quatre .i;énéralrices rectilignes d'une même quadrique. Désignons par a, a, et b^bi les points où les droites MM', PP' rencontrent <i et c?,. D'après les propriétés des <^uadriques réglées, le rapport anharmonique Si. (M', M, a, ^i) sera évidemment égal au rapport anharmonique,^ (P', P,^,6|); c'est-à-dire la distance MM' devra être toujours égale à la distance PP' el, par conséquent, sera constante. Il s'agit, bien entendu, des distances relatives à Y absolu.
Ainsi, on peut définir les déplacements considérés en disant que tous les points de l'espace sont déplacés de la même longueur et que la droite réelle qui joint un point à sa position nouvelle va rencontrer deux génératrices fixes de l'absolu^ imaginaires conjuguées V une de Vautre,
207. On peut rattacher l;i théorie analytique des déplacements précédents à l'identité célèbre donnée par Lagrange,, et d'après laquelle le produit de deux sommes de quatre carrés est encore une somme de quatre carrés. Si l'on pose
!X = ax -+- by -+- C5 -f- dt, \ z= - ' h X -^ ay -\- d z — et, T = — dx -I- cy — b s -+- at, on vérifiera aisément que l'on a
(19) X^-f. Y2 -H Z« -H T2 .-. («2+ ^•^-+-r;2-f-rf2)(a72-)-.x2^ Z^-ht^).
Si donc on suppose (^ue l'on ait
( 10 ) a^ ^- fy^ -+- c« -+- fl?2 r-= I ,
les formules (18 j donneront une transformation delà forme quadratique
en elle-même; et l'on verra aisément que cette transformation est de preujière classe, son déterminant étant égal à i . Dans le cas qui nous occupe, on peut toujours supposer que l'on ait choisi le tétraèdre de référence de telle manière que l'équation de Vahsolu
s'obtienne eu égalanl à zéro la forme (21). Alors, si l'on cherche à reconuaîtie comment se transforment les génératrices reclilignes de la quadriqtie, on arrive à celte consécjuence singulière que, seules, les génératrices de l'un des systèmes sont déplacées. Définissons, en eflet. les paramètres de ces génératrices parles formules
X — t Y \ -I- / Y X -- iy :r -+- i y ,.
A— M /. — Il z — it z, — Il ^
on trouve, comme conséquence des équations (18),
(a — <6 ) [i -+- c + id
( — r -«- /«f ) 3 -h «7. -f ih
ce qui démontre la proposition.
Si, au lieu d'employer les formules (18). on eût eflecluë la substitution définie par les formules très voisines
!X = ax -\- by -i- c z -+ dt^ Y = — hx -+- « V — dz f- et, /, — — ex -{- dy -\- Il z — bl.
T = — dx — ey -\~ bz -\- ut,
que Ton déduit des précédentes en (diangeant bs signes de Y, y, b. on eût trouvé
. (a -h ib) a -+- e -4- id
( — c -f- id) a. ■+- a — ib'
de sorte que L'api>licalion successive des formules (23) cl des précédentes où Von aura remplacé a, />, c, d par af, b,yCt, </, donnerait le déplacement le plus général.
208. Les formules précédentes permettent de vérifier très aisément les piopriétés géométriques que, dans le numéro précédent, nous avons assignées aux déplacements considérés. Quel que soit celui des deux systèmes de formules (18) ou (y,4) que l'on adoptera, on obtiendra les deux identités
( X.r-+- Yj,- + Z5 4-T< = a(^--'4-^î-4-zîH-/îj, I X« -4-Y2 I-Z2 ^-T«= ^îH j.M- .s2^ <î
entre les coordonnées d'un point m (x^y^ z,t) et de sa nouvelle position M (X, Y, Z,T).
LES I)i:i>la(:i;mknts cavlkvk.ns. 3.>9
( )t\ amn donc
(9.7) coi-j^=^a.
Heinar(|uons que. si la conslante a est nulle, les deux points M, m sont conjugues par rapport à Vabsolu. On obtient alors un de ces déplaccineuts qui joueront plus loin un rôle essentiel dans nos déductions, <| donl la r<'pélition ramrne tout point de l'espace à sa position piiniilive.
209. Je ne (piillerai pas (-c sujet sans rappeler les rapports que I identité de La^ranf^e présente avec la théorie des quaternions (V [lamilton.
On sait que, si Ton (convient de tenir compte de l'ordre des factpurs et d'introduire trois unités complexes /, /, A" satisfaisant aux relations
les formules i 18^ peuvent être remplacées par l'une ou l'antie des identités
( X -4- t Y -+-.// -4- /. r = (a — bi — cj — dk) (x -- iy -h/s -t- kt), ' I \ — t Y — y Z /. T = (ar — iy — j 2 — kt ) { a ~- bi -f- cj -H dk),
iJe même, les foiinules ( 24 ) sont (upiivalentes à lune des identités suivantes :
\ \ -^ /Y -hy /. -■- /. T — {x -^ iy -4-y s -^ kt ) ( a — bi — cj — dk), ) \ — i\ —y/ — / T = (rt 4- bi -4- cj ! dk\ (x — iy —j z — kt).
De là, on déduira aisément (pie la substitution la plus j^t'nérabî de première classe sera définie par l'identité
{■\\) X-h/Y— yZ^ XT
= (d hi — cj — dk) (x -^ iy -r /s h- kl )i ll^ />, / — r,y — di k)
011 li's constanti's ti, ..., a^, ... devront satisfaire aux conditions
(3>. ) ai-h-b^-hc'i-^-d'^-i, tij i- b^^ -hc} -i-d] = 1.
Les formules que l'on obtiendra ne dilïéreronl que par la nota*lioii de celles (i.H) que nous avons dt'-jà données au n'V^Oi.
33o MVRE IV. — CHAPITRE H.
210. Passons maintenant au cas général, où les deux substitutions auxquelles on soumet les génératrices reclilignes de Vabsolii sont quelconques.
Si le déplacement est réel et si VabsoUi est une quadrique imaginaire, les deux homographies auxquelles on soumet les génératrices reclilignes de chaque système sont telles que leurs droites doubles sont imaginaires conjuguées. Ainsi, le quadrilatère ABCD formé par les deux couples de droites doubles sera tel que AB et CD, ainsi que AG et BD, seront des droites imaginaires conjuguées. Il suit de là que les points A et G, qui ne sauraient être réels, serontimaginaires conjugués. 11 en sera de même évidemment deB et D; par suite, les diagonales AG, BD du quadrilatère ABGD formé par les quatre génératrices de l'absolu 'seront réelles.
Supposons, au contraire, que, le déplacement restant réel, Vabsolu soit une ipiadrique convexe. Alors, les deux droites doubles AB et GD de l'une des homographies ne pourront être imaginaires conjuguées. Ce seront les deux droites doubles AD et BC de l'autre homographie qui seront imaginaires conjuguées des premières. Si AD, par exemple, est imaginaire conjuguée de AB et, par conséquent, GD de CB, les points A et G seront réels et les points B et D imaginaires conjugués. Ainsi, les diagonales AG, BD du quadrilatère ABCD seront encore réelles et Cune déciles rencontrera ^absolu en deux points réels.
Remarquons que, dans les deux cas et par suite de leur conslruction, ces deux diagonales sont polaires, l'une de l'autre. Ainsi,
Dans tout déplacement^ il existe deux droites D, A, polaires Vune de Vautre par rapport à r absolu, qui glissent sur ellesmêmes, et ces deux droites sont réelles quand le déplacement est réel.
Nous les appellerons les axes du déplacement.
Pour achever de définir le déplacement (|uand les deux droites D, A sont données, nous raisonnerons comme il suit.
Soit M un point de la droite D, par exemple; le déplacement l'amènera en un autre point M' de D; et, par conséquent, M' se déduira de M par une homographie. Les points doubles de cette homographie sont évidemment ceux, A et G par exemple, où la droite D rencontre Vabsolu. Par suite, le rapport anharmonique
LES nÉPLACEMENTS CAYLEYENS. 33 1
.'R(M', M, A, B) demeurera constanl. C'est dire que la dislance MM', évaluée par rapport à ïabsolu, demeurera constante.
Ainsi, 5M/' chacune des droites D, A, le déplacement aura pour effet de déplacer les points d^ une quantité constante^ qui ne sera pas nécessairement la même pour les deux droites.
Nous sommes maintenant en mesure d'indiquer comment on pourra construire la nouvelle position P'que le déplacemeni donne à un point quelconque P de l'espace.
On mènera par le point P la droite ^qui rencontre à la fois D, A et, par couséquent, leur est perpendiculaire. Soient m et |x ses points d'intersection avec D et A. Li nouvelle position m' de m s'obtiendra en portant sur D une longueur constante a\ de même la nouvelle position ix' de [x s'obtiendra en portant sur A une longueur constante a, et /w'a' sera la nouvelle position d' de la droite d. Pour obtenir la nouvelle position P' de P, il suffira de porter sur d' , à partir de m', une longueur m'P' égale à /?« P.
On peut énoncer cette construction de manière à mettre mieux en évidence l'analogie avec la Géométrie ordinaire. On peut passer de m[j. à m'a' en prenant comme intermédiaire la droite wî'jjl. Alors, dans le passage de mpi à m'fji, le point jx demeurera immobile et mmJ sera égal à a. Dans le passage de /n'jx à m'{jL',le point m' demeurera immobile et pip.' sera égal à a. Go sera comme si la droite m'a axait tourné d'un angle constant proportionnel à a, dans un plan perpendicidaire à D.
Si V absolu se réduit au cercle de l'infini, le premier dé|)lacement de ni]x à m' ^ devient hi translation le long de l'axe d'un déplacement hélicoïdal, le second se réduit à une rotation autour de (•et axe,
211. (^uoi qu'il (M soit, la construction précé(l(;nl<' nous conduit à une classification très simpb; des déplacement^. Si les constantes a, a ne sont pas nulles, tous les points de l'espace seront déplacés, sauf ceux où les ax«'s D, A coupent Vabsolu; car la dioilc /rt[ji.,qni conlicnt le point P, est remplaci'e par la droite m' jji', qui n'a aucun puini commun avec elle. Donc P' ne peut se confondre avec P. Le déplacement correspondant sera dit hélicoïdal.
Si une seule des constantes a, a est nulle, a par exemple, tous les points de la droite D demeureront immobiles. Nous dirons que le déplacement est une rotation autour de D.
'i'\2 I.IVRK IV. — CHAPITRE II.
Enfin, si les conslanles (f, a sont nulles lonles les deux, tous les points (le I), A, loules les droites telles que «ipi, seront conservés f)ar le déplacement. Pour construire le point P' correspondant au point P de /?ïu, on remarquera que P, P' se correspondent dans une homographie dont les points doubles sont m. a et lioiit un couple de points correspondants est fourni par ceux/> cl p' où la droite mjji rencontre l'absolu. Or />, p' sont conjugués harmoniques par rapport au segment mu; il en sera donc de même de P. P'. \insi.
/^c drplace/nc/i/ q(u correspond au cas où a, a sont nulless^ obtient en prenant deux djoites fixes D, ^. polaires réciproques V une de V autre et en construisant le conjugué harmonique P' d\in point qu(dconque P par rapport au segment déterminé par les axes D, A sur la droite qui passe par P et rencontre ces deux axes.
Nous avons ici un exemple nou\eau, et plus général, de ces déplacements dont la répétition ramène toute figure à sa position primitive. Nous leur donnerons le nom de retournements.
lu) résumé, nous avons trois es|)èees de déplacements, pouvant lotis être réels :
i" l^es déplacements hélicoïdaux dans les(|ucls restent seuls immobiles quatre points de Vabsolu. Les diagonales I), A du quadrilatère formé par ces quatre points sont polaires l'une del autre. Ce sont, avec les côtés du quadrilatère, les seuhîs droites qui glissent sur elles-mêmes dans le déplacement. Si Vabsolu est une surface convexe, et si le déplacement e«t réel, deux des quatre points sont réels.
■>." I.,es rotations, \ioyw lesquelles tous les points de rmi des axes D, A sont immobiles.
3" Les retournements, pour lesquels demeurent immobiles tous les points des axes D. A.
Il est ;'i renia r(| lier (pie, pour èl le (Mitièreimiil exiiels, < es énoncés doivent exclure les déplacements <|uc nous avi)us étudiés aux n"~''2()6 à !2(H). Nous avons vu, encllet, qu une des propriétés caracterislupies de e<'s déplacements est de faire glisser sur elles-mêmes une double infinité de droites, toutes celles <jui rencontrent deux
.^~ LES DÉPLACEMENTS CAYLEVENS. 333
\^m^' génératrices imaginaires conjuguées de Vabsolu, choisies arbitrairement. Pour distinguer de ceux qui précèdent ces déplacements, qui, r)ous l'avons vu, ne sont jamais réels quand Vabsolu est une quadriquc réelle convexe, nous les appellerons des déplacements Biemanniens.
212. On peul détinii' anal ) liquement, et delà manière la plus simple, tous les déplacements que nous venons d'envisager.
Dans le cas, le plus général, où aucun des deux systèmes de génératrices rectilignes de l'absolu ne reste invariable dans le déplacement, nous prendrons pour télraèdre de référence celui ARCD qui a été défini plus haut et dont les arêtes AB, BC, CD, DA appartiennent à Vabsolu, tandis que les deux autres arêtes AG, BD sont polaires réciproques, l'une de l'autre, par rapport à cette surface. Si l'un des systèmes tie génératrices n'est pas déplacé par la transformation, il suffira de prendre arbitrairement, dans ce système, deux génératrices imaginaires conjuguées, de les associer aux deux génératrices de l'autre système qui sont le lieu d( s points laissés invariables par le déplacement, et Ion aura ainsi constitué un télraèdre AB(>D ayant exactement les mêmes propriétés que le précédent.
L'équation de Vabsolu^ lapportée à ce télraèdre, sera évidemment <le la forme
(33) xy -^ zt — o.
Si cet absolu est imaginaire, on pourra supposer que les coordonnées X, y soient, comme z et ^, imaginaires conjuguées. Si c'est une surface réelle convexe, x et y seules seront imaginaires conjugu('es, s et i seront réelles.
Le déplacement devant conserver les sommets du tétraèdre, les équations qui le déterminent seront de la forme
a;'=ax, y'=by, z' = cz, t' = clt\
a, />, c, d désignant des constantes quelconques; et, pour que h;
premier membre de l'équation (33) se reproduise, il faudra (jue
l'on ait
ab = cd ^= i.
On pourra donc écrire les formules qui définissent le déplace-
334 LIVRE IV. - CHAPITRE If.
ment sous la forme
(34) x'r^hx. y' ^\y^ z^kz, t'^j^-
Gomnjeiiçons par chercher les points qui demeurent immobiles dans le déplacement. Il faut, pour cela, écrire que l'on a
(35) x'—px, y = py, z'—pz, t' = pt,
p étant une inconnue à détermiuer. En portant ces valeurs de x', y ^ z'. t' dans les formules (31), on a les relations
(36) {p — II) a- z=o, (p — — |^ = o, (p — ^)^=o, (p — -u = o,
qui conduisent nécessairenïent à l'équation
Supposons d'abord que les quatre racines de cette équation soient distinctes. Alors, en égalant p à l'une d'elles, on trouvera l'un des sommels du tétraèdre; de sorte que, dans ce cas, les sommets du tétraèdre seront les seuls points qui resteront immobiles. Le déplacement obtenu sera celui (jue nous avons appelé hélicoïdal.
Supposons maintenant que deux au moins des racines de l'équation (Si^) soient égales. Si l'on a
on pourra supposer h= i . Et si l'inégalité suivante :
ki—i^o,
est vérifiée, les deux autres racines de l'équation (S'y) seront distinctes. A l'hypothèse o= i correspondent tous les poinis de la
droile
aux deux auirci lacincs conespoudent seidement les sommets du
tétraèdre qui sont situés sur l'arête opposée et sont définis par les
équations
X = o, y = o, zt ~ o.
LES l)K PLACEMENTS CAYLEYENS. 335
Le déplacement sera alors une rotation. Il sera défini par les formules
(■38) .r'=:a7, y' — y ^ z'—kz, l' — -t.
Si, h étiinl égala i , on a k'^ — i = o, il faudra supposera = — i ; sans cela, on aurait la substitution identique. I^es formules qui définiront le déplacement seront
Ce sera un retournement; car il laissera invariable tous les points <les deux arêtes du tétraèdre qui n'appartiennent pas à Vabsolu,
Une dernière hypothèse reste à envisager : c'est celle oîi h serait égale à une des racines A", j- On pourra supposer
Alors les formules qui définissent le déplacement seront
( 40) x' = hx, y'~--y z'=:hz, t' = — t .
Celui-ci laissera invariables les deux génératrices reciilignes de Vabsolu définies respeclivemenl par les équations
X — z — o el y r= t = o.
Ce sera un déplacement Riemannien. Il sera réel si k est une imaginaire de module égal à i .
On peut reconuiiître anssi dans quel cas il se réduira à un retournement. Sa répétition conduit, en effet, aux formules
Pour (juex, j^", z", l" soient proportionnels à x, y, z, t, il sera nécessaire et suffisant que l'on ait
On sera alors conduit aux formules (4i) 3?'= ï'ar, y — — iy, z'=iz, t' = —it,
«jui définissent le retournement Riemannien.
336 LIVRE IV. — - CIIAI'ITBK II.
213. On se rendra mieux compte des propriétés des déplacements particuliers et des différences (|ui les séparent si l'on suppose qu'on répète chacun d'eux nn certain nombre de fois.
Prenons d'abord les formules générales
(42) x'^h.r, y=^jj^ z'=Az, f'=ji- Si nous répétons/* fois le déplacement, nou^ aurons les formules
(43) Xn ^ h''x', y„ -- -^JK. s« = k" z. /„ - -^ t.
■ Au lieu d'y considérer n comme un entier, supposons (|ue ce soit un paramètre variable jiouvant prendre toutes les valeurs réelles de — oo à + oo. Pour n = o, nous obtiendrons la position primitive de toute figure. Quand n variera d'une manière continue, nous aurons un déplacement, qui sera continu aussi, de la ligure primitive.
Dans ce déplacement continu, on aura toujours
et, d'après les développements donnés au n" 197, cette é(|uation exprime que le point mobile demeurera sur une sniface lieu des points qui sont à une distance invariable de l'un quelconque des deux axes. Nous donnerons à de telles surfaces le nom de pseudocylindres. Sur cette surface, le point mobile décrira une courb(î transcendante, analogue aux hélices de la Géométri(; ordinaire. Si Vabsolu est imaginaire, x,y\ ainsi que s, /, étant imaginaires conjuguées, la trajeclolie seia définie d'^ine manière réelle par des é(|uations telles que les suivantes :
Si Vabsolu est une surface l'éelle convexe, on pourra prendre
(4^) x=--e'"'^a\„ r-^:e'"<^ro, z = k" z«. / = f,-'/o.
Dans le cas on le déplacement se réduii;i à une rotation, il faudra faire h — - i, et la trajectoire transcendante se réduira à une ^
LES DÉPLACEMENTS CAYLEYENS. 3^7
conique plane délinie par les deux équalions
^ — - ^nyn ^ xy
yn Jk' Zntn ~' Zt -
Celle conique, dont le plan passera par la polaire de Taxe de rotation, est l'analogue du ceixle dans la Géométrie ordinaire. Elle est, dans sou plan, le lieu des points qui sont à une distance constante de l'axe de rotation ou, ce qui revient au même, du point où cet axe perce le plan de la courbe; elle est doublement tangente à Vabsoln.
Si l'on a /i == 1 , A"= — i , le déplacement se réduit à un retournement, et il n'j a plus lieu de parler de mouvement continu.
Enfin, si l'on a h = /c, on obtient un déplacement Riemannien, et la trajectoire se réduit à la droite définie par les deux équations
^ = - La -:, L
comme nous l'avons déjà montré directement au n^.SOô.
214. Après avoir indiqué la définition et les propriétés des déplacements dans l'espace Caylejen, nous allons montrer comment la proposition fondamentale du n° 21.1 relative à ces déplacements permet de les représenter à l'aide des plus simples d'entre eux. Nous nous appuierons à cet effet sur le lemme suivant :
Toute transformation ko nio graphique peut être remplacée., dUine infinité de manières^ par deux Iran s for mations involutives.
INous avons déjà obtenu celte proposition sous ("orme géométrique au n" 83; mais on peut aussi la démontrer très simplement par l'analyse.
Soii
X — a , À' — a r r ^^ Il -
la formule qui définit une trausfonnaliou liomographique, les éléments doubles a el b y élanl mis en évidence. On peut évidemment la remplacer par les deux suivantes :
X — a X] — a Xj — Il X' — a k
f/ui sont toutes deux involutives et contiennent l'arbitraire k.
338 tlVKE IV. — CHAPITRE II.
Si les deux points doubles sont confondus, le résultat sera le même. La relalion homograpliique sera de la forme
X — a X' — ei elle pourra être remplacée par les deux involutions
où A est encore arbitraire.
Enfin, si la relation homographique se réduit à l'identité
il suffira, pour la remplacer, d'appliquer deux fois successivement une involution, d'ailleurs quelconque.
Il n'est pas difficile de démontrer que, dans chaque cas, la suite de deux involulions que l'on substitue à l'homographie est la plus générale que l'on puisse obtenir.
Supposons, par exemple, que les deux éléments doubles de l'homographie soient distincts, et désignons-les, comme nous l'avons fait, par a et b. La première involution substituera à « et ^ deux éléments a', b' ; la seconde devra ramener a' en a et b' en b. Si donc les couples a, a' cl b,b' étaient distincts, la première et la seconde involution ne sauraient être distinctes, ce qui est inadmissible. Jl faut donc que a' coïncide avec b et b' avec a. Ainsi, les deux involulions successives doivent échanger, l'un dans l'autre, les élémenls doubles de l'homographie. C'est ce que montrent les formules données plus haut.
21o. De la proposition précédente il résulte que les deux transformations homographiques auxquelles doivent être soumises les génératrices recli lignes de la quadrique peuvent chacune, et d'une infinité de manières, êlre remplacées par un couple d'involutions; en sorte que le déplacement le plus général résultera, d'une infinité de manières, de la composiiion de deux déplacements caraitérisés, l'un et l'autre, par la propriété de soumettre à une involution les génératrices rectilignes de chaque système. Ces déplacements ont donc la propriété caracLéristique de ramener
LES DÉPLACEMENTS CAYLEYENS. 339
la figure à sa position primitive, si on les efTectue deux fois successivement. Ce sont des retournements.
On peut les définir comme il suit. Gardons toutes les notations précédentes; désignons par A, B, G, D les sommets du tétraèdre de référence. Les déplacements éiénientaires que nous avons à considérer s'obtiennent en soumettant les génératrices rectilignes des deux systèmes à deux involutions : l'une, dans laquelle AB est remplacée par GD ; l'autre, dans laquelle AD est remplacée par BG. Le retournement qui en résulte échange donc A et G, B et D. Donc, d'après les propriétés déjà établies, les deux axes de ce retournement doivent diviser harmoniquement les deux axes AG et BD du déplacement primitif. Ge sont deux droites, polaii'cs l'une de l'autre, perpendiculaires à A(^ et à BD. Ainsi,
Tout déplacement résulte, d,\uie infinité de manières, de la composition de deux retournements dont les axes sont des perpendiculaires communes aux deux axes de ce déplacement.
216. On pourrait construire et définir complètement par la Géométrie les deux retournements composants. Nous préférons la méthode analytique suivante.
Reprenons les formules
(46) .v'=hx. y=-j, z'=kz, ^'= ^^'
qui définissent le déplacement le plus général. Elles peuvent évidemment être remplacées par les suivantes ;
«1=^ ht,
(48) x'=zaiyi.
pourvu que l'on ail
Les formules (47) t^t (48) sont (outes semblables, et il est aisé d'établir qu'elles définissent, les unes et les autres, un retournement,
Gonsidérons, par exemple, les premières. Gomme elles en-
34o LIVRE IV. — CHAPITRE II. — LKS DÉPLACEMENTS CAYLEYKNS.
traînent les relations
on voit iinmédialeuienl qu'elles conservent Vabsolu el, par-conséquent, définissent un déplacement. Comme elles laissent invariables tous les points des deux droites
(5o) X — oy = o, s — bt ^= o
et
(.5i) .V -+- ay = o, z -\-bt =^ o,
on reconnaît tjue ce déplacement est un retournement, dont les deux axes sont donnés par les équations précédentes.
Ces deux axes, qui sont des droites polaires l'une de l autre, rencontrent les deux axes du déplacement considéré el leur sont, par suite, perpendiculaires.
Les formules (48) définissent un retournement de même nature dont les axes sont donnés par les équations
(Sa) ./■ — rtj^ — o, z — hit = o
et
(53) x^aif — o, z-^hit — o.
Ainsi, nous retrouvons le ihéorème (ondamental et nous voyons, de plus, comment on pourra construire les deux retournements dont la composition reproduit un déplacement donné.
217. (^e théorème fondamental est analogue à celui que l'on connaît depuis longtemps dans la Géométrie Euclidienne, et il donnera lieu aux mêmes conséquences ('). On verra, par exemple, que tout déplacenicnl peut être remplacé d'une infinité de manières par deux rotations; on saura composer deux déplacements hélicoïdaux, etc. Nous laisserons tous ces |)oints à l'examen du lecteur.
(') Voir, par exemple, dans les Leçons de Cinématique professées à la Sorbonne, de M. Gauiuei. Kœnigs, une Noie de l'Auteur Sur les renversements et les inversions planes. [». 34'^.
