CHAPITRE PREMIER

Mais a étant infiniment petit , — l’est ainsi que log

car le logx est continu de ar=0 à x=ao ; il est d’ailleurs nul pour x— 1.

' Pour a 1 on a

Or, a v est fini; a x — 1 est infiniment petit (30) : donc etc.

32. Coroll. Si dans loghl , a M , où la base du logarithme et celle de l’exponentielle sont finies absolues, M se compose d’une partie finie absolue augmentée d’un infiniment petit, il en sera de même de /ogM et de , et pour supprimer les infiniment petits dans ces deux dernières quantités, il suffit de le faire dans M.

33. Théorème. Si une grandeur finie A est divisée en n parties infiniment petites de l’Ordre k , et si à chacune de ces parties il répond une grandeur de i ordre m-f-k , la somme de ces grandeurs supposées de même signe sera de l’ordre m.

Soient a, ,a,,....a n les parties de A, de sorte que A=u,-4-fl,

Soienta,,a„...a,, les grandeurs qui répondent à ces parties; po-

sons — =: r, , — = r, , .... — = r„; les quantités r,, r,, .... r„

seront de l’ordre m (7)i Soit r une quantité de ce même ordre

plus grande que chacune d’elles; on aura,

d’où

— <^r -- «Cf" r — <" r

a,-ha ,-+- .... + a„ <[ (a, -f- «H- .... -+- a„)r , < A r;

comme A est fini , A r est de l’ordre m.

I)c même si s est une quantité de l’ordre m, moindre que chacune des grandeurs r,, r ,, .... r„, on aura

•••• -f-a„ A s qui est de l’ordre m.

Donc la somme a, -t-a„ est de l’ordre m.

34. Coroll. 1. Si A était infiniment petit de l’ordre u<CJf, la somme et, -f-..». sera il de l’ordre m-f-u.

35. Coroll. 2. Si une ligne de longueur finie est divisée en parties infiniment petites du premier ordre, et qu’à chaque division

la principes ce l’analyse infinitésimale.

il réponde une grandeur, ligne, aire ou volume du second ordre, la somme de ces grandeurs sera infiniment petite, et pourra se supprimer à côté des quantités finies.

36. Coroll. 3. Si une aire finie est divisée en parties infiniment petites du second ordre, et qu’à chaque division il réponde une grandeur infiniment petite du troisième ordre, ligne, aire ou volume, la somme de ces grandeurs sera infiniment petite et pourra se supprimer à côté des grandeurs finies.

37. Remarque générale. Les suppressions dont il a été ques- •tion au n° 10 s’effectueront facilement au moyen de ce qui précède; ainsi que nous l’avons dit, il n’est pas nécessaire qu’elles se fassent toutes simultanément; mais les équations ne seront exactes que lorsqu’elles seront homogènes, c’est à-dire lorsque tous leurs termes seront du môme ordre. Ainsi dans ce genre de calcul il peut arriver que l’on passe par des formules qui ne sont pas rigoureuses; mais les résultats homogènes ont une rigueur absolue.

§ 2. Propriété fondamentale du rapport des différences — — — .