CHAPITRE I

L'INVERSrON. — SES PROPRIÉTÉS ESSENTIELLES.

L'inversion a été inlroduile clans la science par Sir William Thomson (Lord Kelvin). — Comment on peut la rattacher à l'inversion quadrique de Hirsl. — Relation entre les points homologues. '■ — Les droites isotropes <int pour homologues des droites isotropes. — Cône isotrope correspondant à un plan isotrope. — Principe de la conservation des angles. — Relations entre deux courbes ou deux surfaces homologues. — Des développables isotropes; leurs principales propriétés. — Focales d'une surface ou d'une courbe. — Focales singulières. — L'inversion, qui ne conserve pas les focales singulières, conserve les focales ordinaires. — Ti-ansformations qui résultent de l'application successive de plusieurs inversions. Elles peuvent toujours se réduire à une inversion ou à une homothélie^ précédées ou suivies d'un déplacement. — Élément linéaire de l'espace; comment il est transformé par une inversion.

233. Après avoir éludié, comme disait Chasles, deux principes généraux de la science, la dualité et l'homographie, il importe que nous abordions un sujet essentiellement nouveau, en examinant de nouvelles méthodes de transformation des figures, où se présentent des faits géométriques que nous n'avons rencontrés ni dans l'élude de l'iiomographie, ni dans celle de la corrélation. La plus simple de ces transformations est celle qui a été découverte par Sir William Thomson (Lord Kelvin) et à laquelle on donne aujourd'hui le nom ùHtwersion. Voici comment on peut la définir géométriquement.

Considérons une sphère (S), que nous appellerons ia sphère principale de l'inversion. Tout point M de l'espace peut être considéré comme le centre d'une sphère de rayon nul (M). Par l'intersection de (S) et de (M) passe une seconde sphère de rayon

nul (M'). Le centre M' de cette sphère sera le point qui, dans l'inversion, correspondra à M.

Si l'on prend pour origine des coordonnées reclangulaires le centre de la sphère principale (S), appelé pâle de l'inversion, les formules qui la définissent seront les suivantes :

La sphère principale est donc le lieu des points qui coïncident avec leurs homologues. Le rayon R de cette sphère peut, d'ailleurs, être une imaginaire pure sans que la transformation cesse d'être réelle. On désigne le carré de ce rayon sous le nom de module de l'inversion.

Nous ne nous attarderons pas à établir les propriétés élémentaires, bien connues, de l'inversion; mais nous étudierons très complètement la correspondance qu'elle établit entre les points.

234. A cet efTet, nous remarquerons qu'elle est comprise comme cas particulier dans une transformation proposée par llirst.

Considérons une surface du second degré et le cône du second degré circonscrit à cette surface suivant une conique (G). Soit O le sommet de ce cône; la droite menée par le point O et par un point quelconque M coupera la surface en deux points P,P'. Si nous faisons correspondre au point M le point M' conjugué harmonique de M par rapport au segment PP', nous aurons réalisé ce que Hirst a appelé V inversion quadrique. D'ailleurs, celle transformation sera involutive^ c'est-à-dire que la relation entre deux points correspondants M, M' sera réciproque, de sorte que la transformation, appliquée deux fois, ramènera à la figure primitive.

Si l'on suppose que la surface considérée soit une sphère et que O soit son centre^ on retrouvera l'inversion ordinaire. Alors, la courbe de contact (C) du cône de sommet O sera le cercle imaginaire de rinfini.

Etudions d'abord la correspondance entre les points.

i" Au pôle O correspondent tous les points du plan de contact, c'est-à-dire du plan de l'infini.

2" Les seuls points qui se correspondent à eux-mêmes sont situés sur la surface du second degré, c'est-à-dire sur la sphère.

l'inversion. — SES PROPRIÉTÉS ESSENTIELLES. 867

3'^ A tout point a situé sur le cône circonscrit^ c'est-à-dire sur la sphère de rajon nul ayant son centre en O, correspond un point a! situé sur le cercle de l'infini.

4° Mais à un pointa' situé sur le cercle de l'infini correspondent tous les points de la droite isotrope 0«'; car la droite Oa' coupe la sphère en deux points qui se confondent avec a' , et, par conséquent, le conjugué harmonique de a est indéterminé sur la droite Oa'.

On voit donc qu'il existe des points pour lesquels le point homologue est indéterminé : le pôle d'abord, auquel correspondent tous les points d'un plan, le plan de l'infini; et ensuite les points du cercle de l'infini, pour lesquels l'indétermination est moindre; car à chacun d'eux correspondent seulement tous les points d'une droite, la droite isolrope qui joint le point au pôle de l'inversion. Examinons maintenant comment se transforment les droites et les plans. Si la droite passe par le pôle, elle est évidemment conservée par l'inversion. Si la droite ne passe pas par le pôle, elle coupe le plan de l'infini en un point a qui a pour homologue le pôle O; elle coupe le cône isotrope de sommet O en deux points h et b' dont les homologues sont sur le cercle de l'infini; elle a donc pour homologue une conique passant par le pôle O et coupant en deux points le cercle de l'infini; c'est-à-dire un cercle passant par le pôle. H j a lieu cependant de distinguer des cas particuliers.

Si la droite est isotrope, soit a le point où elle coupe le cercle de l'infini ; le point a ayant pour homologues tous les points de la droite 0«, il en résulte que le cercle qui correspond à la droite se décompose en deux droites isotropes, l'une qui sera la droite Oa, l'autre que l'on construira de la manière suivante :

En général, la droite isotrope coupe la sphère principale en un point 6, distinct de a, et le plan Oa^ coupe le cercle de l'infini en un point a distinct de a. C'est la droite isotrope 6a qui sera l'homologue de ab.

Cette construction tombe en défaut si la droite isotrope est tangente en a à la sphère principale. Mais alors la définition même de l'inversion nous fournit le résultat. Le plan passant par la droite et par le point O est tangent en a à la sphère principale, qu'il coupe suivant deux génératrices reclilignes se croisant en a.

L'homologue de la droite considérée est sa conjuguée harmonique par rapport à l'angle formé par ces deux génératrices rectilignes. Des résultats analogues s'obtiennent en ce qui concerne les plans. Généralement, à un plan qui ne passe pas par le pôle correspond une sphère qui passe au pôle G et y adniet un plan tangent parallèle au plan donné. Cette sphère est donc déterminée par cette condition de passer en G et par celle de couper la sphère principale suivant le même cercle que h; plan. Si ce plan n'est pas isotrope, la sphère correspondante ne saurait avoir son rayon nul. Car son plan tangent au centre G de la sphère princi|)ale, étant parallèle au plan propost-, n'est pas isotrope. Mais, si le plan considéré devient isotrope, la sphère correspondante admettra un plan tangent isotrope en un point à distance finie et se réduira nécessairement à un cône isotrope. Si a est alors le point de contact du plan considéré et du cercle de l'infini, ce cercle et la section du plan par la sphère principale sont tangents en a\ on peut donc les placer sur un cône isotrope dont le sommet sera sur la droite Gâ. C'est ce cône isotrope, cette sphère de rayon nul, qui correspond au plan isotrope considéré.

235. Les résultats précédents nous permettent de démontrer d'une manière intuitive la propriété fondamentale qu'a l'inversion, celle de conserver les angles des courbes et des surfaces.

Soient, en elïét, (C), (D) deux courbes tracées sur une surface (S) et se coupant en un point M. Soient M^, M« les deux tangentes aux courbes en ce point. Menons les deux droites isotropes M1,]MJ qui passent en M et sont situées dans le plan tangent en M. Si Ton applique l'inversion à la suiface (S), le point M devient un point M'; les deux tangentes Mt, Mm ont pour perspectives, dans le plan tangent en M' à la transformée (S'), les tangentes M' <', M' ff' aux courbes Ir-ansformécs de (C) «t de (D). Quant aux droites isotropes MI,M.J, elles se transforment dans les deux tangentes isotropes M'I', M'J' (|ui passent en M' et y sont tangentes à (S'). Comme le rapjjort anharmonique des quatre droites M^, Mm, MI, MJ est égal à celui d<'S droites qui en sont les perspectives, M'^', M'a', MT, M'J', on voit, d'après la relation (pie Laguerre a établie entre les angles et les lapporls anharmoniques de cette nature, que les anghîs seront conservés par l'inversion.

l'inversion. — SES PROPRIÉTÉS ESSENTIELLES. 069

236. Dans ce qui précède, nous n'avons étudié que les iransforinaiions des droites et des plans. Nous allons maintenant considérer des figures moins simples.

Envisageons d'abord une courbe quelconque, et supposons qu'elle renronire le plan de l'infini en p points, non situés sur le cercle de l'infini, et en i points situés sur ce cercle. Son ordre «, c'est-à-dire le nombre des points dans lesquels elle est rencontrée par un plati, sera donc p -h /. Supposons^ en outre, qu'elle coupe te cône asymptote de la sphère princi[)aie de l'inversion en /-points situés à distance finie et que le nombre de ses branches passant au pôle soit égal à q. Désignons par des lettres accentuées les mêmes nombres relatifs à la courbe transformée. On aura, en général,

(2) ,jr' = jD, p' — q^ i' = f~, r'—i, n' = q -h f\ n = p -r- L

Considérons, par exemple, un cercle quelconque de l'espace,

Ici l'on a

et l'on trouvera les mêmes nombres pour la transformée, qui sera, par conséquent, un cercle.

237. Les formules analogues relatives aux surfaces se trouvent aussi sans dilfi< ulté. Si l'on désigne par n l'ordre de la surface, si sa section par le plan de l'infini se compose d'une courbe de degré p et du cercle de l'infini, qui sera ligne multiple d'ordre i, si le pôle O est un point multiple d'ordre q et enfin si la surface coupe le cône isotrope de sommet O suivant une courbe qui rencontre chaque génératrice du cône en r points distincts de ceux qui soni en O et sur le cercle de l'infini, on aura, pour l'ordre a

de la surface, la valeur

n = p ■+- ii.

Pour la surface transformée, les nombres précédemment définis seront donnés par les formules

Par exemple, pour une surface du second degré ne passant pas

au pôle, on a

Pour la transformée, on obtiendra les valeurs suivantes :

gr' = ?,, ^'=0, r'=0, i' = 2, /l'=4-

Ce sera une surface du quatrième ordre, qui admettra le cercle de l'infini comme ligne double et aura un point double au pôle. Si la surface du second degré passait au pôle, on obtiendrait une surface du troisième degré ayant toujours le pôle pour point double et contenant le cercle de l'infini.

238. Nous avons vu que, dans l'inversion, toutes les droites isotropes se transforment en droites isotropes. Ainsi^ les surfaces réglées formées de ces droites se transforment en surfaces réglées.

On peut compléter ce résultat et démontrer que les surfaces dâveloppables formées avec ces droites se transforment en surfaces développables.

Considérons, en effet, une telle surface; le plan tangent tout le long d'une de ses génératrices d est tangent au cercle de l'infini, c'est-à-dire il est isotrope. 11 se transforme donc en un cône isotrope qui est tangent à la surface transformée en tous les points de la génératrice homologue de d. La surface transformée admet le même plan tangent en tous les points de chaque génératrice; c'est donc une surface développable.

Nous appellerons de telles développables des développables isotropes. Elles interviennent, nous le verrons, dans l'étude de questions importantes et ont les propriétés les plus singulières.

Comme elles sont les enveloppes de plans isotropes, leur normale en un point quelconque est précisément la génératrice reCliligne de la surface qui passe en ce point. Si l'on définit ligne de courbure d'une surface toute ligne telle que les normales à la surface en tous ses points forment une surface développable, on peut dire que toute ligne tracée sur une développable isotrope est ligne de courbure de cette surface.

De là celte conséquence, que nous avons signalée dès 1864 :

La courbe de contact de toute surface avec la développable isotrope qui lui est circonscrite est une ligne de courbure imaginaire de la surface^ que Von peut déterminer sans aucune intégration.

l'inversion. — SES PROPRIÉTÉS ESSENTIELLES. Syi

Voici d'autres résultats.

Si l'on considère une courbe quelconque (K) de la développable isotrope, les génératrices rectilignes de cette surface lui seront normales, et, comme elles sont toutes tangentes à l'arête de rebroiissement (R) de la surface, celte arête de rebrousse ment sera une développée commune à toutes les courbes (K).

Supposons que la courbe (K) soil une section plane ; d'après les propriétés générales des courbes planes, la projection de (R) sur le plan de (K) sera la développée de cette courbe. Donc, toutes les sections d\ine développable isotrope par les plans parallèles se projetteront sur Vun de ces plans suivant des courbes parallèles.

De même, si l'on coupe la développable par une sphère, la développée sphérique de la courbe de section sera la projection conique de l'arête de rebroussement, cette projection étant faite du centre de la sphère. On sait, en elKet, que le Heu des développées d'une courbe sphérique est un cône dont le sommet est au centre de la sphère qui contient la courbe. Il résulte de là que les sections de la développable par des sphères concentriques se projettent coniquement sur une de ces sphères suivant des courbes parallèles.

Voici enfin une dernière propriété des développables isotropes. Leur arête de rebroussement ayant pour tangentes des droites isotropes^ son élément linéaire est nul. On a

ds^ = o.

Et réciproquement, toute courbe dont l'arc est nul a ses tangentes isotropes et 'est l'arête de rebroussement d'une développable isotrope.

239. Nous renverrons, pour une étude plus complète des développables isotropes, à d'autres travaux; mais nous montrerons ici comment elles permettent d'étendre à l'espace une notion donnée par Pliïcker pour les courbes planes. Ce géomètre a montré comment on peut obtenir, pour les courbes planes de tous degrés, une définition des fojers, qui, avant lui, n'étaient considérés que dans les courbes du second degré. Le foyer d'une courbe de degré supérieur est le centre d'un cercle de rayon nul

dont les deux droites sont tangentes à la courbe; de sorte que, pour avoir tous les foyers d'une courbe, il faut mener, des deux points à l'infini sur le cercle, des tangentes à la courbe. Les points d'inlerseciion de ces deux faisce:iux de taugenles seront les foyers, réels ou imaginaires, de la courbe.

On peut donner de même, en généralisant la notion âefocale.,due à Chastes pour les surfaces du second degré, la définition suivante des focales d'une surface quelconque.

Circonscrivons à celle surface et au cercle de l'infini une surface développable. Cette développable isotrope aura des lignes doubles, dont une seule suffira évidemment à la déterminer, puisqu'alors ses plans tangents devront être langents à la fois à la ligne double et au cercle de l'infini. Ces lignes doubles seront appelées les focales de la surface. Par chaque tangente de la focale, on peut mener deux plans langenls à la surface et au cercle de l'infini. Par conséquent, tout point de la focale sera le centre d'une sphère de rayon nul doublement tangente à la surface, et réciproquement.

Tout point de cette nature sera dit un foyer de la surface.

Ces définitions concordent avec celles de Chasles pour les surfaces du second degré ; nous les appliquerons aux surfaces de degré supérieur.

L'inveision, conservant les dévelop|)al)les isotropes, conservera, par cela même, les foyers et les focales ordinaires.

240. A la définition que nous venons de donner, Laguerre a ajouté un complément utile. Considérons d'abord le cas du plan. Nous avons vu que, pour avoir tous les foyers, il faut mener, des points I et J, des tangentes à la courbe considérée. Mais, si cette courbe passe aux points I et J, il est un groupe de tangentes que l'on peut séparer : celui qui est formé de celles dont les points de contact sont précisément en I et en J. Elles donnent naissance à des foyers particuliers, que Laguerre a nommés foyers singuliers.

Par exemple, une conique générale a quatre foyei s, dont deux sont imaginaires.

Si elle devient un cercle, elle n'aura plus qu'un foyer singulier, son centre.

Celte distinction est d'autant plus ulileque les foyers singuliers, à la différence des autres, ne sont pas conservés par l'inversion.

l'inversion. — SES PROPRIÉTÉS ESSENTIELLES. SyS

On opérera de même dans l'espace; si une surface passe par le cercle de l'infini, la développable qui lui sera circonscrite en tous les points de ce cercle pourra avoir des lignes doubles. On les appellera des focales siiig altères ; elles ne sont pas conservées par l'inversion.

La définition des focales étant tangentielle, c'est-à-dire n'employant que les plans tangents, les focales d'une courbe quelconque se déterminent comme celles des surfaces; ce sont les lignes doubles de la développable circonscrite à la courbe et au cercle de l'infini. Cette développable aura pour lignes doubles la courbe proposée et d'autres courbes, qui seront les focales de la première.

On voit que les différentes lignes doubles d'une développable isotrope sont les focales, les unes des autres.

i241. Nous terminerons ces généralités en examinant les transformations (jui résultent de l'application successive de plusieurs inversions.

Nous ferons usage, dans cette étude, d'une remarque qui résulte immédiatement de la définition, donnée plus baut, de l'inversion. Quand la sphère principale se transforme en un plan, l'inversion se transforme en une symétrie relative à ce plan. Car, si l'on a un plan (P) et un pointM, il n'j a que la symétrique M' de M par rapport à (P) qui soit le centre d'une sphère de rayon nul coupant ce plan suivant le même cercle que la sphère de rayon nul dont le contre est en M.

D'après cela, soientl et I, deux inversions, définies par les sphères principales (S) et (S,). L'inversion I transforme toute figure (F) en une figure (F»), que la seconde inversion L transforme en une fi<;ure (Fj). J'applique à l'ensemble de ces figures une inversion, d'ailleurs quelconque, H. liCs trois figures (F), (F,), (Fa) sont transformées en de nouvelles figures (F'), (F,), (F,), les deux sphères (S), (S,) en deux nouvelles sphères (S'), (S,); mais jedis <[in' !(•> rchiiioiis |)riiniiiv(!s ueseronl |);»s troublées : (F',) se déduira de (F') par l'inversion 1' qui admet (S') pour sphère principale, et (F'j) se déduira de (F',) par l'inversion l'j qui admetttra (S'J pour sphère principale.

(^es f)ro[)osilions sont, pour ainsi dire, évidentes, si l'on se reporte

à la définition de l'inversion lelle que nous l'avons donnée. Si M et M, sont denx points correspondants dans une inversion dont la sphère principale est (S), c'est qu'ils sont les centres de deux sphères de rayon nul se coupant sur (S). Cette relation n'est nullement troublée par une inversion quelconque, à condition qu'on substitue à (S) la sphère (S') qui en dçrive par cette inversion. Notre proposition est donc établie. Appliquons-la au cas actuel en prenant, pour l'inversion H, une inversion dont le pôle soit sur le cercle commun à (S) et à (S,). Alors, les deux sphères correspondantes (S'), (S'j) se réduiront à des plans, et les deux inversions F, F, deviendront des inversions planes, c'est-à-dire des symétries par rapport aux deux plans (S'), (S',).

Or, deux symétries effectuées successivement par rapport à deux plans équivalent à une rotation autour de l'intersection des deux plans, rotation d'un angle double de l'angle des deux plans. Donc, les deux inversions planes déterminées par les plans (S'), (S',) peuvent êlre remplacées par deux autres inversions planes quelconques dont les plans principaux se coupent suivant la même droite que les précédents et font le même angle que les plans

En revenant à la figure primitive, on a donc le théorème suivant :

Deux inversions déterminées par les sphères (S), (S() peuvent être remplacées par deux autres inversions dont les sphères principales passent par V intersection de (S) et de (S)) et font un angle égal à Vangle de (S) et de (S,), et de même sens.

On peut objectera la démonstration précédente qu'elle suppose l'existence d'un cercle réel commun à (S)età(S|). Sans nous arrêter à cette difficulté, déduisons-en une règle qu'il sera aisé de vérifier dans tous les cas.

Par la ligne des centres de (S) et de (S,), faisons passer un plan quelconque (P), qui coupera en A le cercle commun à (S) et à (S,). Autour de A, et dans le plan (P), faisons tourner l'angle CAC,, G et G) étant les centres des deux sphères, et soit DAD, une quelconque de ses nouvelles positions, D et D, étant les points où ses côtés coupent la ligne des centres. Les sphères {->), (i^,) qui

l'inversion. — SES PROPRIÉTÉS ESSENTIELLES. 876

ont pour centres D, D, et passent par A. seront les sphères principales des deux inversions qui peuvent remplacer les inversions considérées. Cela résulte des raisonnements précédents.

Or on sait, et il est évident, que lorsqu'un angle constant tourne, dans son plan, autour d'un point fixe A et coupe une droite fixe en deux points variables D, D|, la relation entre ces deux points est homographique; et il résulte de la définition de l'angle que les points doubles de cette homographie sont ceux où la droite fixe est rencontrée par les droites isotropes qui passent en A. Ici, ces points doubles sont les centres des sphères de ra^'on nul passant par l'intersection de deux sphères (S) et (S|). Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant, que nous laissons au lecteur le soin de démontrer directement :

Etant données deux inversions I et 1, dont les sphères principales sont (S) et (S i)j elles peuvent être remplacées d^ une infinité de manières par deux inversions don t les sphères principales ont même plan radical (jue {'$>) et (S,). Quant à leurs centres D ef D, , ils peuvent être choisis parmi les couples de points homologues d'une homographie qu'on peut définir de la manière suivante : Elle a pour points doubles les centres des sphères de rayon nul passant par V intersection de (S) et de (S,) et un de ses couples de points homologues est donné par les centres C et C, des sphères primitives {^), (S,).

Ce théorème n'aurait plus de sens dans le cas où les deux sphères (S), (S,) seraient concentriques. Mais alors, il est évident que les deux inversions peuvent être remplacées par une homothétie dont le centre est le centre commun des deux sphères.

242. Les propositions précédentes nous permettent l'étude de la transformation qui résulte de l'application répétée de plusieurs inversions.

Soient I,, I.j les deux premières. Si leurs sphères principales ne sont pas concentriques, elles peuvent être remplacées, d'une infinité de manières, par deux inversions dont les pùles sont deux points D, D,, le premier de ces points étant choisi arbitrairement sur la ligne des centres. Si nous le rejetons à l'infini, la |)remière

376 LIVRE V. — ClIAPITRIÎ I. ,

inversion deviendra plane. Désignons-la par P,; nous aurons remplacé I<, I2 par deux inversions P,, l',.

Opérant de même avec l'^, I3 et continuant de la sorte, on voit que nous aurons remplacé nos inversions par une série d'inversions planes P<, Po, ..., Pyf i, suivies généralement d'une inversion sphérique ly;.

On peut toujours supposer que k soit impair. Car toute inversion sphérique I/,, dont la sphère principale est (Syt), peut être remplacée par trois inversions planes relatives à trois phms rectangulaires passant par le centre de (Sy;) et par une inversion relative à la sphère (S'^) qui est concentrique à (S/t) et a son rayon égal à celui

de (Sa) multiplié par y/ — 1 .

Puisqu'on peut supposer k impair, les inversions planes P,, Po, ..., P/f i sont en nombre pair et équivalent à un déplacement.

Ainsi, dans le cas général, une suite d'' inversions peut être remplacée par un déplacement^ suivi d' une seule inversion.

En renversant les opérations, on peut dire m\' une suite d"" inversions peut aussi être remplacée par une seule inversion, suivie ûf ' u n dép lace m en t.

Nous avons laissé de côté le cas singulier où, au cours des opérations, on aurait rencontré des inversions ayant pour sphères principales des sphères concentriques. Cette difficulté peut se lever de la manière suivante.

Supposons qu'il reste à effectuer les inversions

Si leurs sphères principales sont toutes concentriques, on verra facilement qu'elles se ramènent soit à une homothéùe, soit à une seule inversion.

Si les sphères principales ne sont pas toutes concentriques, supposons que les premières

le soient, mais que la sphère principale de la suivante I//4., n'ait pas même centre que les précédentes. Alors, d'après la théorie précédente, on pourra remplacer 1^-, U+i , d'une infinité de manières, par dçux inversions dont les pôles seront changés. 11 faudra donc

l'inversion. — SES PROPRIÉTÉS ESSENTIELLES. 877

retirer 1^. de la série précédente. En continuant de même, on finira par avoir des inversions dont lessphcres principales ne seront pas concentriques.

Ainsi, le cas singulier que nous venons d'examiner n'a d'intérêt que si toutes les inversions ont leurs sphères principales concentriques. Et alors nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Une suite quelconque d'inversions peut se i amener à une homothétie^ précédée ou suivie d'un déplacement^ ou bien à une inversion^ précédée ou suivie d^un déplacement.

243. Si nous sommes entrés dans les développements qni précèdent, c'est surtout pour indiquer la manière dont on réduira les diverses transformations successives. Quantau théorème lui-même, on aurait pu l'établir directement de la manière suivante.

Considérons une suite quelconque d'inversions, appliquées successivement. Elles réalisent une transformation ponctuelle qui jouit évidemment de la propriété suivante : A tout plan ou à toute sphère de la figure primitive correspond un plan on une sphère de la figure transformée.

Cherchons donc d'une manière générale toutes les transformations dans lesquelles, à un plan ou à une sphère, correspond un plan ou une sphère.

Soient A un point de la première figure (F) et A' le point correspondant de la seconde (F'). A. toute sphère passant par A correspondra une sphère passant par A'. Si donc on soumet (F) à une inversion de pôle A qui donnera (F,) et (F') à une inversion de pôle A' qui donnera (F,), la correspondance entre (F,), (F',) sera telle qu'à un plan de (F,) correspondra un plan de (F',). Donc, d'après les résultats que nous avons établis, ce sera une correspondance homographique.

D'autre part, elle doit encore transformer une sphère en une sphère. Donc elle doit conserver le cercle et le plan de l'infini, et, [)ar suite, se ramener (n" 59) à un déplacement ou à une symétrie, |)récédés ou suivis, s'il y a lieu, d'une homolhélie.

Revenons aux figures (F) et {V). D'après les résultats obtenus, on peut dire qu'aux plans de la preutière correspondent des sphères de la seconde passant par u\\ poiiil !i\c 1!.

378 LIVRE V. — CHAPITRE I. — L'I^'VERSIO^•. SES PROPRIÉTÉS ESSENTIELLES.

Il suffira donc d'appliquer à la seconde figure une inversion ayant B pour pôle pour en déduire une figure (F\) qui sera, avec (F), dans la relation précédemment définie. Ainsi, toute transformation ponctuelle dans laquelle à une sphère correspond une sphère se réduit à des déplacements et des homotliéties, ou à un déplacement, précédé ou suivi d'une inversion.

L Nous bornerons là notre étude de l'inversion; mais nous ferons remarquer en terminant que la propriété fondamentale relative à la conservation des angles peut s'établir analytiquement de la manière suivante.

Reprenons les formules (1) et supposons que le point m(a:^y',z) subisse un déplacement infiniment petit, ses coordonnées devenant (.X -\- dx^ y -\- dy^ z + dz). Le point M (X, Y, Z) subira lui aussi un déplacement infiniment petit et ses coordonnées deviendront (X + <iX, Y -|- û?Y, Z + f/Z). Un calcul facile nous donnera la relation

Cette formule, à laquelle on pourrait joindre la suivante, relative à deux déplacements,

(5) c?X oX -h ^Y oY -I- dZ oZ = ; — (dx Zx -+■ dy oy -h dz os),

nous montre que l'inversion assure la similitude des infiniment petits et, par conséquent, la conservation des angles. Cette propriété caractérise les transformations composées de déplacements, d'homolhéties ou d'inversions. On pourra lire la démonstration de ce résultat dans les Traités de Géométrie infinitésimale (').

( ' ) Voir par exemple Darboux, Leçons sur les systèmes orthogonaux. Livre 11^ Chapitre I.