AG) (BG) (GG

Si nous effectuons des permutations circulaires sur A, B, C, nous obtiendrons, par des formules toutes semblables, les lignes trigo-

b c nométriques de Tr'-rr' BetC. Convenons gue^dant toutes les formules, les radicaux v/(ÂÂ), y^BB), s/(GC), v/(AA)(BB) — (AB)^, V/(AA)(CC) — (AC)S ^(BB)(CC) — (BC)--^, sjl seront pris partout avec la même détermination. Alors la formule (3) pourra

LA TRIGONOMÉTRIE CAïLEYENNE. 343

s'écrire

sin — sin — CCS A = ces — — ces - ces — , K i\ K K t\

et de là on déduira, par des permulalions circulaires, le système

CCS -jr — CCS — CCS 7- -f- sin -^ sin — ces A,

(6) ; CCS— = ces — CCS— -t- sin -^ sin —CCS B,

cos -jr = CCS — cos ô -i- sin — sin — ces t..

De même, l'équation (4) pourra s'écrire

(7) sin A sin — sin

ï^ l^ v/(AA) v/(BB) /(CG)

et nous conduira à la proportion des sinus

,„ sin A sin B sinC

s,n sin- sin-

Nous retrouvons les formules de la Trigonométrie sphéiique sur une sphère de ra}'on R.

S'il s'agit d'un triangle réel, en prenant pour les radicaux tels

que y/(Bl3) (CC) — (BC)^ des signes convenables, on pourra

obtenir des valeurs positives de sin ^r» sin — > sin — > et de même, ' K n rv

en choisissant une détermination convenable de y/A, on obtiendra des valeurs positives de sin A, sinB, sin G. On pourra donc

prendre pour les six éléments A, B, C, k-» p^» -g- des valeurs comprises entre o et n.

220. Si l'on suppose maintenant que V absolu soit une (|uadrique réelle convexe, il suffira de changer quelques signes. On pourra prendre

. . a (BC)

(9) cos^-, = , ,-—='

(10) i sin TT-. = -2-^ ' -^-^ — -

R* V^(BB)v/(GC)

( M j cos A = — ' ,

v/(AB)2-(AA)(BB) v/(AC)î-('AA)(CC)

. . \/( AA) \fk

(12) sinA = ^ '^

v/(ABV^-( AA)(BB) /(AG)2- (AA)(CC)

A ajanl la valeur donnée par la foriiiiile (5); en sorle que, si l'on prend partout les radicaux avec la même détermination, on retrouvera les formules (6) et (8), où R aura été remplacé par Ri, c'està-dire

l cos——. = cos -f— . cos — -: + Slll ^r— . SI 11 tt— . COSA,

1 H/ Kl Ri Rj Ri

/ ON . 1 b c a . c . a ,.

(15) { cos -jr-: = COS -^7-. COS -r— -. + Slfl ;— -. SU! •=:-• COS B,

ni Ri Ri Rt Ri

COS — -: = COS-J-— . COS 7—: -h SI 11 —-. sin — -. cos(.

Ri Ri Ri Ri Ri

sin A siiiB sinC

'^'"rI- ^'"r7 ^'"r7

Si le triangle ABC esl réel etdans l'espace accessible, on pourra prendre l'équation de Vabsolu de telle manière que (AA), (BB), (CG) soient positifs. On \eira facilement que les expressions telles que (BC) le sont aussi. Car le signe de (BG), par exemple, ne saurait changer lorsque B et G se déplacent en restant à l'intérieur, puisqu'alors ces points ne deviennent jamais conjugués l'un de l'autre, et ce signe est positif lorsque B se confond avec C.

Un raisonnement analogue montie que les expressions telles que (BG)'-^ — (BB)(CC) demeureront positives. Si donc on prend

tous les radicaux avec le signe H-, on obtiendra pour -p' d » d

des valeurs positives, et l'on pouira prendre, pour les angles A, B,G, des valeurs comprises entre o el ti.

221. Il V a une autre manière d'obtenir les résultats précédenis.

Soit

l'équation de Vabsolu. On peut toujours clioisir la fonction y de

L\ TIUGONOMÉTRIE CAYI-EYENNE. 34^

lelle manière qu'elle soit positive, pour tout point de l'espace, si Vabsolu est imaginaire; pour tout point situé dans l'espace accessible, si Vabsolu est une (|uadri(jue réelle convexe. Alors, on pourra choisir les coordonnées liomoi^ènes de tout point liors de r absolu de telle manière que l'on ait

Chaque point hors de l'rt^so/// sera en quelque sorte dédoublé et aura deux systèmes de coordonnées [x, y, z, t) et ( — x, — y, — z, — t). Ce dédoublement sera réalisé d'une manière effective par une substitution que nous étudierons plus loin (Livre V, Chap. VII). Mais, dès à présent, nous pouvons convenir de prendre partout

(iGi //\^, J^, 3, /) = I

et la formule donnant le cosinus de l'angle de deux plans ne présentera plus aucune ambiguïté. Pour plus de netteté, bornons-nous au cas où Vabsolu est imagir)aire, et remarquons d'abord que la recherche des relations entre les éléments d'un triangle est une question de Géométrie plane; car si l'on prend la section (F) de [absolu par le plan du triangle, on pourra évidemmeni substituer cette conique (F) à Vabsolu dans ta définition des éléments.

D'après cela, choisissons pour triangle de référence un Iriangle conjugué par rapport à la conique imaginaire (F). L'équation de cette conique pourra être mise sous la forme

et, si Ton a choisi les coordonnées des trois sommets A, B, C du triangle de telle juaniric qu'elles satisfassent à la relation