CHAPITRE II

LES COORDONNÉES PENTASPHÉRIQUES.

Helation quadratique homogène entre les puissances d'un point par rapport à cinq sphères distinctes. — Définition du système de coordonnées pentasphériques le plus général; on se bornera, dans la suite, au cas où les sphères coordonnées sont orthogonales. — La théorie de cinq sphères deux à deux orthogonales se rattache directement à celle des substitutions linéaires orthogonales. — Conséquences, relations identiques entre les puissances d'un point relatives à cinq sphères orthogonales. — Chacune des cinq sphères admet pour tétraèdre conjugué celui qui est formé par les centres des quatre autres. — Groupe de 16 points, dont les coordonnées ne diffèrent que par le signe — . Elément linéaire de l'espace. — Angle de deux directions. — Sphères et plans.

— Comment on détermine le centre et le rayon d'une sphère dont l'équation est donnée. — Les six coordonnées d'une sphère; formules qui s'y rapportent.

— Changementde coordonnées. — Problèmes élémentaires relatifs aux sphères.

— Formules de Géométrie infinitésimale en coordonnées pentasphériques.

245. Nous avons reconnu, au cours de nos études précédentes, qu'à chaque transformation est lié un système particulier de coordonnées. X l'homographie se rattaclient les coordonnées télraédriques, qui permettentde comprendre dans une même étude, en même temps qu'une figure, toutes celles qui lui sont homographiques. A la corrélation correspondent de même, et dans les mêmes conditions, les coordonnées tangentielles. Nous allons voir qu'à l'inversion on peut rattacher aussi un système de coordonnées particulier : les coordonnées pentasphériques.

Nous commencerons par établir une relation fondamentale entre les puissances d'un point, prises- par rapport à cinq sphères distinctes.

Soient

(1) S/= (.r — a7,)î-4- (jK -jkO'+ (- - -/)2- R/ = 0 (i =1,2,3, 4, 5, <)),

les équations de six sphères distinctes (S,), ..., (So). La quantité

(2) K/,=z= (^, xj)^+{y,-yjy^(z,- zjY- RJ R;