CG)(AB)-(AC)(BG

CCS t) = — ■==:^:^===::^:^=^=======z «

v/L(AA)(GG)-(GA)2J[(BB)(CG)-(BG)*]

qui nous donne ici

i-i \ fi b — hxy

(37) cost)

ô étant le Hessien de Vabsotu, déterminé par la formule

(38) 8 = ac — />*.

On déduit de la relation précédenle la valeur de sinO,

(39) . sinf)

Les signes ont été choisis de telle manière que l'angle 9 se réduise à -r; quand le point C vient se placer, entre A et B, sur AB.

L'angle 0 défini par les formules précédentes satisfait à une équation aux dérivées partielles qu'il est aisé de vérifier,

en sorte que l'aire peut s'écrire

Cette formule est fondamentale.

Pour l'appliquer, construisons le quadrilatère C'D'CD en menant deux rajons par A et deux rayons par B,

L'intégrale double, étendue à ce quadrilatère, sera évidemment la différence entre la somme des valeurs de 6 pour G et C et la somme des valeurs du même angle pour D et D', c'est-à-dire qu'elle sera égale à la somme des angles intérieurs du quadrilatère, diminuée de 2TC. Si le point C vient se placer entre A et B, l'angle C deviendra égal à tt et la somme précédenle deviendra égale à

A -4- B + G — iT,

A, B, (j désignant les angles du triangle ABC. INous avons donc le théorème suivant :

s-).». - LIVRE IV. — CHAPITRE III.

Vaire du triangle formé par trois lignes droites situées dans un même plan est égale à

Donc, dans le cas où l'absolu sera iinaginaiie, A + B -j C — sera positif, puisque K^ l'est. Il y aura un excès de la somme des

angles sur tt. Au contrairi', si \ absolu est une quadrique convexe à l'ir)térieur de laquelle on se trouve placé, l^excès se changera en déficit^ parce qu'il faudra remplacer K- par — R-.

226. Les surfaces que nous avons appelées des sphères out leurs équations qui prennent une forme très simple lorsqu'on rapporte Vabsolu à un tétraèdre de référence convenablement choisi. Soit A un point quelconque, non situé sur Vabsolu. Il pourra toujours être considéré comme le sommet d'une infinité de tétraèdres conjugués et, si l'on prend l'un d'eux pou/ tétraèdre de référence, l'équation de Vabsolu prendra la forme

x-i- y^-+- z^-\- tt^=^ o,

e étant l'unité, positive ou négative, suivant qu'il s'agira d'une surface imaginaire ou d'une surface convexe.

Soient X, jKj 5, t les coordonnées d'un point de l'espace. Nous supposerons qu'elles satisfassent à la condition

(42) <2-+-e;r2-+-ej'*-H£S^= I,

et alors la distance o de ce point au sommet A du tétraèdre pour lequel on a

LA TRIGONOMÉTRIE CAYLKYENNE. 353

sera donnée par l'équation

(43) cos|=^

On pourra donc, en vertu de la relation (42), écrire

X ^^ \/t sin -jr: sinO cos o,

1(44) ''^ jK = /esin j^sinO sincp,

\ z =\/z sin ^ cosO.

L'élément linéaire de l'espace sera donné par la formule

^ ds^ = dt^ -Jr B dx^ -h zdy^--hsdz'^.

En remplaçant dx, dy, dz, dt par levirs valeurs, on trouvera

({5) t;,y2=:^p2 + K2sin2^ j d/G^-f- sin^O f/cp2 { .

Si V absolu est imaginaire, Ksera réel; sinon, K sera une imaginaire pure. Dans tous les cas, le complément de <fp2 dans Je I second membre sera essentiellement positif.

Cette formule appelle plusieurs conséquences.

D'abord elle met en évidence un résultat essentiel. Dans la Géométrie Cayleyenne comme dans la Géométrie ordinaire, la ligne droite est le plus court chemin d^ un point à un autre.

Pour le démontrer, il suflîtde remarquer que l'arête du tétraèdre tde référence définie par les équations

a7=:j'=:0 OU 0 = 0

est, en fait, une droite quelconque sur laquelle le sommet A du tétraèdre occupe une position quelconque. Il suffira donc de montrer que la proposition est exacte pour cette droite particulière.

Or, si l'on va du sommet A du tétraèdre, pour lequel p =: o, à un point M de la droite, p variera d'une manière continue, de|)uis la valeur zéro qu'on peut lui attribuer en A jusqu'à l'une des valeurs p' qu'il prend en M; et la longueur du chemin que l'on aura choisie pour joindre A à M, longueur qui a pour valeur l'inté- D. P.3

grale

(46) L= r 4/c;p2 + K2sin2-|((^02 4-sin2Ôc/cp2),

sera évidemment plus grande que l'inlégrale

dp,

où p prendra la même suite continue de valeurs que sur le chemin considéré. Or, cette dernière intégrale est évidemment l'une des valeurs que l'on peut donner à AM. Ainsi, la longueur de tout chemin réunissant A à M sera supérieure, en valeur absolue, à

l'une des valeurs de la distance AM. Elle sera donc supérieure à la

plus petite d'entre elles et ne peut lui devenir égale que si, dans

l'intégrale (46), on suppose

sinO = o, c'est-à-dire

ce ^= y = o.

Les variables p, 0, '.p qui figurent dans les formules (44) constituent évidemment un système de coordonnées curvilignes propre à représenter tous les points de l'espace el analogue aux coordonnées polaires dans l'espace Euclidien. Les surfaces sur lesquelles p demeure constant contiennent tous les points à une même distance de A; et, comme ce dernier point |)eut être choisi arbitrairennent en dehors de ïabsolu, ce sont les sphères les plus générales de la Géométrie Cajiejenne.

Soit (Se) l'une de ces sphères, de rajon p. D'après la formule (45)1 son élément linéaire a pour expression

(47) ^^2= K2sin2:|(fi?62-f-sin2ôfi?(p2).

Il ne diffère pas de celui qui conviendrait, dans Vespace Euclidien^ à une sphère (S) de rayon

' 1^ • P p =Ksm^;

et, comme dans les deux sphères, les giands cercles sont représentés parla même équation, on voit que les formules de la Trigonométrie sphérique s'appliqueront sans modification dans la

LA TRIGONOMÉTRIE CAYLEYENNE. 355

Géométrie Gajiejenne, pourvu que l'on modifie convenablement le rayon de la sphère considérée.

On peut même obtenir un résultat plus complet.

Soient M, M' deux points dont les coordonnées x^ y^ z^t\ x' , y' , z', t' satisfont à l'équation (42), t et t' ayant tous deux les valeurs définies par l'équation (43). La distance MM' de ces deux points sera donnée par la formule

MM' , , ,

cos = tt -h zxx -t- zyy -\- zzz ,

De là on déduit

(48; ^t%[n^-^^{x-x'Y-\-{y-y'Y-^{z — zy^z{t-t'y-,

en sorte que, sur une sphère (Sg), pour laquelle t= i', l'expression 2 y/s sin est toujours égale à la distance Euclidienne de

deux points dont les coordonnées rectangulaires seraient (x, y, z) et (x',y'jz')j qui appartiendraient, par conséquent, à une

sphère Euclidienne de rayon y/esin^-

Si l'on multiplie par--, on voit que l'on peut établir par les

\/ë forinules réelles

a"i = K sin 7T sinO cosç, Vi = K sin 77 sinB sincp, zt = K sin -I7 cosO

une correspondance entre un point M de (S^;) et un point P d'une sphère Euclidienne (S') de rayon Ksin^ de telle manière que

l'expression 2 K sin — ^ soit toujours égale à la distance Euclidienne des deux points correspondants sur la sphère (S').

1227. Dans les recherches qui précèdent, nous avons supposé que le centre de la sphère était réel, et même qu'il se trouvait dans l'espace accessible lorsque Vabsolu est une quadrique réelle.

Pour compléter notre étude de la Géométrie non Euclidienne, il convient d'examiner toutes les positions que peut prendre le centre de la sphère.

Nous, signalerons d'abord quelques propriétés générales des sphères Cajlejennes. Nous avons vu, au n° 187, que ce sont des quadriques inscrites à Vabsolu suivant la conique située dans le plan polaire de leur centre. Comme la distance du centre à tout point de ce plan polaire est constante, on peut dire aussi qu^elles sont le lieu des points qui sont à la même distance de ce plan polaire. Si l'on transforme leur définition par la méthode des polaires réciproques, on verra également (qu'elles sont les enveloppes de tous les plans qui coupent sous un angle constant un plan donné., à savoir le plan polaire de leur centre.

C'est ainsi que, dans la Géométrie sphérique ordinaire, un petit cercle est susceptible d'une triple définition : il est le lieu des points situés à une distance constante d'un point fixe, ou bien le lieu des points à une distance constante d'un grand cercle, ou enfin l'enveloppe des arcs de grand cercle coupant un grand cercle donné sous un angle constant.

De cette triple propriété des sphères Cayleyennes découlent plusieurs proposiiions, analogues à celles de la Géométrie ordinaire. Par exemple, la section de toute sphère Caylejenne par un plan (P) est un cercle, c'est-à-dire une courbe plane lieu des points situés à une dislance constante d'un point fixe du plan dans lequel elle est tracée. Soit A, en efiet, le centre de la sphère; abaissons de A, sur le pian (P), une perpendiculaire dont le pied sera Aq. Toute rotation autour de la droite AA„ laissera invariable la sphère, le point Aq, le plan (P) ei, par conséquent, fera glisser sur elle-même la courbe de section de la sphère par le plan (P). Cette courbe aura donc tous ses points à la même distance de Aq.

Ces diflérentes propositions vont nous permettre de discuter les diver ses formes des sphères Cajlc} ennes dans la Géométrie non Euclidienne. Rapportons Vabsolu à un tétraèdre conjugué quelconque, de telle manière que son équation devienne

Le seul sommet du tétraèdre qui soit dans l'espace accessible sera défini par les relations

et ce sera, d'ailleurs, un point quelconque de cet espace. D'après

LA TRIGONOMÉTRIK CAYLEYENNE. 357

nos formules générales, l'équation de toute sphère ayant ce point pour centre et p pour rayon sera

en posant

^'^^"^ r7' ce qui donne

On obtient ainsi des surfaces qui sont tout entières situées dans l'espace accessible, convexes par conséquent; mais comme le plan polaire du centre est dans l'espace inaccessible, il n'y a plus lieu de parler de la distance à ce plan, ni de l'angle du plan tangent avec ce |)lan. Des trois définitions de la sphère Cajlejenne, deux doivent être laissées de côté.

2:28. 11 est facile de voir cjue le centre d'une sphère Cayleyenne peut être rejeté à l'infini, c'est-à-dire peut venir se placer sur Vabsola sans que la sphère se réduise à vin plan. Considérons le point de l'espace accessible défini par les relations

(49) X — y — o, z — ht. /i<i.

L'équation de la sphère de rayon p ayant ce point pour son centre sera définie par l'équation

(5o) (l— /r2 tCOS" -7§-: =

(z/i —ty-

Or, lorsfjue h tend vers l'unité, c'est-à-dire lorsque le centre vient se placer sur Vabsola, on peut disposer de p de telle manière que le produit

reste égal à une quantité finie quelconque — • Alors l'équation de la sphère prendra la forme

Elle sera toujours inscrite k Vabsofi/, mais cette fois suivant un de ses plans tangents.

Ces sortes de surfaces ont été appelées des liorisplières.

La démonstration que nous avons donnée précédemment montre, ici encore, que les sections d'une horisplière par des plans qui ne contiennent pas le centre sont des cercles identiques aux sections planes d'une sphère Cayleyenne. Mais si le plan sécant contient le centre de l'horisphère, il la coupe suivant un cercle particulier ayant même centre que l'horisphère. Les cercles de cette nature, dont le centre est à l'infini et dont le rajon est infini, s'appellent des horicercles ou des horicycles.

229. Nous avons examiné deux hypothèses : l'une où le centre de la sphère est dans l'espace accessible, l'autre où il vient se placer sur V absolu. On peut encore supposer que le centre A soit dans l'espace inaccessible. C'est ce qui aura lieu, par exem[)le, si l'on prend la surface représentée par l'équation

Vabsolii étant toujours défini par l'équation (Sa).

Alors, il n'y a plus lieu de parler de la distance au cenlre, qui est défini par les équations

et se trouve dans l'espace inaccessible. Mais les deux autres propriétés subsistent, et la sphère est le lieu des points qui sont à une dislance invariable du plan défini par l'équation

ou l'enveloppe des plans qui font avec ce plan fixe un angle constant.

L'une de ces deux propriétés, la première, peut être mise en évidence de la manière suivante :

Prenons, pour déterminer un point de l'espace accessible, les formules suivantes :

i cos —-. sinOt cosu. r = i cos -r^sinO j sincp,

z =tsinî!^j t =z cos -=r-:Cos6i,

Kl ni

analogues à celles (44) que nous avons données plus haut. On

LA TRIGONOMÉTRIE CAYLEYENNE. 869

aura encore

et l'élément linéaire de l'espace Cajieyen sera donné par la formule

(56) f/52= d'/-+ R2cos2 -|^ (^62— sin2 6j^'f2)^

qui est analogue à la relation (45) et met, comme elle, en évidence un système triple orthogonal. En se déplaçant sur les droites définies par les équations

0 = const., o = const.,

qui sont évidemment les perpendiculaires au plan défini par l'équation (53), oh reconnaîtra immédialement que, pour chaque point de l'espace, p représente la distance à ce plan.

En résumé, dans la Géométrie non Euclidienne, il y a trois espèces différentes de sphères réelles. Les unes, c|ue l'on pourrait appeler des endosphères, ont levir centre dans l'espace accessible. Les autres, qui ont leur centre dans l'espace inaccessible, pourraient être nommées des exosphères. Enfin, nous aurions comme intermédiaires les horisphères^ qui ont leur centre sur V absolu.

230. Dans les développements qui précèdent, nous avons mis en évidence des systèmes triples orthogonaux dont une des familles est composée de sphères concentriques, ayant leur centre hors de V absolu. Il ne sera pas inutile de montrer que ces svstèmes subsistent avec toutes leurs propriétés quand les sphères concentriques qui composent une de leurs familles deviennent des horisphères et ont leur centre commun sur Vabsolu.

Prenons l'cqùation de Vabsolu sous la forme

(57) -izt — x''- — y''- = o,

qui met en évidence un de ses points, d'ailleurs quelconque, de coordonnées

Toute horisphère ayant ce point pour centre sera définie par une équation telle que la suivante :

(58) 'xzl — x'^ — y'^=^^t'^, OH p désignera une constante arbitraire.

36o LIVRE IV. — CHAPITRE III.

Si Ton suppose que l'on ait choisi les coordonnées homogènes d'un point de manière à satisfaire à la condition

(59) ^zt-x^-y'^=i,

on pourra prendre

D'ailleurs, l'élément linéaire de l'espace sera donné |)ar la formule

(61) -r:- =—2dzdt-h dv^-i-dy^.

Si l'on remplace / et z par leurs valeurs déduites des formules (og), (60) et si l'on pose

on aura

ds''- (63) p2 " = rfX2-+-^Y2-f-(/p2.

Ainsi, nous obtenons, dans l'espace Cajlejcn, un sjtème triple réel, formé d'une famille d'horisphères concentriques e\ de deux familles de plans représentés par les équations

X = — = const., Y = — = const.,

ces plans passant tous par le centre commun des horisphères et se coupant mutuellement à angle droit.

Sur chacune des horisphères, il faut faire

p = const., do = o.

Vêlement linéaire est donc le même que celui du plan dans la Géométrie ordinaire^ d'où l'on doit conclure que, sur une telle surface, les triangles formés par trois horicercles ont toutes les propriétés des triangles plans et qu'en particulier, la somme de leurs angles est égale à deux droits.

Ici encore, on peut obtenir un résultat analogue à celui que nous avons donné pour les sphères générales. Si l'on considère

LA TRIGONOMÉTRIE CAYLEYENNE. 3G I

deux points quelconques dont les coordonnées seront, par conséquent, définies parles formules

1Z = { X2^- Y2)f + y, -iZ' = (X'2 H- Y'2 )r + 1 ,

(64) \ x = Xt,y = \t, X ^\'t\ y = \'t',

on trouvera, pour leur distance Cajieyenne o, la formule

(63; -4p?'sin'^^. -(X-X')^-i-(Y-Y')î4-(p-pV,

d'où Ton peut déduire la précédente (63), en supposant infiniment voisins les points considérés.

231. Nous mettrons à profit les résultats précédents pour bien définir les diverses espèces de déplacements dans la Géométrie non Euclidienne. Nous avons vu que tout déplacement réel se rattache à deux droites réelles qui sont polaires l'une de l'autre. Ici, une de ces droites, que nous désignerons par D, coupera r«A5o/^^en deux points réels ; l'autre, que nous désignerons par A; sera tout entière dans l'espace inaccessible.

Si le déplacement est hélicoïdal, on devra, pour avoir la position nouvelle d'un point M, opérer comme en Géométrie ordinaire. On abaissera de M la perpendiculaire MP surD; on fera ensuite glisser celte perpendiculaire, eu laissant invariable le })oint où elle coupe A, de telle manière que P se déplace sur D d'une quantité constante PP': pni- on fera tourner la nouvelle position de MP d'un angle cousliuil, dans le plan qui est perpendiculaire en P' à D.

Quand le déplacement se réduira à une rotation, il y aura lieu de distinguer deux cas. Si l'axe de la rotation est la droite D, la construction précédente s'appli(juera en se simplifiant. 11 suffira de faire tourner MP d'un angle constant autour de P. Si l'axe de la rotalion est la droite A, il suffira de déplacer MP dans le plan de MP et de V) , sans la faire tourner ensuite autoui- de D, de telle manière qu'elle demeure perpendiculaire à D.

Knfin, si le déplacement est un i clournement, il suffira de

prendre sur le prolongement de MP le point P' tel que MP' soit égal à MP.

Ainsi, dans ces différentes hypothèses, on pourra définir le déplacement, sans faire appel à la droite A située dans Tespace inaccessible.

Les surfaces pseudocylindriques définies au n°213 seront, dans tous les cas, les lieux des points situés à la même distance de D. Si nous envisageons les mouvements continus déjà considérés au n° 213, elles contiendront, dans tous les cas, les trajectoires des points de l'espace. Quand le déplacement sera hélicoïdal, ces trajectoires seront des courbes transcendantes; mais si le déplacement se réduit à une rotation, elles deviendront des cercles, qui seront situés dans des plans perpendiculaires à l'axe de rotation et auront leur centre sur cet axe. Lorsque c'est la droite D qui est l'axe de rotation, cette définition n'offre aucune difficulté. Si, au contraire, l'axe de rotation est la droite A, les trajectoires ayant leur centre sur A seront des courbes planes, des coniques, situées dans des plans passant par D et lieux des points situés à la même distance de D. Elles seront donc entièrement définies au moyen des éléments situés dans l'espace accessible.

Quant aux surfaces pseudocylindriques, qui coupent Vabsola suivant les quatre génératrices rectilignes rencontrant à la fois D et A, elles sont convexes, tangentes à l'absolu aux deux points réels oîi cette surface est coupée par D, et elles sont situées tout entières dans l'espace accessible.

232. Ici encore, nous pouvons constituer un système de coordonnées curvilignes orthogonales qui met bien en évidence toutes ces propriétés. Les trois familles en seront formées : i° des pseudocylindres ayant pour axes les droites D, A ; 2" des plans passant par D; 3° des plans passant par A. Si l'on prend les formules

l 37 = tangp coscp, ^ = tangp sinç,

(66) { isiniiL cosi<l

cosp COSf

qui conduisent au résultat suivant :

LA TRIGONOMÉTRIE CAYLEYENNE. 363

l'élément linéaire de l'espace sera déterminé par la formule

qui donne ici

— - ds^ = dx"^ -+- dy-i -+- dz'- — dt'- ,

ds-

dp^ cos'^ p

tang^p df^

dà^.

On voit que cet élément linéaire ne cliangera pas si, laissant p constant, on ajoute des constantes quelconques à o el k ^', cela correspond au déplacement le plus général ayant pour axes D, A.

Si l'on remplace «p par o^^-i-av et à par '}oH- bv, les formules

X = tangp cos (tpo-H «t"), y = tangp sin(oQ-^ av),

i sin (i<\iQ-\- ibv)

cos (i 4^0-1- i^^ )

représenteront, lorsque r variera seule, la trajectoire d'un point quelconque, trajectoire qui correspond à l'hélice de la Géométrie ordinaire. Si l'une des constantes a ou b est nulle, on obtiendra les cercles dont les plans passent par D ou par A, les seconds seuls ayant leur centre dans l'espace accessible et les autres étant des courbes parallèles à D.

Nous aurons plus loin à étudier une transformation de l'espace qui se rattache étroitement à la Géométrie Cayleyenne. Dans le cas où Vabsolu est réel, cette Géométrie, nous l'avons dit, est identique à celle qui a été créée par Lobatschefsky, par Bolyai, par Gauss et qui porte le nom de Géométrie non Euclidienne; mais la méthode que nous avons suivie avait surtout pour but de montrer combien l'étude de ce beau sujet est simplifiée par la considération de ce que nous avons appelé Vespace inaccessible.