X- -^- y--+- z- — II

la définition des éléments du triangle sera . la même <jue si les poinis A, B, C élaient sur une sphère de rajon R. On voit donc a priori que les relations entre ces éléments doivent être celles, de la Trigonométrie sphéri<pic.

Des considérations analogues, mais uu peu moins simples, s'appliqueraient dans le cas où Vabsolu serait une quadriquc réelle convexe.

222. l^es méthodes précédentes conduisent à un résultat qu'il fiaul mettre en évidence.

Dans les deux Géométries que nous avons considérées^ les relations entre les six éléments dhin trièdre sont les mêmes que dans la Géométrie Euclidienne, ce trièdre étant quelconque si ^absolu est imaginaire^ et ayant son sommet dans Vespace accessible si ^absolu est une quadrique réelle et convexe.

Rapportons, en effet, Vabsolu à un tétraèdre conjugué dont l'un des sommets sera le sommet S du irièdre. Dans l'un et l'autre cas, l'équation de Vabsolu prendra l'une des deux formes

Les arêtes du trièdre percent le plan polaire du sommet de ce trièdre en trois points A, B, C pour lesquels t sera nulle et dont on pourra choisir les autres coordonnées de telle manière qu'elles satisfassent à la condition

Alors, on pourra faire correspondre aux trois points A, B, C trois points A', B', G' d'une sphère de rajon i ajant pour coordonnées rectangulaires les coordonnées homogènes des points A, B, G; et l'on verra aisément que les éléments du trièdre se calculent par les mêmes formules que ceux du triangle sphérique A'B'G'. Noire proposition est ainsi démontrée. Nous l'obtiendrons plus loin par une autre méthode.

223. Nous n'insisterons pas davantage sur ces recherches trigonométriques; la Géométrie analytique a des méthodes qui lui sont propres et qui sont moins étroites que celles de la Trigonométrie. Nous indiquerons donc d'autres conséquences de notre théorie des déplacements.

Nous ferons remarquer tout d'abord que leur emploi permet d'étendre à la Géométrie Gajlejenne certaines notions, par exemple celle de volume d'un solide ou d'aire d'une surface. Dans la Géométrie ordinaire, l'élément de volume peut être caractérisé par cette propriété essentielle qu'il ne change pas lorsqu'on effectue le déplacement le plus général. Adoptons, ici encore, cette définition.

LA TRIGONOMÉTRIE CAYLEYENNE. 347

Prenons l'équation de Vabsolu sous la forme

Toute intégrale triple sera de la forme

(19) y= I I I (f(x,y,z)dxdydz,

et nous aurons à déterminer cp par la condition que cette intégrale demeure inaltérée sil'on effectue l'une quelconque des substitutions homographiques qui conservent Vabsolu.

Considérons d'abord celles de ces substitutions qui sont entières et reproduisent .^2 + y^ -h 3-. Elles sont de la forme

X = ax' -+- by' -h cz\ y = a' x' -i-b' y' -h c' 3\ z ■= a x' -^ b' y' -\- c' z' \

et comme leur déterminant est l'unité, elles transforment l'intégrale triple V dans la suivante :

/ / I ^{ ci^-^',by'-{-cz', a' x' -^ b'y' -+- c' z\ a" x' -\- b" y' -\- c" z' \ dx' dy' dz' .

Pour que V se reproduise, il faudra donc que la fonction cp ne dépende que de x^ -\- y- -\- z- . Ainsi on pourra mettre V sous la forme

\ =z j j fv (I (- x^ -^ y^ -\- z^) dx dy dz.

Faisons maintenant la substitiilion

qui, elle aussi, conserve Vabsolu. L'intégrale V deviendra V — C C fv ( '-+-^'^+y-+--g''' \ dx' dy' dz'

et, d'après ce que nous avons vu, elle devra être indépendante de z' . 11 faudra donc que l'on ail

(> désignant une constante. Le volume sera donc défini par une intégrale telle que la suivante :

~ J J J /*(^>r, Jf, I)'

3i8 LIVRE IV. — CHAPITRE III.

l'équalion homogène de Vabsolu élanl

{•ri) f {x, y, z, t) ^= o.

Si Vabsolu était une surface réelle, la substitution (20) ne le serait pas; mais il est aisé [de la remplacer par une autre substitution fractionnaire qui conduirait au même résultat.

Pour déterminer la constante C, on a le choix entre diverses conventions. Par exemple, on peut demander que l'élément de l'intégrale V devienne celui de la Géométrie ordinaire quand la Géométrie Cajleyenne se réduit à la Géométrie ordinaire suivant les hypothèses du n" 185. Cette hypothèse conduit à la valeur

(jue nous allons obtenir par d'autres considérations.

224. Au n" 182, nous avons vu que l'élément linéaire de l'espace peut se mettre sous la forme

(■iZ)

Faisons-y i= i; nous aurons une forme quadratique des ditlérentielles dx, dy, dz

(•24 ) ^/52 = A dx"^^ M dy^ -H M'dz^ H- iB dy dz -i- -i^' dx dz-\- xWdxdy.

Or, on sait que, lorsqu'on fait un changement de variables quelconque, l'intégrale triple

où l'on a

V = / / I A dx dy dz ,

demeure invariable. 11 en sera de même, à plus forte raison, si l'on effectue seulement les substitutions linéaires qui conservent Vabsolu.

On peut calculer A. Kn employant les déterminants, on trouve

LA TRIGONOMÉTRIE CAYLEYENNE. 349

H étant le Hessien de/(j7, jk, z, t). On aura donc

Si {^absolu est imaginaire, H sera positif et K. réel. Si, au coniraire, V absolu est réel et non réglé, H sera négatif et R deviendra une imaginaire pure.

Nous retrouvons ainsi, avec un léger changement de notations, l'expression du volume donnée par la formule (21).

A^ppliqiions la formule au premier cas, en prenant l'équation de Vabsolu sous la forme

Il viendra

Si Ton emploie la substitution classique

(3i) a:- = p sin 0 eus çp, j' = p sin 6 siii cp, 2 = pcos6,

la valeur de V prendra la forme

z'^ dgd^dQ

Étendons cette intégration à tout l'espace, il faudra faire varier 8 de o à 7:, c3 de o à itz et p de o à 00. Le volume total de l'espace sera

Il sera donc fini.

Si, au contraire, Vabsolu est une surface réelle, dont on pourra mettre l'écjuation sous la forme

( 'il) X'^ -t JK2 -+- S2 __ fl r-- ,),

il faudra remplacer K pai- [\i, cl l'expression du volume

deviendra

(33) \^\vf f f dxdydz__

35o LIVHE IV. — CHAPITRE III.

La substilution définie par les formules (3i) nous donnera

et le volume deviendra infini quand p tendra vers i, c'est-à-dire lorsqu'on s'approchera de Yabsolu.

225. On peut employer des considérations analogues pour les aires, et en particulier pour les aires planes. Si l'on recourt, par exemple^ à l'élément linéaire, on aura, dans le plan,

(34) ds^^K^fi^^y^^\fid.r,<ly)~p{x,dx)

en supposant toujours que

soit l'équation homogène de Vabsolu. L'élément linéaire sera de

la forme

ds''- = A dx^ -t- A' dy^ -+- >. B dx dy

et l'intégrale double

C C /B2 AA' dx dy

sera un invariant. Son calcul est facile et nous conduit à prendre pour l'aire

(35) .j{.= KWtiJJJ—

dx dy

H étant encore le Hessien de Vabsolu.

Pour en faire une application, supposons que l'on ait choisi dans le plan deux points réels quelconques A, B et qu'on leur adjoigne, pour former le triangle de référence, le pôle de AB. L'équalion de Vabsolu sera de la forme

(30) f{x,y,z)—ax^-^'î.bxy-i-cy--\'Z'^^=^o,

l'équalion z = o représentant la droite AB. Le point A aura pour coordonnées y = o, ;î= o et le point Bj7 = o, 2 = o.

Soit C un point quelconque du plan, dont les coordonnées soient ^, jk, i, et cherchons à évaluer l'angle ACB. Cet augle ô

LA TRIGONOMÉTRIE CAYLEYENNE. 35l

peut, par exemple, être calculé par l'application de la formule déjà obtenue