Théorème. Si fx n’est pas indépendant de x; si de plus

celte fonction est continue entre deux limites x— a , x=A ; pour toute valeur de x prise entre a et K, le rapport f(x-(-i) — fx se décompose en deux parties dont la première finie absolue en général , n’est nulle ou infinie que pour des valeurs isolées de x, tandis que la seconde est en général infiniment petite. (Théorème d’AMPÈRE , complété.) »

Puisque la fonction fx dépend de x et qu’elle est continue de a à A, l’intervalle A —a peut être divisé en plusieurs autres, dans chacun desquels cette fonction est constamment ou croissante ou décroissante; supposons que l’un de ces intervalles commence à a et finisse à a!. Si dans cet intervalle partiel le rapport devient infini , cela ne saurait provenir de ce que le

numérateur devient infini ; car fx est fini de même que/(.*-|-0> entre a et A, par conséquent entre a et d. Par suite si ce rapport est infini, pour quelque valeur de x, c’est que pour

CIIAP1TRR PRRMIRR. }3

cette râleur, la différence f(x-\-t) —fx qui est infiniment petite, est d’un ordre inférieur au premier, qui est celui de i.— C’est

ce qui a lieu , par exemple, pour la fonction fx=x*, et la valeur x=.0 ; car/^+/)— ; fxxx(x-\-ï)’ 1 — x* et pour #=0, cette diffé- .« A fx J* 1

rence sc réduit à i*, d’où — — — — — -- quantité infinie.

De même si devient infiniment petit, cela ne peut pro- Ax

venir que de ce que Afx est d’un ordre supérieur au premier, comme dans/«=« 3 , ou Afx—{. r-f-i) 3 — x 3 , quantité qui est du troisième ordre si #=0.

Or on va prouver que si ces cas se présentent dans l’intervalle d — a, cela ne peut arriver que pour des valeurs de x séparées les unes des autres par des intervalles finis, dans toute

l’étendue desquels sera fini (déf. 5).

Remarquons que x variant d’une manière continue depuis «

Afx

jusqu’à d , il est impossible que— j- passe immédiatement d’une

valeur infiniment petite à une valeur infiniment grande sans passer par des valeurs intermédiaires. Car si ce rapport devient infiniment petit pour une valeur x=b, et que la valeur la plus rapprochée de b qui le rend infini soit b', il est évident que b' ne

jjfx

saurait se confondre avec b , vu que — y- ne saurait être à la fois

infiniment petit et infiniment grand pour une même valeur de x; donc b diffère de b', et entre ces valeurs de « on peut en

. ddfx

trouver une infinité d’autres pour lesquelles — ne sera pas

infini.

Il suit de là que l’intervalle a ' — a peut se diviser en un nombre

Afx

déterminé d’autres intervalles tels , que dans les uns — - ne sera

pas infini, et que dans l®s autres il ne sera pas infiniment petit.

1 / ( PRINCIPES DE {.'ANALYSE INPHUT&SIUAI.K.

Or je dis que dans aucun de ces intervalles ne saurait être

constamment infiniment petit, ou constamment infini.

En effet, soit a a — a„ un pareil intervalle; divisons-le en n parties égales à i; posons a,=a„-H', a I =a,+<> etc. , faisons de plus

fa,— fa,

fan—fOn-,

Les valeurs p , , p , , .... p „ , sont de même signe puisque fx est croissant ou décroissant de a à a 1 , et par suite de a 0 à a„; d’ailleurs les égalités ci-dessus, ajoutées entre elles, donnent

fan —fan

/>i+p, + *—-|-po'

Divisant par n, et remarquant que — a 0 , on a

fan— fan p, -f-/ 1 , + •••• ~t~Pn

fa„, fa„, a„, a a sont finis absolus; le premier membre de cette équation est donc fini, et le second le sera aussi. De là on conclut qu’il est impossible que toutes les quantités p,, p , .... p a , * /jfx

valeurs de -j— , soient infiniment petites , car leur moyenne, qui t ix

est égale au premier membre, le serait aussi. Il est donc impos-

sible que de a 0 à a n , — soit constamment infiniment pefit.

z Jx

Donc, si dans cet intervalle ce rapport a plus d’une valeur infiniment petite, ces valeurs sont séparées par des intervalles dans toute l’étendue desquels il est fini. Même raisonnement quant aux valeurs infiniment grandes. Par suite ce n’est que pour des