CHAPITRE m

LA TRIGONOM^iTRFE CAYLEYENNE.

Les propositions relatives au déplacement montrent immédiatement que, dans la Géomélrie Cayleyenne comme dans la Géométrie ordinaire, il y a trois relations nécessaires entre les six éléments d'un triangle. — Rechcrclie de ces relations. Elles sont les mêmes que celles qui existent entre les éléntents d'un triangle sur une sphère dont le rayon est réel ou est une imaginaire pure. — Au contraire, les relations entre les six éléments d'un trièdrc sont les mêmes que dans la Géométrie Euclidienne. — Application de la théorie des déplacements à la définition du volume dans la nouvelle Géométrie. — Si Yabsolu est imaginaire, le volume total de l'espace est fini. — Défmition de l'aire. Aire d'un triangle rectiligne quelconque. Son expression en fonction des angles du triangle. — Propriété des sphères Cayleyennes. Sur une telle sphère, la trigonométrie est la même que sur une sphère Euclidienne de rayon convenablement choisi. — Système triple orthogonal analogue à celui qui sert à définir les coordonnées polaires. — La ligne droite, comme dans la Géométrie ordinaire, est le plus court chemin d'un point à un autre. — Des trois sortes de sphères qui se présentent dans lu Géométrie non Euclidienne. — Étude particulière des horisphères, c'est-à-dire de celles qui ont leur centre sur Vabsolu. — Application à la classification des déplacements réels que l'on peut uliliseï; dans l'espace non Euclidien. — Équations qui déterminent les trajectoires des différents points. — Système triple orthogonal comprenant deux familles de plans perpendiculaires et une famille de surfaces pseudocylindriques ayant toutes le même axe.

218. Les propositions relali\es aux déplacements, que nous, venons d'élablir dans le Cliapilre précédent, jouent un rôle fondamental dans la Géométrie Cajle^yenne, et nous en déduirons de nombreuses conséquences. Elles nous montrent tout d'abord que, dans celle Géomélrie comme dans la Géométrie ordinaire, il y aura une Trigonométrie, c'est-à-dire qu'il existera trois relations nécessaires entre les côtés et les angles d'un triangle plan. Ces six éléments dépendent bien de neuf quantités, les coordonnées des trois sontmets. Mais, comme on pourra déplacer le triangle, on pourra réduire à zéro six de ces coordonnées; en sorte que les éléments ne dépendront plus que de trois paramètres et devront être liés, par suite, par liois relations. Si, par exemple, on prend pour tétraèdre de référence celui (pii est fOrmé par les som-

34a UVRE IV. — CHAPITRE III.

mets A, B, G du triangle considéré et le pôle D de son plan par rapport à Vabsolu, l'équation de cette quadrique pourra être ramenée à la forme

xi -h y^ -^ z^ ± t^ -h -i-Byz h- aB'a?^ -h iW xy = o,

et les six éléments s'exprimeront d'une manière très simple en fonction de B, B', B".

Comme ces expressions contiennent des radicaux affectés de signes, elles présenteront quelque ambiguïté. On peut faire disparaître toute difficulté de la manière suivante.

219. Commençons par supposer que Yabsolu soit une quadrique imaginaire, et considérons un triangle ABC dont nous désignerons, suivant l'usage, les côtés par a, 6, c et les angles par A, B, C, Les formules données aux n^MSS et 183 nous permettront d'écrire les relations

a cos^